OO O

En appliquant la méthode de Cauchy pour la détermination de l'indice

-t- oo n

— oo 0

et remarquant que la somme

2yi X — CL

se réduit à une fraction avec le dénominateur du degré w, on conclut que cet indice pour les limites a; = — oo et ic = oo ne peut atteindre la valeur w, égale au degré du dénominateur, que si dans la fraction continue

provenant du développement de cette somme, tous les quotients incomplets

sont des fonctions linéaires de x avec des coefficients positifs.

Donc la condition nécessaire et suffisante, pour qu'aucune des quantités

Xqj X^, ^2 ' • • • • "^n 1

ne fût imaginaire et les quantités

fussent positives, peut être représenter par l'égalité

*) Journal de l'École Polytechnique. Cahier 25.

réunie avec les inégalités

ai>0, a,>0, a3>0,....a„>0.

Il résulte de ce que nous avons dit plus haut sur les équations (4), que les quantités

y,, 2/n 2/25 Vn-i

ne peuvent satisfaire à ces équations que dans le cas, où la fraction continue

provenant du développement de la somme

représente l'expression

au terme de l'ordre —.■ près.

Par cette raison, en connaissant le développement de l'expression ^ . ^ . ^ . , Q— 1

en fraction continue

il est facile de déterminer les premiers quotients incomplets de la fraction continue

qui résulte du développement de la somme

a„a;-Hft„

ji^X-Xi'

si les quantités

2/o, ^n y^i'-'-Vn-x^

y contenues, satisfont aux équations (4).

§ 3. En désignant par h le nombre entier obtenu par la division de l par 2 et arrêtant la fraction continue

au quotient incomplet

on obtient pour elle l'expression approchée

1 «^i a2 ic -t- [ig — • . . 1

exacte au terme de l'ordre — r près.

Avec le même degré de précision la fraction ci -dessus représente l'expression

car, d'après ce que nous avons dit, cette expression ne diffère pas de la fraction continue

par les termes de l'ordre plus élevé que —, — ? l étant égale à 2^ ou2â;-*-1, suivant que l est divisible par 2 ou non. Il en résulte que la fraction continue

avec h quotients incomplets doit donner l'expression

exacte jusqu'aux termes de l'ordre -^ inclusivement; cela suppose les relations suivantes

Si toutes ces équations ont lieu, la fraction continue î 1

«2 ;*- -t- tJ2

donne l'expression

exacte jusqu'aux termes de l'ordre -^ inclusivement, quels que soient les quotiens incomplets qui suivent

dans les fractions continues provenant du développement de cette expression et de la somme

^^ X — Xf

Pour l pair, d'après ce que nous avons dit sur le nombre k, on a 1 j

Il en résulte que pour un tel l la fraction continue ' 1

provenant du développement de la somme

donne l'expression

exacte jusqu'au terme de l'ordre -y- inclusivement et par cette raison, d'après le § 2, les équations (4) doivent êtres satisfaites par les quantités

contenues dans la somme

^^ X — Xi

§ 4. En passant au cas de l impair, quand / = 2fe -+- 1, on remarque que, à cause des relations (5), la différence des fractions continues

enant du développement des fonctions

^X — Xi X x^ x^ ' ' '

du même degré que l'expression

Il en résulte que cette différence peut être du degré moins élevé que — l, comme cela doit être d'après le § 2 pour satisfaire aux équations (4), seulement dans le cas, où la différence

est du degré zéro et par conséquent, quand le quotient incomplet 2^*"*"^' contient x en première puissance avec le coefficient égal à a^^^.

Si cela a lieu et si les relations (5) sont satisfaites, la différence des expressions

ji^ X — Xi X X^ X^ x''

pour l impair = 2k-*-l est du degré inférieur à — ^ et par conséquent, d'après le § 2, les équations (4) sont satisfaites. Ainsi par le développement de l'expression

en fraction continue

X X^ X^ /rt

on détermine les premiers quotients incomplets de la fraction continue

a, an- p, — -

égale à la somme

.^^ X — Xi

les quantités

Vo, «/n 2/25 Vn-i

satisfaisant aux équations (4). Mais pour qu'aucune des quantités

^oj ^1) ^25* • • '^n—i ne fût imaginaire et que toutes les quantités

Vo, Vi, 2/2. 2/„i

fussent positives, il faut et il suffit, comme nous avons vu (§ 2), que les quantités

soient plus grandes que zéro.

En parlant des solutions des équations (5), nous avons supposé que la fraction continue

provenant du développement de la somme

contient le quotient incomplet

pour l pair = 2^, et le quotient incomplet

pour l impair = 2^-i- 1. Puisque le nombre des équations (4) est ?, égal à 2^ ou 2fc -H 1 , et le nombre des inconnues

est 2w, cette condition a toujours lieu, si ?, le nombre des équations (4), ne surpasse pas 2n^ le nombre des inconnues y contenues.

Dans le cas contraire ces équations ne sont possibles que si les valeurs

satisfont aux certaines conditions. Pour déduire ces conditions et indiquer les singularités que présentent dans ce cas les solutions des équations (4), nous remarquons que, d'après le § 2, ces équations étant satisfaites, la fraction continue

ai œ-f-Pj-

aj a; H- 32 — • • .

de la somme

provenant du développement

doit produire l'expression

exacte jusqu'au terme de l'ordre — inclusivement.

Cela n'est possible pour w < y que si l'expression ci-dessus est développable en fraction continue

(toX-*-^., — • .

la quantité ([^'^^^ étant du degré supérieur à l — 2n. C'est précisément la condition de possibilité des équations (4) pour l > 2n. Puisque dans ce cas se déterminent complètement et le nombre n, et les quotients incomplets

de la fraction continue provenant du développement de la somme

^^^ X — Xi

les équations (4) auront une solution unique.

Dans tout autre cas ces équations, si elles sont possibles, admettent une infinité de solutions se distinguant et par le nombre des inconnus

.Vo, 2/n 2/2. Vn-i

et par les limites entre lesquelles les quantités

sont contenues.

§ 5. Eu supposant les quantités

Xq, a^j, x^, . . . .x^ j

rangées dans l'ordre croissant, nous indiquerons maintenant, de quelle manière on obtient les solutions des équations (4), dans lesquelles x^ a la plus grande valeur ou x^^ la plus petite valeur. En désignant par

les réduites qu'on obtient en arrêtant la fraction continue ^ 1

au 1-er, 2-me, 3-me. . . ., w-me, . . . . quotient incomplet, on aura

9n Jx) __ 1

Par cette raison, les équations (4) à 2n inconnues '^o? *^n *^2' • • • ••^M— 1'

étant résolues, l'équation

sera satisfaite d'après le § 2.

Il en résulte que dans cette solution les inconnues

sont racines de l'équation

par conséquent la moindre racine de cette équation donne la valeur de Xq et la plus grande celle de x^^. Pour obtenir les conditions dans lesquelles

iCo atteint la plus grande valeur ou x^^ la plus petite, nous remarquons que, d'après les propriétés des réduites, les fonctions

■ 'Il (^), +2 (^), • • . 4m (^). Im-i-i W.

dans le cas considéré, sont déterminées par les équations

'\>2 W = («2 ^" -^ P2) Il W — 1 ,

(6) lm(^) = K ^-^U •L.(^)-|«.(^),

(7) lm^.(^) = K^» ^H-?^^J ,^^(^)^^(a;), et d'après le § 2 on a

La première de ces équations fait voir que l'équation

|,(^) = 0 a une solution

Eu portant cette quantité dans la seconde équation et remarquant que

on obtient

Mais en posant consécutivement

x= — 00, a; = -4- 00, et remarquant que d'après les conditions (8)

on trouve

On voit d'après ces valeurs de la fonction '^^{x) pour x = — 00, x = — ^, a; = H-oo que ic = — ^, racine de l'équation

li(^) = 0,

est contenue entre la plus grande et la plus petite racine de l'équation

Pour étendre ce raisonnement à toutes les équations formées au moyen de deux fonctions consécutives de la série

nous allons maintenant démontrer que toutes les racines de l'équation

+„(*) = 0 sont contenues entre la plus grande et la plus petite racine de Téquation

si cette propriété a lieu par rapport aux équations

En effet, en désignant par Jiq la plus petite racine de l'équation

et par Ji la plus grande racine et supposant démontré que toutes les racines de l'équation

sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation on remarque que l'équation

ne contient pas de racines ni entre x = — oo, x = î1q, ni entre x = -i-ooj x = h et que par conséquent les valeurs

sont de même signe que

Cela étant, de l'équation (7), en y posant successivement x = \, x = h,

et remarquant que

d'après la définition des quantités h^ et ^, on trouvera les valeurs de

avec des signes contraires à ceux de

Puisque ces quantités, d'après les relations (6), (7), (8), ont les mêmes signes que les quantités

on conclut que dans l'hypothèse admise la fonction '^^^^{x) change son signe entre x = — oo et x = 1iq^ ainsi que dans l'intervalle x^=Ti Qi x = oo; par conséquent, l'équation

a une racine inférieure hh^^X^ plus petite racine de l'équation

et une racine supérieure à /z, la plus grande racine de cette dernière équation. Il en résulte que toutes les racines de l'équation

sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation

si cette propriété a lieu par rapport aux équations

Cela posé, en passant successivement des équations aux équations

on remarque que généralement avec l'augmentation de l'indice v la plus petite racine de l'équation

diminue et la plus grande racine augmente.

§ 6. Cette propriété de l'équation

permet sans difficulté d'indiquer la condition dans laquelle, en résolvant les équations (4), on obtient la plus petite valeur pour x^^ ou la plus grande valeur pour Xq.

Nous avons vu (§ 3) que dans la résolution des équations (4) il est nécessaire de distinguer deux cas: le cas de l pair et celui de l impair.

Dans le cas de l pair, en posant l=2k, nous avons montré que les solutions des équations (4) résultent de l'égalité

(Q) V yj ^ l