Hl
ul-
Si
pour ces valeurs de ^g
es sommes
ne peuvent pas atteindre leur limite
Maintenant nous allons nous occuper de la détermination de la limite supérieure des sommes
0 Qi
lorsqu'elles restent inférieures à la somme
Ces limites diffèrent plus ou moins de cette dernière somme selon les valeurs
des termes de la série correspondants aux termes
de la série
V, <, </--"WV-i'
lesquels avec les valeurs
représentent les termes-limites des sommes considérées.
Nous désignerons les valeurs des termes ^g, ^g^ par v, w, en posant
(15) ^g = ^, ^qi = ^;
nous poserons en même temps
a et b étant des quantités données. Pour la possibilité des équations (4) et (12) dans les conditions posées il faut que les quantités a, 6, comme limites entre lesquelles sont contenues les quantités
a?o, a^i, oc^, a;^i,
satisfassent aux inégalités
mais les quantités v, w, étant, d'après (15), contenues dans la série
ne peuvent pas sortir hors des limites z^^a et z == &. § 8. Pour obtenir la limite supérieure de la somme
dans les conditions supposées, nous chercherons, parmi tous les systèmes de quantités
Wo, w„ %2, «*p i,
satisfaisant aux équations (13) et aux conditions
celui pour lequel la somme
2 **/ = «^o' -»- ^i' -*- Wa' -^ -^ V
atteint la plus grande valeur. Dans cette recherche nous ne ferons aucune hypothèse particulière sur les nombres jp, q\ ces nombres, comme nous verrons, se déterminent complètement dans la recherche du maximum de la somme
V ^ ^^2 -H Wg' -*- H- W^^ ,
si seulement dans la série tous les termes
diffèrent de zéro. Cette condition peut être toujours réalisée dans la formation de la série
comme cela est indiqué dans le § 7. De cette manière on éloigne la possibilité d'augmenter infiniment les nombres ^, q en ajoutant à cette série les termes égaux à zéro.
Pour obtenir la plus grande valeur de la somme
"V W^.2 = Uq^ | w^2 , ^^2 , ^ ^ ^ , ^3
dans les conditions supposées, appliquons la méthode connue pour la recherche du maximum relatif et remarquons que les inconnues
et les données
^OJ ^H ^2> ^Z-i>
sont liées par l équations (13), En introduisant l quantités auxiliaires
et posant pour abrégé
on obtient pour la détermination des quantités
donnant le maximum cherché, les équations suivantes
^ ôUq i duQ a duQ l—i duQ ôuq '
^ dwp i ' ^«p— 1 2 ^"p— 1 *— 1 ^Wp— 1 ^î*p— 1 '
An ^ H À, 5 H À„ ^ 1- . . . . -f- A, , ^-- i T = 0,
> ^^0 . \ àS^ . dS^ . dSi i àX ^
^ azp 2 1 dzp 2 2 a^p 2 /— 1 dZp^ àzp^2 '
mais au moyen des équations (16) on trouve
^-^ = nzp-'u.', pour 7] = 0, 1, 2, ^— 1,
è-= 1, 2, 3,....,2— 1, 2-Hl, 2-^2,....2>-2,
:2zp Ui, pour 73 = 0, 1, 2, ^— 1, i=0, 1, 2, p—\.
^â| = 2w., pour ^ = 0, 1,2,.... g,
^ = 0, pour i = g-+-l, q-A-2, iJ— 1,
^ = 0, pour ê = l, 2, 2 — 1, 2-*-l, g-t-2, i?— 2;
donc les équations qu'on vient d'écrire prennent la forme suivante
2 {\-^\ Zi-*-\ ^/-4-. . . .-^-\, ^/~'— 1) w.- = 0, pour
2 p^o -H \ Zi -^\ z.^-i- -+- X^j ^/~^) w,. •■= 0,
pour
i = g-+-l, 2-1-2,....^ — 1, et enfin
(1 .\-^2\ ^.-f-. . . .-H(^- 1) X^^ ^/-^ w/ = 0, pour
ce qu'on peut abréger de la manière suivante
2 {6 {z,)—\) w< = 0, pour « = 0, 1, 2, 2,
2 0 (0.) M,. = 0, pour i==g-i- 1, 2-*- 2, ^ — 1,
â' {z^ u? = 0, pour i=l, 2,. ...g— 1, g-i-l,....2> — 2, en désignant par ^ {z^ la fonction entière (1 7) 0 {z) = \^ i-^ -H \^ é-^-^- ....-t-l.z^-i-l^z^'Ko'
Supposant, comme nous l'avons fait ci-dessus, qu'aucune des quantités
n'est égale à zéro, et supprimant 2w^. et w/, on déduit de ces équations
û (z^) — 1=0, pour i = 1, 2, ... .5,
0 (z^)z=0^ pour i = g-Hl, q-t-2,. . . .p — 2,
6''(^^.) = 0, pour i=l, 2,....g— 1, g-i-l, ....?) — 2.
Mais dans le cas ê ^ 0 ou ê =29 — 1, quand m,, peut être nulle, ces équations donnent
Il en résulte que si îIq est différente de zéro, et
si M est différente de zéro.
§ 9. Au riioyen des égalités obtenues on peut indiquer, comment la limite inférieure du nombre des racines de l'équation
dépend du nombre jp, ce qui donne le moyen d'obtenir la limite supérieure de ce nombre.
Remarquons pour cela que, d'après le § 8, les équations
outre les racines égales à
— ob«
peuvent avoir des racines égales à
Pour embrasser tous les cas possibles, nous désignerons par a- le nombre 1 ou 0, suivant que l'équation
a une racine égale à Sq ou non, et par Œj le nombre 1 ou 0, suivant que l'équation
est satisfaite par 2 = ^ ou non. Au moyen des quantités a, o-j le nombre des différentes racines de l'équation
contenues dans la série s'exprime par la somme
et le nombre des différentes racines de l'équation
6{z) = 0, contenues dans la série
s'exprime par la somme
En remarquant que la dérivée O' {3) doit se réduire à zéro entre deux racines consécutives de l'une et de l'autre équation, on conclut que dans les intervalles entre deux termes des séries
^g-f-i) ^3-t-2)' • • •%— 2j ^p — 1 on aura au moins
différentes racines de l'équation
Puisque, d'après le § 8, à cette équation satisfont encore p — 3 quantités
^1, ^2J-«°«^7 iï ^jH-i? -^p-a»
elle doit avoir au moins
racines différentes, et par conséquent son degré ne peut pas être inférieur à ce nombre, ce qui d'après (17) suppose
l — 2 > 2jp -4- 0- -H CTj — 7; il en résulte (18) 2i?<^ — or — 0-1-1-5,
p étant, d'après notre notation, le nombre des quantités pour lesquelles on obtient le maximum cherché de la somme
les nombres a, o-^ signifiant 1 ou 0, suivant que is = Zq satisfait à l'équation
et ^ = ^ 1 à l'équation
ou non. Puisque d'après le § 8 l'é
peut ne pas avoir lieu que dans le cas u^ = 0, et l'égalité
dans le cas u
^ = 0, on conclut que l'égalité
suppose et l'égalité
suppose
D'après la formule (18), en désignant par le symbole E la partie entière de la fraction, on trouve
Cette formule détermine la limite supérieure de ^, du nombre d'inconnues
î(0, Wi, t^2» Wp-1-
Puisque le cas de p plus grand comprend tous les cas où p a. une valeur plus petite, nous supposerons que p ait la plus grande valeur possible, donnée par la formule
(19) ^ = ^izi^L±i.
§ 10. En s'arrêtant au cas de l pair et posant 1 = 2k^ on trouve d'après la formule (19)
les nombres o-, o-^ ayant, comme nous avons vu, les valeurs 0, 1. En supposant o- = 0, (t^ = 0, on obtient d'après cette formule
mais, d'après ce que nous avons dit dans le § 9 sur les égalités
on conclut que dans le cas considéré les quantités u^^ u^^ s'annullent; par conséquent le nombre de termes de la série
Wo, Wj, Wg, «*p j, Mp p
différents de zéro, est
p — 2=fc.
Pour cette raison les équations (13), en y supprimant les termes avec les facteurs m^, u égals à zéro et en y remplaçant
par
se réduisent aux équations (4) dont le nombre est n = k. Pour cette valeur de n ces équations n'ont d'après le § 5 qu'une solution, dans laquelle
satisfont à l'équation
En remarquant, d'après la formule (15), que
est une des quantités
on conclut que l'hypothèse considérée
ne peut avoir lieu que dans le cas, lorsque la quantité donnée v est égale à une des racines de l'équation
Dans le cas contraire nous devons chercher la solution de notre problème en faisant d'autres hypothèses sur les nombres o-, cr^ .
Supposant
cr = l, <7i=l,
on trouve d'après la formule (20)
Il en résulte que dans cette hypothèse les équations (13) contiendront 2{Jc-+-l) inconnues
Wo , Mj . . . .w^ ; par conséquent ces équations, lorsqu'on y remplace
par
2/0, Vi, Vki
se ramènent aux équations (4) dont le nombre est w = ^-i-l.
En résolvant ces équations, d'après le § 5 on trouve que les quantités
doivent satisfaire à l'équation
et, puisque d'après le formules (15) et (15)^'' on a
cela suppose les égalités
Pour indiquer à quoi se réduisent ces égalités, nous y portons l'expression de la fonction '^j^^^{x) par les fonctions '^,^{x) et '^,^^{x) qu'on obtient de la formule (7) pour m = k. De cette manière on trouve trois équations
(21) («,^, a-Hp,^,) 4'*(«) — 1'*-,(«) = 0,
Il suit de l'équation (22) que
En portant cette valeur de [B^^^ dans les équations (21) et (23) et les resolvant par rapport à o^^-*-!^ ^° obtient deux formules pour la détermination de ce coefficient
V^^^ ^k^x — a-v L ^a(«) ^aW J'
Il en résulte que l'hypothèse considérée a=l, a,= l
ne peut pas avoir lieu, si les deux valeurs de a^^^ obtenues par ces formules sont différentes entre elles.
§ 11. Passant à l'hypothèse
on obtient d'après la formule (20)
p = 'k-\-.2; mais il résulte de l'égalité
a = 0 que (§ 9)
. Wo = 0.
Donc pour
le nombre de quantités
différentes de zéro est Jc-+-\; par conséquent, les équations (18), en y supprimant le terme avec le facteur u^^ égal à zéro, ne contiendront que 2 (A; H- 1) inconnues
En posant
V = 2/o, < = 2/i,- . . -S'^^/ç-i'- • • •^'*-.-i = 2/a, on ramène ces équations au système (4), dans lequel n = k-i-l, et par conséquent d'après le § 5 les quantités
sont racines de l'équation
Puisque d'après les formules (15) et (15)^'' on a
à cette équation doivent satisfaire les quantités
a; = V, a; = 6, ce qui suppose les égalités
En y portant l'expression de la fonction '^4^i(^) par ^j;j^(a;), 4'ft i(^) donnée par la formule (7) pour m = k, on obtient les équations identiques aux (22), (23) donnant, comme nous avons vu, pour la détermination des constantes inconnues
contenues dans la fonction '\'i^^^ix), les formules suivantes
^ft-4-l
D'après ce que nous avons dit dans le § 5 et le § 7, la quantité a^^^ doit surpasser zéro et aucune des quantités
ne peut être inférieure à a.
La première condition suppose que la formule obtenue donne
de la deuxième condition il résulte que l'équation ayant les racines
^15 -2^2 > • • • • -^A-Hi 5
n'a pas de racines entre x = — oo et a; == a.
Il n'est pas difficile de démontrer que, quand la première condition est remplie, la seconde ne peut avoir lieu que dans le cas
Pour démontrer cela, remarquons que d'après la formule (7) dans le
cas
la fraction
a une valeur négative pour x = — cx^; mais son signe ne peut pas changer entre x= ^— oo, x = a, si l'équation
n'a pas déracine inférieure ha, car en même temps d'après le§ 5 l'équation
n'a pas non plus de racine inférieure à a.
Donc l'hypothèse considérée sur les nombres a, c-j ne peut avoir lieu que si la condition
est remplie.
En y portant, d'après la formule (7), l'expression de la fonction '\'/^^^(x) par 'l'i^ix), '\j^^{x) et, d'après la formule (24), la valeur de la constante %,^, on ramène cette inégalité à la suivante
Puisque v est contenue entre a et ?^ > a, la différence a — v est négative; par conséquent, après avoir divisé la dernière inégalité par a — v, on obtient
-, -> __! f ^A^iJiL) s^*— 1 (t>n
En remarquant que le second membre de cette formule a la même valeur que dans l'équation (25), on conclut que l'hypothèse
(T = 0, (Tj = 1
peut convenir aux demandes de notre problème seulement dans le cas, quand la formule (26) donne pour a^^^ une valeur, qui ne serait pas inférieure à celle qu'on obtient par la formule (25).
En considérant de la même manière la solution de notre problème dans l'hypothèse
quand d'après le § 9
on ramène les équations (13) aux équations (4), en posant En répétant ce que nous avons fait eu considérant le cas
(T = 0, (Ti=l,
nous déduisons que la constante a^^^ doit se déterminer par l'équation (25) et qu'elle ne doit pas être inférieure à celle, qu'on obtient par la formule (2 6).
Il en résulte que l'une des deux hypothèses
a = 0, (7^=1, (T=l, cr = 0
peut satisfaire aux demandes de notre problème, suivant que l'équation (25) ou (26) donne la plus grande valeur de a^^,. Dans le cas particulier, quand ces équations donnent la même valeur dea^^^^, les formules, qui déterminent la fonction
se ramènent à celles que nous avons obtenues en posant
Quant à l'hypothèse
elle n'est possible que si
sous cette condition les deux équations (25) et (26) donnent par conséquent, la fraction continue
se réduit à la fraction
a/, a;-t-Pjt'
servant, d'après ce que nous avons dit, à la solution de notre problème dans l'hypothèse
a = 0, (Tj = 0.
§ 12. D'après ce que nous avons démontré sur la détermination des valeurs de
qui donnent le maximum cherché de la somme
V H- Wi^ -^ -+- Wç^
pour l paire = 2A;, on voit que, malgré la possibilité de différentes hypothèses sur les nombres cr, a^ , ils ne peuvent pas exister deux systèmes différents de valeurs
satisfaisant aux demandes de notre problème.
Eu remarquant, d'après la forme de la somme
que sous les conditions posées elle doit avoir un maximum, on conclut que ce maximum aura lieu pour les valeurs
données par les formules obtenues.
Par ces formules, comme nous avons vu, on obtient les valeurs
au moyen de la fraction continue
a, ar -I- p, —
ttj a; -H ^2 ~
se déterminent par le développement de l'expression
en fraction continue
«A a? -^ 3jt — • . .
OÙ le coefficient a^^, est égal à la plus grande des quantités
j r^k-, («) ^A-i m 1 [H-xi^ ^k-im
a-v \ ^k{<^) <l>ft(u) J' h-v[ ^k{^ ^*(f) J'
et le nombre p^^j se détermine par l'égalité a ^k—x {y)
?k-^x — -j;j^) «ft-i-i ^'
En désignant par
9A-H jx) h-i-x (^)
la fraction ordinaire égale à la fraction continue
a, sr-t-P, — -
et par
les racines de l'équation
disposées en ordre croissant, on aura, d'après le § 1 1 , ou
avec l'égalité
^0 = 0, ou
avec l'égalité
D'après ce que nous avons dit sur les quantités
V, V,....w^p p «/o, 2/1,. -..^/n-i, ou voit que dans le premier cas on aura
«0^=0, u,' = yo,- ' "%' = yg-v "^k=yk-v^ ^'ft-f-i = 2/A, et dans le second
V = 2/o, V = 2'u----V = 2/ç,....V = %' wVi=0. Eu remarquant que d'après notre notation
et que d'après la formule (15)
on obtient que dans le premier cas auront lieu les relations
et dans le second cas les relations
En posant dans le premier cas q — 1 = f'-j ^t dans le second g = [/., ou aura dans les deux cas
(27) X = «/o-H2/i-f- -f-2/^, oc^ = v.
Pour déterminer les quantités
2/0, 2/1, Vy.,
contenues dans cette formule, on remarque que, d'après le § 5 pour n = k-i- l, on aura
2yi __ n-t-i (^) a; — Xi ^k^
d'où il résulte que
En déterminant par cette formule les quantités 2/0, 2/,, y^
et les portant dans l'égalité
on trouve que cette somme se compose des valeurs de la fraction
H-t-i jx) pour
racines successives de l'équation
la plus grande de ces racines x d'après la formule (27), étant égale à v, et la plus petite x^^ (d'après le § 8) étant > a; cette somme au moyen du symbole ^, introduit par Cauchy, se représente par la formule
où (0 est une quantité positive infiniment petite *). Ainsi, pour déterminer la valeur du maximum cherché pour l = 2fc, on obtient l'égalité
X^ / fh±±^,
§ 13. Passons au cas de l impaire et posons l=2k~i-l; par la formule (19) on trouve
où, comme nous avons vu,
a- = 0 ou 1 , 0-^ = 0 ou 1 .
En s'arrêtant à l'hypothèse
a = 0, crj = 0,
on obtient d'après cette formule
d'après ce que nous avons dit dans le § 9 sur le cas
*) Pour simplifier nos formules nous n'indiquons pas près du signe ^ les limites de la partie imaginaire de x, comme le faisait Cauchy; dans les questions que nous traitons les parties imaginaires de x sont nulles.
on a
Pour ces valeurs de
après la réduction des termes multipliés par u^ = 0, u = m^^^=: 0 et après le remplacement des inconnues
j)ar les inconnues
on ramène les équations (13) aux équations (4), dans lesquelles w=:A;-f- 1. Dans la solution de ces équations, comme nous avons démontré dans le § 5, les quantités
sont les racines de l'équation
cette fonction ^^^^{x) se détermine, comme nous avons dit dans le § 4 dans le cas / = 2^ H- 1 , par l'égalité
h^ii^) «i^-*-3i-a^^H- &,-...
<*!> Kn '^a? V27 '^A? Ka' '^A-f-i
sont les mêmes que dans la fraction continue
i""-*-^^ ^iT^n:
H-t-i X -*- PA-t
et Y est une constante inconnue.
Pour déterminer la quantité y et la fonction 'i^^^^{x) qui contient y, on remarque que la série de quantités
^, = h^ x^,=z„. . . .x^^ = z^,. . , .x^ = ^^^^ contiendra la quantité
égale à v, d'après la formule (15); par conséquent, l'équation
doit être satisfaite par a; = «;, ce qui suppose l'égalité
Par cette raison, pour déterminer y, on remarque que l'équation (7) pour p^^j = Y, m = ^ donne
ce qui fournit, en vertu de l'égalité qu'on vient d'écrire, d'où Ton obtient
En portant cette valeur de y dans la formule (28), on trouve
(29) l**,W=[«*^.(^-^)-^^] 'l'iW-lA-.W-
Cette formule donne le premier membre de l'équation
qui détermine les quantités
Puisque d'après le § 7 les quantités
forment une série ascendante, oii, d'après la formule (15)^*^,
l'hypothèse considérée
cr = 0, 0-1 = 0
est impossible, si l'équation •^^^^{x)=0 a une racine hors des limites x=a, x = h; mais cela aura lieu, comme il n'est pas difficile de démontrer, si la fraction
h-^.l (a) h jb)
hi») ^/t-4-i(6) a une valeur positive.
En effet, si toutes les racines de l'équation
sont contenues entre a;=a, 'X=h, la même propriété a lieu, d'après le § 5, par rapport à l'équation
par conséquent, les quantités ont les mêmes signes que
et, à cause de cela, la fraction
doit avoir pour a; =: oo le même signe que la quantité 'l'k-,-1 («) i>k Q>)
4'A (a) h-*-i if>) '
Mais d'après la formule (7) on voit que cette fraction pour a; = cx3 se réduit à — 1.
De cette manière nous nous persuadons que pour la possibilité de l'hypothèse
dans la solution de notre problème, il est nécessaire que la fraction h-t-i («) h jb)
'l'kia) ^>k~t-iib)
soit négative.
En y portant l'expression de la fonction ^j^^^^ (x) par la formule (29), ou trouve que cette fraction est égale à
En décomposant cette expression en deux facteurs
1 [h-i («) ^*-i m ^ ^-^' 1 r4>A-i(b) 4^fe-i(pn ,^ '
h-vl ^kib) h{v) J *-^»
et remarquant que le premier facteur pour
a une valeur négative, on conclut que l'hypothèse (7 = 0, ai = 0
pour
ne peut avoir lieu que dans le cas, où
1 rh-i («) ^k-x m ^
. &-f L hm ^ki^) J *-*-»
§ 14. En passant à l'hypothèse
cr=l, (Ti=l, pour
on trouve, d'après la formule (19),
p = E ^ =fc-t-2.
Il en résulte que dans le cas considéré les équations (13) contiendront 2 (fc H- 2) inconnues
et que ces équations se ramènent aux équations (4), le nombre n étant égal à /c H- 2, si l'on pose
Mais dans la solution de ces équations, d'après le § 5, comme nous
avons vu, les inconnues
sont les racines de l'équation
la fonction ^i^^,{x) étant le dénominateur de la fraction ordinaire, à laquelle se réduit la fraction continue
Ti aï -«- Y2
Dans cette fraction continue les quantités
se déterminent d'après le § 4 par le développement de l'expression
en fraction continue
''> aj a; -f- 0
et
T. ïi, Ta
sont trois constantes inconnues qu'il faut déterminer.
Pour obtenir les équations qui déterminent ces constantes, nous remarquons que parmi les quantités
satisfaisant à l'équation se trouvent les quantités
égales, d'après le § 7, à
par conséquent, auront lieu les égalités
où ^f^^^{x) est la fonction, dont on obtient facilement l'expression par ^l/^ioc) et ^^j (a?) au moyen de l'équation (7).
En effet, en posant dans cette équation
on trouve mais en posant on obtient
'J^*-^-^ (^) = (yi ^ ^- Ta) 'J^A-^i (^) — i'k (^); .
il en résulte après l'élimination de '\'k^^{x):
+*-H. (^) = [(Ti ^ -*- Ta) («A-Hi ^ -+- t) — 1] +* (^) — (Ti ^ -*- Ta) ••1^*-, (^)- En déterminant par cette formule les valeurs
et les portant dans les égalités (30), on obtient les trois équations suivantes:
[(Ti ^-^Ta) K-^i «^-^T)— 1] ^ft(«) — (ïi^-^-ïa) i>&i(«) = 0, [(Ti^-»-T2) K-^1 v-^-j)—1] ^a(«^) — (Ti^-^ïa) ^*-x(^) = 0,
Mais en résolvant ces équations par rapport à
Tj Yi' Ta»
on obtient pour la détermination de ces quantités les formules qu'on peut présenter de la manière suivante:
..h-i{a) (b-«)PPi ^ „ ^ a-p)^ ^ (l-p)(ap-b)
T— 4,^(a) 1-p °'*-4-i "' Ti — (b a)2pp^' Ta— (& - «)2 pp^ '
OÙ
