L 4'ft(6) ^k{v) J *-»-i

Pi — 6 a L -l'ftW 'î'ftla) J ^*'«-i'

En comparant la dernière formule avec l'inégalité (10) et remarquant que

on conclut que

Pi<0,

et, à cause de cela, d'après la formule qui détermine la constante Yj , cette quantité aura le signe contraire à celui de la quantité p, égale, comme nous avons vu, à la fraction

1 [H-M H-xm ^

b~V L hib) h{v) J ^*-4-l

En remarquant que y^, étant le coefficient de x dans un des quotients incomplets de la fraction continue résultante du développement de la somme

^^ X — Xi

doit, d'après le § 2, avoir une valeur positive, on conclut que pour la possibilité de l'hypothèse considérée

cette fraction doit être inférieure à zéro, ce qui est directement contraire au résultat obtenu dans l'hypothèse

Quant aux hypothèses

(7=1, or, = 0,

on aura pour ces valeurs de a-, o-^ et pour l==2k-*-l, d'après la formule (19),

Il en résulte que dans ces hypothèses les équations (13) contiendront le même nombre d'inconnues que dans l'hypothèse

par conséquent, leurs solutions, si elles sont seulement possibles, s'obtiendront par les formules que nous avons trouvées pour le cas

§ 15. On voit, de ce que nous avons démontré, que dans le cas de l impair ils n'existent pas non plus deux systèmes différents de quantités

satisfaisant aux demandes de notre problème; par conséquent, les valeurs de ces inconnues obtenues par les formules démontrées doivent donner le maximum cherché de la somme

X = Uq-^U^-^. . . . -f- M^ .

D'après ces formules, pour ?=2fc-i-l, la résolution des équations (13) se ramène, comme nous avons vu, aux équations (4), le nombre n étant égal ou à /:-f-l, ou à h^-2. Le premier cas a lieu, si la valeur de la fraction

h-vl ^a(&) ^A(tJ) J ""k^i

est plus grande que zéro, le second cas, si elle est inférieure à zéro. Dans le premier cas on a

dans le second

^A-^| — -^ft-*-!'

< = ^o, W,' = 2/n. . . -V^^?'- • • -^Vi^^ft-*-.' OÙ pour

w = ifc-i- 1, de même que pour

on détermine les quantités

par l'égalité

Dans cette égalité les quantités

sont égales à celles, qui sont contenues dans la fraction continue

ttj rc -+- P, —

a^ a; -f- fij ~ • • . 1

• j résultante du développement de l'expression

la détermination des autres quantités est différente, suivant que w = A; -h 1 ou >i = A; -+- 2. Dans le premier cas on a

ft ^A— 1 («)

dans le sec(md cas

ft ^k~x («) (fe - «) PPi ^ „ ^ (1-p)^ û (l-p)(ap-?))

rw~i ^,.{a) 1 — p ""A-f-i "' %— (ft a)2pp^' P„— (5 o)2pp^ '

OÙ les quantités auxiliaires p, Pj sont déterminées par les formules indiquées dans le § 14.

En portant les quantités indiquées plus haut

dans la formule

et dans l'équation (15), on aura dans le premier cas

^ = 2/0 -^2/1 -+-.... -i-t/ç,, Xq, = V, et dans le second cas

^ = 2/o-+-2/i-^-...-*-2/,, ^g = v- En posant dans le premier cas

et dans le second cas

on conclut que dans les deux cas auront lieu les égalités

il en résulte, comme cela était indiqué dans le § 12, la formule suivante pour la détermination de la somme X au moyen du symbole £,:

§ 16. La méthode que nous avons employée pour déterminer le maximum de la somme

peut être aussi appliquée à la recherche de la plus grande valeur de la somme

En désignant la dernière somme par X^, on a

Cette somme, comme il n'est pas difficile de remarquer, se ramène à celle que nous avons considérée, en y mettant^ — i — 1 au lieu de i et posant

Il en résulte que les formules obtenues antérieurement se ramènent à celles, qui ont lieu pour la nouvelle somme, en y effectuant tous les changements produits par le remplacement de i par p — i — 1.

En posant

on trouve, que la somme p

se ramène à la somme

ayant la même forme que la somme

les équations (15) donnent

les équations (15)^^3 deviennent

mais les équations (13) conservent leur forme avec le seul changement de g, u en Z, U,

Il en résulte qu'en changeant a en &, 6 en a et i; en ^^; dans les formules obtenues pour

donnant le maximum de la somme

X = u^-v-u^-\- . . . .-^u^ pour

on obtient les formules, qui donnent les valeurs Zq, z,,. . . . -Zp j,

Cq , Cj , . . . . C ^p

correspondant au maximum de la somme

Puisqu'il est clair d'après la composition des formules obtenues dans les §§ 8, 9, 10, 11, 12, 13, que les équations qui déterminent les quantités

restent invariables, quand on y change « en &, & en a, on conclut que tout

ce que nous avons dit sur la détermination de ces quantités est aussi applicable à la détermination des quantités

Zq, Zi, ... .Zp i,

Pour cette raison les valeurs des inconnues donnant le maximum cherché pour l=2U ou l=2k-^\ seront déterminées au moyeu de la fraction continue

résultante du développement de l'expression

Cette fraction, comme nous avons montré dans les §§ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, détermine la fraction continue

donnant la solution de notre problème, n étant égal à 7^ h- 1 ou /c-i- 2. En désignant par

la fraction simple égale à la fraction continue, on obtient l'équation

servant à déterminer

Zo, Zj, Zp j

et la formule