LECTURE DIRECTE DES DERNIERS POIDS

Cette balance de précision (2), d'une disposition nouvelle, permet d'exécuter les pesées avec une très grande rapidité.

Les figures ci-contre ( fi g. 1,2) donnent une vue d'ensemble et une coupe verticale de l'instrument.

Cette balance possède comme organes spéciaux :

i° Un micromètre (m, m) portant un grand nombre de divisions et fixé à l'extrémité du fléau;

20 Un microscope fixé dans les parois de la cage et braqué sur le micromètre; ce microscope possède un réticule et un oculaire positif;

3° Des amortisseurs à air (A, A). Les cloches ou parties mobiles des amortisseurs sont suspendues au-dessous des plateaux. Pendant le mouvement de la balance, elles pénètrent plus ou moins dans les cuvettes ou parties fixes des amortisseurs (3).

( ') Cet article est la reproduction d'une Notice de la Société centrale de Produits chimiques, de l'année 1889.

Un résumé en a paru dans le Journal de Physique, 2e série, t. IX, 1890, p. i38, avec quelques développements sur la question des amortisseurs. Nous avons reproduit intégralement cette dernière partie de l'article du Journal de Physique et nous avons supprimé le paragraphe de la Notice qui y est relatif et qui ferait double emploi. {Note des éditeurs. )

(2) "Voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CVJII, 1889, p. 663.

(') Les amortisseurs à air ont déjà été employés avec succès par MM. Bichat et Blondlot dans leur électromètre absolu qui affecte précisément la forme d'une balance. (Voir Journal de Physique, 20 série, t. V, 1886, p. 3a5 et 457-)

Pour faire une pesée avec cet appareil, on commence comme de coutume à l'aide d'une série de poids, mais on s'arrête dans les essais successifs au poids de os, i ; on laisse ensuite le fléau de la balance s'incliner sous l'influence de la petite différence de charge qui reste encore entre les plateaux; après une ou deux oscillations, le fléau atteint sa position d'équilibre, et on lit directement sur le

Fis. i.

micromètre, à l'aide du microscope, le restant de la pesée à { ou à jç de milligramme.

Les avantages de ce système sont les suivants :

i° On évite tous les essais relatifs aux plus petits poids, c'està-dire la partie la plus longue et la plus délicate d'une pesée ordinaire :

2° L'emploi du microscope permet de placer le centre de gravité du fléau beaucoup plus bas que dans les balances ordinaires ; il en résulte une grande rapidité dans les mouvements de l'instrument ;

3° Sôus l'influence de l'amortissement, le fléau s'arrête en quelques secondes dans sa position d'équilibre;

4° La grande distance du centre de gravité à l'arête du couteau central permet d'obtenir facilement un réglage tel que la sensibilité soit indépendante de la charge placée dans les plateaux (').

Détails de construction de la balance.

La balance est montée sur un plan de verre qui supporte à la fois la colonne centrale, la cage et les boîtes des amortisseurs.

Le micromètre, obtenu par un procédé photographique, porte des traits et des chiffres. Il est généralement disposé pour fonctionner sur une étendue de 2ooms. La chiffraison va de o à 200, mais chaque milligramme est divisé en 4- (soit 4oo divisions en tout). On apprécie sans hésitation la position du fil du réticule du microscope à 4- d'une division près ; on a ainsi le dixième de milligramme.

Le fléau porte diverses pièces de réglage. Une première pièce sert pour le micromètre, dont la direction doit être réglée avec soin.

Un bouton moleté situé à gauche du fléau permet d'équilibrer le fléau ; des vis spéciales servent à régler la longueur des bras et la hauteur des couteaux.

(') Le mode de lecture à l'aide d'un microscope braqué sur un micromètre mobile, fixé à l'extrémité de l'aiguille d'un instrument, est très avantageux et peut être appliqué à tous les appareils apériodiques. Même avec un faible grossissement, on a une sensibilité beaucoup plus grande qu'avec les échelles à réflexion : le nombre des divisions sur le micromètre peut être aussi grand qu'on veut, sans qu'il en résulte la moindre gène; enfin, avec ce mode de lecture, les instruments sont plus ramassés, ne comportent pas d'installation spéciale et ne nécessitent pas l'obscurité. Par contre, ce système présente quelques inconvénients. Pour qu'on puisse faire les lectures, il est nécessaire que l'instrument soit apériodique, ou, tout au moins, s'arrête rapidement; enfin, on est obligé d'avoir l'œil devant un oculaire, ce qui est parfois gênant. Nous avons déjà appliqué cette disposition,, inon frère et moi, dans la construction d'un électromètre à bilame de quartz. {Journal de Physique, 2" série, t. VIII, 1889, p. 162.)

Un bouton moleté situé à la partie supérieure du fléau permet d'élever ou d'abaisser le centre de gravité.

Ces divers organes, nécessaires au constructeur pour le réglage général de l'instrument, ne doivent pas être dérangés.

Le réglage très parfait de l'instrument permet d'avoir une sensibilité invariable, quelle que soit la charge placée dans les plateaux.

Le réticule du microscope est fixé sur une pièce en cuivre qui

Fig. 2.

peut se déplacer dans une coulisse, sous l'action d'une vis mue par un bouton moleté.

Le micromètre peut être éclairé soit directement, soit par l'intermédiaire d'un miroir éclaireur qui est muni de deux mouvements à angle droit, et peut ainsi prendre la lumière en un point quelconque de la pièce.

Un petit cylindre recouvert de peau de chamois est livré en même temps que la balance, et sert à nettoyer l'intérieur de la gouttière de la cuvette de l'amortisseur, si l'on a lieu de craindre que des poussières ou des peluches introduites dans l'instrument n'en gênent le fonctionnement.

Installation et fonctionnement de l'instrument.

La balance doit être placée sur une tablette fixée au mur ou sur une table bien stable. Elle ne doit à aucun moment de la journée recevoir directement les rayons du soleil. Le fléau et le microscope étant en place, on doit tout d'abord s'assurer que, dans la position où se trouve la balance, le micromètre pourra être éclairé, soit directement si l'on se trouve en face d'une fenêtre, soit, ce qui est le cas le plus fréquent, par l'intermédiaire du miroir éclaireur convenablement orienté.

Le soir, la lumière peut être empruntée à une lampe quelconque située dans la pièce. L'éclairage sera plus uniforme si cette lampe est enveloppée par un globe de verre dépoli.

Après avoir réglé, bien exactement, le niveau à bulle d'air à l'aide des deux vis calantes, on place successivement de chaque côté le crochet de l'étrier, l'amortisseur (au crochet le plus élevé) et le plateau, en observant les repères pour ne pas se tromper de côté. Si l'instrument n'a pas été dérangé pendant le transport, les parties cylindriques des cloches des amortisseurs doivent pénétrer dans les gouttières correspondantes des cuvettes sans toucher en aucun point les parois de ces cuvettes.

Pour régler le microscope, on met d'abord le réticule au point à l'aide de l'oculaire, puis le micromètre au point en enfonçant plus ou moins le coulant du microscope. Il faut aussi régler une fois pour toutes la direction des traits du réticule, et pour cela tourner le coulant du microscope jusqu'à ce que l'un des deux traits rectangulaires du réticule soit exactement parallèle à la direction générale du micromètre, c'est-à-dire bien exactemeut parallèle à la ligne droite qui passe par toutes les extrémités gauches des divisions, par exemple. Ce premier réglage une fois fait aussi bien que possible, il est inutile de toucher jamais au coulant du microscope, et les personnes ayant diverses vues qui peuvent avoir à se servir de la balance mettent à la fois au point le réticule et le micromètre en déplaçant légèrement l'oculaire, qui est emboîté à frottement très doux.

La position d équilibre de la balance avec égalité de charge dans les plateaux correspond au moment où le fil du réticule est sur la division ioo, V arrêt étant baissé. — Si, en baissant l'arrêt de la balance, les plateaux étant vides ou également chargés, le fil du réticule ne coïncide pas exactement avec cette division, on déplacera légèrement le réticule du microscope à l'aide de la vis qui se trouve au-dessous, jusqu'à ce que la coïncidence ait lieu bien exactement. Ce petit réglage préliminaire donne une grande économie de temps, car il permet de compenser immédiatement les très petites différences de poids accidentelles qui existent toujours entre les deux côtés d'une balance.

Il ne faut pas faire attention à la division devant laquelle se trouve le fil du réticule lorsque V arrêt est soulevé. — Cette division, qui diffère généralement de quelques unités de la division ioo, n'a aucune importance : elle dépend, en effet, de la quantité dont le fléau est soulevé et du petit changement d'orientation qu'il éprouve lorsqu'il est saisi par l'arrêt.

Pour faire une pesée par simple pesée, on place le corps à gauche et les poids à droite ; après avoir fait les essais jusqu'au poids de o§,i, on laisse la balance s'arrêter, ce qui a lieu après deux ou trois courtes oscillations, et on lit la position du trait horizontal du réticule sur la division micrométrique.

Pour avoir le poids exact du corps, il faut ajouter le nombre de milligrammes lu sur le micromètre aux poids placés sur le plateau de droite, puis retrancher ioo milligrammes :

Premier exemple.

Pour équilibrer un corps placé dans le plateau de gauche, on

a mis dans le plateau de droite un poids de +57.700,0

On lit sur le micromètre -1- i54,6

Il faut retrancher 100 — 100,0

Poids du corps 57.754,6

Second exemple.

Pour équilibrer un corps, il a fallu +38. 200,0

On lit sur le micromètre -+- 28,2

Il faut retrancher [00 — 100,0

Poids du corps 38. 128,2

Lorsque l'on opère par double pesée, il faut placer la tare dans le plateau de gauche et faire de même les deux pesées nécessaires ; il est seulement inutile de retrancher ioo milligrammes à chaque pesée, puisque cette opération aurait lieu pour deux poids qui se retranchent.

Une propriété importante de V instrument est la sincérité de ses indications. — C'est ainsi que le plus petit défaut de fonctionnement peut se constater immédiatement par une simple lecture au micromètre, en plaçant un petit poids dans l'un des plateaux. Dans une balance ordinaire, il faut faire toute une étude des oscillations pour constater des irrégularités de l'ordre de grandeur des dixièmes de milligramme.

Enfin nous rappellerons que, pour peser exactement, à j^ de milligramme près, les précautions les plus minutieuses sont nécessaires, quel que soit le système de balance employé : les pièces placées sur les plateaux doivent avoir exactement la température de l'air de la cage; il faut baisser convenablement l'arrêt de la balance, éviter les poussières, les courants d'air, etc.

Remarques. — A la suite d'un transport ou d'un accident, il peut se faire que la balance se dérègle légèrement et que i décigramme ne corresponde plus exactement à 100 grandes divisions de l'échelle. Il conviendra alors de monter ou de baisser le centre de gravité, en agissant sur les boutons qui se trouvent à la partie supérieure du fléau jusqu'à ce qu'on ait la sensibilité voulue.

Un accident plus grave est survenu, lorsque la sensibilité varie avec la charge; on doit alors agir sur les vis qui servent à établir la hauteur des couteaux des extrémités, mais ce réglage plus délicat doit être fait nécessairement par le constructeur

Enfin, si les cloches des amortisseurs frottent contre les parois des cuvettes (ce qui ne peut arriver qu'à la suite d'une violente secousse), on peut remédier à cet inconvénient en desserrant les écrous qui fixent les cuvettes et en replaçant celles-ci convenablement. Ce réglage doit également être fait par le constructeur.

Notice théorique sur le fonctionnement des balances.

Dans tout instrument de mesure, on doit régler convenablement :

i° La sensibilité ;

2" La précision;

3° La rapidité des déterminations.

C'est à ce triple point de vue que nous allons passer en revue les organes de la balance.

Micromètre. — Lorsqu'une balance est en équilibre avec un excès de masse m dans l'un des plateaux, le fléau est incliné d'un angle a donné par la formule

(0 tan-a=M^'

M étant la masse du fléau,

L la distance entre l'arête du couteau central et celle d'un des

autres couteaux, cl la distance de l'arête du couteau central au centre de gravité

du fléau.

L, M et cl étant des constantes, on voit que la masse m est proportionnelle à la tangente de l'angle de déviation. Pour déduire exactement la masse m de la déviation, c'est donc la tangente et non l'angle qu'il s'agit de mesurer et que l'on mesure en effet dans le dispositif adopté.

Lorsque l'appareil est bien réglé, le prolongement du trait fixe horizontal du réticule du microscope doit passer par l'axe de rotation du fléau, et l'échelle micrométrique, pour égalité de poids dans les plateaux, doit être parallèle au trait vertical du réticule.

Quand la déviation s'est produite sous l'effet d'une différence de charge, le micromètre n'est plus vertical, et les traits de cette échelle sont légèrement inclinés vis-à-vis du trait horizontal du réticule du microscope. Cette circonstance ne donne aucune incer-

titude dans les lectures, lorsque les traits de l'échelle sont très courts et les déviations très petites.

L'expérience montre que les lectures au micromètre sont proportionnelles aux différences de charge, à une approximation au moins égale à y~» de l'échelle totale. Il faut toutefois pour cela que la balance soit construite avec soin (la solidité et la fixité de l'arrêt semblent être une des conditions principales pour avoir de bons résultats). Les couteaux doivent être parfaitement réglés.

Invariabilité de la sensibilité avec la charge. — La formule (i) n'est rigoureusement exacte que si les arêtes des trois couteaux sont dans un même plan. S'il en est autrement, la sensibilité dépend de la charge M, placée dans les plateaux.

Supposons l'arête du couteau central à une distance o au-dessus

du plan passant par les arêtes des couteaux des extrémités; on a

alors sensiblement

(2) tan g a

Pour que les indications du micromètre soient les mêmes quelle que soit la charge M, dans les plateaux, il est de toute nécessité que 0 soit nul ou très petit, de telle sorte que aM,o soit négligeable devant Mi. Ce résultat est pratiquement obtenu d'une façon parfaite au moyen des vis de réglage placées sous les couteaux. Il se trouve grandement facilité par l'emploi du microscope pour lire les déviations. En effet, les angles correspondant à une même différence de poids sont environ 100 fois plus faibles que dans les balances ordinaires. C'est-à-dire que la distance d du centre de gravité à l'arête du couteau central est environ 100 fois plus grande que d'ordinaire. Ainsi, dans une balance de 5oog avec aiguille donnant le dixième de milligramme, la distance d est seulement de -^ de millimètre; dans la même balance avec lecture au microscope, on a d=2mm. Il en résulte que la même valeur de 0, négligeable devant d= imm, ne l'est pas devant d= ■— de millimètre. Un petit défaut de réglage donnant une variation de ~; dans la sensibilité pour la charge maximum dans le premier cas donnerait une variation de sensibilité de | dans le second cas.

Flexion du fléau. — La flexion doit être bien faible dans les

BALANCE DE PRÉCISION APÉRIODIQUE. 53g

fléaux de balance, puisque l'on parvient à avoir une sensibilité invariable avec la charge. Nous avons voulu toutefois nous rendre compte de ce fait par des expériences directes. On fixe sur le fléau d'une balance trois petits micromètres, deux dans le voisinage des couteaux extrêmes et un vers le centre du fléau. Sur ces trois micromètres sont braqués trois microscopes fixes munis de réticules; on observe les trois micromètres avant et après avoir placé des poids dans les plateaux. On évite évidemment par cette méthode toute cause d'erreur provenant d'un mouvement d'ensemble du fléau. En opérant avec un fléau d'une balance de 5oos, on trouve que la flexion, très faible, est proportionnelle à la charge. L'arête du couteau central s'écarte seulement de 1 1 microns de la ligne qui joint les arêtes des couteaux extrêmes, lorsque l'on charge les plateaux avec 5oo§.

Si faibles que soient des quantités de cet ordre de grandeur, elles devraient cependant avoir une action appréciable sur la sensibilité, qui devrait varier proportionnellement au carré de la charge. On peut s'en assurer par un exemple numérique et en se servant de la formule (2). Mais une compensation partielle doit se faire sans que l'on s'en doute au moment où l'on règle les couteaux ; pour obtenir le meilleur effet, on doit placer les arêtes des couteaux extrêmes un peu au-dessus de l'arête du couteau central, à une distance S, ; on a alors 0 = — o, H-RM), et la formule (2) devient

(o) tan g a

Md — 2M,o, -4-2 KM|

où K dépend des propriétés élastiques du fléau, M, étant la charge variable placée dans les plateaux.

En discutant la façon dont varie la sensibilité, on voit que pour 8j = o,83KM2, où Mo représente la charge maximum et KM2 la flexion maximum, on est dans les meilleures conditions. La sensibilité commence par augmenter quand on charge les plateaux, elle passe par un maximum, reprend sa valeur première pour une charge égale à o,83 de la charge maximum, puis devient un peu plus faible pour les charges supérieures à celle-là; mais jamais la sensibilité ne varie plus que de £ de la variation qu'elle aurait éprouvée par la flexion, si les trois couteaux avaient été réglés dans un même plan au début. Ainsi cette compensation instinctive qui

se produit dans le réglage rend encore 6 fois plus faibles les effets déjà presque insensibles dus à la flexion.

Influence des dimensions de V arête des couteaux . — Les arêtes des couteaux peuvent être considérées dans une première approximation comme formées de surfaces cylindriques d'un très faible rayon de courbure. Cette circonstance ne change en rien les indications de l'instrument si les surfaces cylindriques sont bien régulières. Les trois lignes passant par les centres de courbure des sections droites de chacune des surfaces jouent le même rôle que des arêtes vives, et ce sont ces trois lignes qui doivent être dans un même plan pour que la sensibilité soit indépendante de la charge. Donc, quand les couteaux sont un peu émoussés, on peut encore avoir de très bons résultats en relevant encore un peu plus que de coutume les couteaux des extrémités au-dessus de l'arête du couteau central.

Loi du mouvement de la balance. — Lorsque la balance fonctionne sans amortisseur, elle oscille indéfiniment comme un

Fis. S.

pendule. Les déviations 8, comptées à partir de la position d'équilibre, sont données en fonction du temps t par la formule

représentée graphiquement figure 3 (courbe I). <j0 est la déviation maximum et T la période ou durée d'une oscillation double. ï est

alors donné par la formule

(7) T = 27V iO^— '

dans laquelle M est la masse du fléau, M| celle de la charge sur les couteaux extrêmes, L la longueur des bras, g l'intensité de la pesanteur, d la distance du couteau central au centre de gravité, p le rayon de giration du fléau, Mp2 étant son moment d'inertie.

L'emploi du microscope rendant d environ cent fois plus grand que de coutume, on voit que T est environ dix fois plus petit, c'est-à-dire que, lorsque la balance fonctionne sans amortisseurs, elle oscille très vite. Ainsi une balance de 5oos, sensible à j% de milligramme, mettra environ 3o secondes par oscillation double avec une aiguille et 3 secondes lorsqu'on emploie le microscope.

Lorsqu'on emploie les amortisseurs, l'équation différentielle du mouvement est

'(8) (M p»+ aMiL*).^ + L'-T ^ h- M dgQ = o,

y étant le coefficient d'amortissement total des deux amortisseurs. Cette équation différentielle linéaire est de la forme

dt* dt '

avec

L2y , M dç

et

■j(Mps+ 2M1L2) Mp2H-2]Vl1L:!

a et b étant des constantes. On sait que l'équation intégrée prend trois formes différentes suivant que l'on a

b1 — «2>o ou b- — a- = o ou b'2 — a2<o;

dans le premier cas, on a {Jig- 3) (courbe 11)

(9) 0 = 60e-a/! ( cos\/62— a2H sin^/62 — a-t );

dans le deuxième cas (courbe 111),

(10) 0 = 0oe-«'(i-4-aO;

dans le troisième cas (courbe IV),

avec

i-t- \egt+M )ePl

a= — a-\-ya- — b'1 et j3 = — a — \J a- — b-,

on a

4Mrf$-(Mp»+aM,L*) — Lty2

4(Mp5+Ç>M1L2)2

Si l'on suppose que l'amortissement, d'abord nul, prend successivement des valeurs de plus en plus grandes, on réalisera successivement tous les types de mouvement dont quelques-uns sont représentés figure 3.

Le mouvement, d'abord pendulaire (courbe 1), devient oscillatoire avec amplitudes successives décroissantes (courbe II); en même temps la pseudo-période va en augmentant. Puis, pour le mouvement critique correspondant à a'2=b'2 (courbe III), le mouvement devient apériodique, c'est-à-dire que le fléau se rapproche toujours de sa position d'équilibre sans la dépasser jamais. Puis, pour des amortissements plus grands encore, le mouvement devient de plus en plus lent, et la courbe s'étale de plus en plus (courbe IV).

Quel sera le meilleur amortissement pour que la déviation se réduise définitivement, en un temps aussi court que possible, à ^wôô-i par exemple, de sa valeur initiale? Avec un amortissement trop faible, la balance oscillera un nombre considérable de fois avant que l'on obtienne ce résultat. Avec un amortissement trop fort, le mouvement sera trop lent. La théorie et l'expérience montrent que le meilleur mouvement est un mouvement très voisin du mouvement apériodique critique qui satisfait à la relation a'2 = b'2.

Si l'on ne peut réaliser exactement ce mouvement, la théorie et l'expérience montrent également qu'il vaut mieux s'en écarter dans le sens d'un amortissement un peu trop faible que dans celui d'un amortissement trop fort.

La formule (12) montre que (b- — a'2) augmente avec la charge M, dans les plateaux; il est donc impossible d'avoir b'2 — - a'2 = o,

BALANCE DE PRECISION APÉRIODIQUE. f>43

quelle que soit la charge; on a alors adopté la règle pratique suivante :

L'amortissement est tel que la balance non chargée réalise sensiblement le mouvement critique pour lequel b2 = a'2 (courbe III).

Lorsque la balance a sa charge maximum, on doit alors attendre trois ou quatre oscillations rapides avant l'arrêt.

La formule (12) nous montre encore que l'emploi du microscope nous force à avoir un amortissement énorme pour obtenir un mouvement convenable. En effet, (b2 — a2) étant nul pour certaines valeurs de d et y, si l'on rend d 100 fois plus grand, il faudra rendre y i o fois plus grand pour conserver la relation b2 — «2=o (').

Des amortisseurs à cloche (2). — Après avoir essayé des amortisseurs magnétiques ou à liquides, j'ai fini par adopter, comme étant de beaucoup préférables, les amortisseurs à air. Ils se composent de cylindres concentriques avec fond, formant une espèce de cloche suspendue au-dessous des plateaux et entraînée comme ceux-ci dans le mouvement de la balance. Au-dessous de ce système, s'en trouve un autre analogue, mais renversé et fixe : c'est la cuvette de l'amortisseur. Les cylindres des systèmes supérieurs et inférieurs ont des diamètres un peu différents, de telle sorte que les cylindres du système supérieur mobile plongent dans les gouttières laissées entre les cylindres inférieurs fixes, sans jamais toucher aux parois. La coupe donne un système en chicane {Jig- 2). Quand le fléau s'incline, la cloche pénètre plus ou moins dans la cuvette et la quantité d'air varie dans la cloche. L'air ne peut circuler instantanément par le chemin long et rétréci qu'il est obligé de suivre entre les cylindres; il en résulte des variations de pression qui suffisent pour produire l'amortissement.

(*) On doit signaler que le fléau long des premiers modèles a été remplacé par un fléau court beaucoup plus rigide. Le microscope est monté sur une colonne métallique indépendante des parois de la cage de verre, ce qui évite toute variation de position du microscope.

Enfin, les amortisseurs, qui primitivement débordaient au dehors, sont maintenant entièrement à l'intérieur de la cage. {Note des éditeurs. )

(2) Journal de Physique, 2° série, t. IX, 1890, p. 146. Voir la note p. 53o.

Détermination du coefficient d'amortissement d'après les dimensions de V amortisseur. — Dans les amortisseurs, l'air de la cloche se met en équilibre avec l'air extérieur en un temps inappréciable vis-à-vis de la durée d'oscillation des balances; cela résulte du fait même du fonctionnement de l'appareil. En effet, les forces mises en jeu devant être de l'ordre de grandeur des centigrammes, il suffirait que le gaz restât sans s'écouler sous la cloche tandis que celle-ci se déplace de — de micron seulement pour qu'il en résultât une force antagoniste de o8,oo avec une cloche de 7e"1 de diamètre et une chambre à air de icm de hauteur.

On peut donc, à chaque instant, supposer que tout se passe comme si la cloche avait une vitesse de régime.

Soient :

V, le volume du gaz sous la cloche :

p, la vitesse verticale de la cloche; 11, le rayon de base de la cloche; />, l'excès de pression sous la cloche; /, Je temps.

On a

<i3) dV = r,Kiv dt.

\ASU

On trouve, pour la variation du volume d'un gaz qui s'écoule entre deux parois planes parallèles et rapprochées,

d\ ae3 ~di ~ \ili\ P'

e étant la distance entre les deux surfaces ;

/, la longueur parcourue par le gaz;

#, la largeur de la section d'écoulement;

Y), le coefficient de frottement intérieur de l'air.

Cette formule s'applique approximativement si, au lieu de surfaces planes, on a des surfaces cylindriques de rayon un peu grand, vis-à-vis de leurs distances (').

(') On a exactement, pour le débit entre deux surfaces cylindriques concen-

On a ici d'où 04)

a = 2TlR,

d\ 7iRe3

dt 6 lt\

Les équations (i3) et (i4) donnent (.5)

La force qui résulte de cette variation de pression est

67r/-nR3 F = tiR2o =— - — v.

ei

F En désignant par y les coefficients d'amortissement , c'està-dire la force antagoniste par unité de vitesse, on a

6tt/7]R3

Détermination du coefficient d' amortissement par expérience. — On peut calculer y par la formule qui précède; on peut aussi le mesurer en étudiant le mouvement de la balance [dont l'équation différentielle est donnée par la formule (8)]. On peut vérifier facilement les conséquences de cette formule ; en faisant varier la charge des plateaux M, ou la hauteur du centre de gravité, on obtiendra divers genres de mouvements à son gré.

Dans le cas où l'on veut mesurer y, il vaut mieux choisir un mouvement oscillatoire pas trop amorti, afin d'avoir un nombre suffisant d'oscillations pour faire une bonne mesure de la pseudopériode T (durée d'une oscillation double) et du décrément logarithmique \.

On a

2MJJ

4X Mp^

triques, ayant R et r comme rayons,

dt

Log nep. -

Le moment d'inertie Mp2 du fléau peut se déterminer soit en faisant osciller le fléau seul, après avoir déterminé d par la valeur de la sensibilité de la balance, soit en le faisant osciller autour d'un axe plus éloigné que le couteau du centre de gravité en le suspendant à l'aide de deux fils ( ' ).

En faisant osciller la balance avec les plateaux seuls, on détermine aussi un petit terme de correction provenant de l'amortissement qui se fait en dehors de l'amortisseur.

Pour simplifier la construction, nous employons généralement des amortisseurs formés d'une seule cloche ABGDE (fig. 4) plongeant dans une gouttière cylindrique. L'amortissement est le même que le dessus BD du milieu de la caisse de l'amortisseur soit ouvert ou fermé : ce résultat est bien conforme avec la théorie, puisque le volume de la chambre à air n'intervient pas.

Voici, pour quelques amortisseurs de dimensions variées, les

Fig. 4.

valeurs de y mesurées par l'amortissement de la balance et calculées par la formule (16) :

dans laquelle e est la distance entre la cloche et les parois, / = 2 AB est le chemin parcouru par le gaz.

Nous avons pris 71 = 0,00019 en employant toujours les

(*) Voir ce Volume, p. 520 et 52 1.

unités C.G.S. (y est la force antagoniste en dynes pour une

vitesse de la cloche de i - — )•

sec/

l. R. e. calculé. mesuré.

7,4 2,60 o,35 ioî9 io,5