CT

Cette quatrième Partie comprend les démonstrations d'un certain nombre des propositions énoncées dans la troisième; elles sont classées sous les mêmes numéros bissés.

8 bis. Théorème. — Si plusieurs axes de répétition appartenant ci un ou plusieurs systèmes d'axes homologues passent par un même point, le produit du nombre d'axes de chaque espèce peu- l'ordre de l'axe correspondant est un nombre constant et égal à l'ordre du centre de répétition que constitue le point.

Soient, par exemple, p le nombre d'axes homologues appartenant à une première espèce, q l'ordre de ces axes; p' etq', p" et q", ... le nombre et l'ordre des autres espèces d'axes; et soit n l'ordre du centre de répétition que constitue le point, on aura :

n= pq = p'q' = p"q" = ....

En effet, considérons toujours un système fixe et un système mobile identiques; choisissons un certain axe d'ordre q passant par le point dans le système mobile, et soit p le nombre d'axes de cette espèce passant par le point dans le système. Dans les différentes coïncidences des deux systèmes considérées successivement, l'axe choisi se confondra avec les p axes homologues du système fixe, d'oùy? groupes distincts de coïncidences; dans chacun de ces groupes on trouvera les q coïncidences distinctes que l'on obtiendrait en faisant tourner le système mobile autour de l'axe choisi; iïoùpq coïncidences distinctes.

De plus, on a considéré ainsi tous les cas de coïncidences, car, pour une quelconque d'entre elles, l'axe choisi précédemment dans le système mobile se confond avec un des p axes de même espèce du système fixe, et nous avons considéré dans chacun des cas de ce genre les q coïncidences possibles. Donc, n étant l'ordre de l'axe de répétition que constitue le point, on a

n = pq.

Pour d'autres espèces d'axes, on aurait de même :

Exemples.

Tétraèdre régulier. — Par le centre de figure passent : axes d'une première espèce, quatre axes d'ordre 3, 4 X 3 = 12 ;

Axes d'une deuxième espèce, quatre axes d'ordre 3 (inverses des précédents), /jx3 = i2;

Axes dune troisième espèce, six axes d'ordre 2 (trois axes doublés), 6 x 2 = 12.

Le tétraèdre régulier possède un centre de répétition d'ordre 12.

Forme géométrique des cristaux de quartz. — Axes d'une première espèce, deux d'ordre 3 (un axe doublé), 2x3 = 6;

Axes d'une deuxième espèce, trois d'ordre 2, 2x2 = 6;

Axes d'une troisième espèce, trois d'ordre 2 (inverses des précédents), 3X2 = 6.

Dodécaèdre pentagonal régulier et icosaèdre régulier. — Axes d'une première espèce, douze d'ordre 5 (six axes doublés), 12 X 5 = 60;

Axes d'une deuxième espèce, vingt d'ordre 3 (dix axes doublés), 20 x 3 = 60;

Axes d'une troisième espèce, trente d'ordre 2 (quinze axes doublés), 3oX2 = 60.

Cylindre circulaire droit. — Axes d'une première espèce, deux d'ordre infini (un axe doublé), 2 X ce = 00;

Axes d'une deuxième espèce, une infinité d'ordre 2 (axes doublés), 00 x 2 = 00.

9 bis. Un axe d'ordre q doit être un axe d'ordre q pour sa portion adhérente, puisqu'une rotation de — autour de l'axe est un mouvement indifférent. Les q portions adhérentes aux p axes

sont toutes identiques entre elles, puisque, après un mouvement indifférent amenant un axe sur un autre, la portion adhérente au premier axe doit coïncider avec celle du second.

13 bis. Aucun axe ne peut être situé dans l'angle solide d'une portion constitutive, car il y aurait alors n axes semblables se coupant au centre principal d'ordre n. La relation pq = n donnerait alors q = i .

19 bis. On doit trouver q déplacements indifférents distincts amenant un axe d'ordre q à coïncider avec un autre axe d'ordre q de même espèce; ces q déplacements indifférents doivent être des rotations effectuées autour d'axes faisant des angles égaux avec les deux premiers (n° 6), c'est-à-dire situés dans le plan bissecteur relatif à ceux-ci.

21 bis. Deux rotations successives égales à tc autour de deux axes binaires, faisant entre eux un angle égal à a, équivalent à une rotation unique d'angle 2 a autour d'une droite normale aux axes binaires.

Toute normale à un axe binaire est une droite doublée.

22 bis. Les systèmes sphéroédriques, à axes principaux ou à une seule direction d'axes, sont les seuls cas d'axes multiples qui peuvent se présenter. En effet, un système possédant deux directions d'axes possède toujours deux axes de la même espèce (il suffit de faire tourner un des axes autour de l'autre pour montrer la nécessité d'un autre axe de même espèce que le premier).

Un système qui possède deux axes de même espèce d'ordre supérieur à i rentre évidemment dans les cas cités. Un système qui possède deux axes binaires de même espèce doit avoir au moins deux directions d'axes dans le plan bissecteur des deux premiers (n° 19), l'une d'elles au moins correspond à un axe d'ordre supérieur à 2. (Le déplacement indifférent qui lui correspond étant d'un angle inférieur à tu.) En faisant tourner autour d'un des axes binaires on a alors deux axes de la même espèce d'ordre supérieur à 2.

24 bis, 25 bis, 26 bis, 27 bis. Angles polyèdres adhérents

dans les systèmes sphéroédriques . — Nous représenterons les plans et les axes passant par un centre principal O à l'aide de leurs intersections avec une surface sphérique ayant son centre enO.

Soient OA et OA' deux axes d'ordre q (q > 2) choisis parmi les plus rapprochés d'une même espèce. Nous supposerons de plus que ces axes ne constituent pas un axe doublé.

Soit BfBo le plan bissecteur relatif à ces deux axes, faisons

tourner le système de — autour de l'axe OA et cela a fois succes-

sivement, l'axe OA( viendra successivement en OA2, OA3, OA4, ..., OAg et là devront se trouver des axes de même espèce; le plan bissecteur viendra former les faces d'un angle polyèdre régulier convexe ayant q faces entourant l'axe OA.

On peut amener l'arête OB, en OB2, par deux mouvements

indifférents distincts, à savoir : une rotation d'angle — autour

de A (B2 vient en B3) ou bien une rotation de même angle autour de A, (Bo vient en B').

Les arêtes B sont donc des axes de répétition, puisque deux positions de coïncidences se rencontrent autour de l'une d'elles; pour passer de l'une à l'autre, il suffît de tourner de l'angle B3B2B'.

Remarquons encore :

i° Que les axes B ne sauraient être de l'espèce des axes A, puisqu'ils sont plus rapprochés de certains axes A que ne le sont les

axes A, et A l'un de l'autre et que ceux-ci ont été choisis parmi les plus rapprochés de cette espèce. En effet, dans le trièdre AA<B<0, la somme des angles dièdres en A et A, est égale ou inférieure à 120" (la valeur de 120" répondrait au cas où q = 3); la valeur

de l'angle en B de ce trièdre sera toujours plus grande que 6o°, la face du trièdre opposé à l'angle B sera donc plus grande que celle opposée à un angle A, d'où AA, > A, B2.

2° Qu'il n'y a pas d'axes A plus rapprochés d'un axe B que ne V est l'axe que contient l'angle polyèdre d'une de ses arêtes.

En effet, si un pareil axe A' existait plus voisin de B2, par exemple, que n'est l'axe A, il existerait au moins <y'axes analogues autour de B2 (q' étant l'ordre de l'axe B); parmi eux on en trouverait au moins un dans l'intérieur de l'angle B'B2B3 et cet axe de l'espèce A se trouverait plus rapproché de A ou de A, que ne l'est B et, par conséquent, que ne le sont A et A, l'un de l'autre, ce qui est absurde.

Nous avons précédemment construit un polyèdre dont les faces sont les plans bissecteurs et limitent un angle solide autour d'un axe; cet angle solide est peut-être plus grand, mais il n'est pas plus petit que la portion adhérente à l'axe et doit contenir celle-ci (n° 15); nous allons montrer qu'il est justement égal à cette portion en prouvant qu'aucun autre plan bissecteur relatif à l'axe considéré ne vient le sectionner.

Revenons à notre figure sur la surface sphérique. Si un plan bissecteur P venait sectionner la portion comprise dans le polyèdre B(B2B3B4, ce plan correspondrait à l'axe A et à un autre axe A' de même espèce. Le plan P séparerait l'angle A d'un au moins des sommets du polyèdre, de B2 par exemple; et B2 serait plus rapproché d'un axe de même espèce que A, que de A lui-même (n° 1-4); nous avons vu que c'était impossible.

Ainsi, dans les systèmes sphéroédriques, les portions adhérentes aux axes d'ordre supérieur à i sont limitées par les faces d'angles polyèdres réguliers.

Construisons le polyèdre adhérent à l'axe A, en faisant tourner B, B2 autour de A, ; on doit pouvoir faire passer le premier angle polyèdre sur le second par q mouvements indifférents distincts. Une même face B2B3, par exemple, du premier angle polyèdre devra coïncider dans ces q cas avec chacune des faces du second angle polyèdre.

Pour faire coïncider les deux angles solides et faire venir B2B3

en B2Bf, il n'y a qu'à faire tourner le premier angle solide de B,B2B:? autour de B2. Cet angle B,B2B3 est, du reste, le plus petit qui corresponde à un mouvement indifférent autour de B2 (sans quoi il y aurait deux axes de l'espèce A plus rapprochés l'un

de l'autre que A{ de A); on a donc B4 B2B3:= —r., q' étant l'ordre de l'axe B.

Pour faire coïncider les deux angles solides et faire venir B( B2 en B2B<, il n'y a qu'à faire tourner autour de OC un angle égal à tu.

OC est donc un axe binaire.

Théorème. — Nous venons de démontrer implicitement que la bissectrice de l'angle des deux axes les plus rapprochés d'une même espèce d'ordre supérieur à 2 est toujours un axe binaire.

28 bis. On peut décomposer chaque polyèdre adhérent en q trièdres constitutifs isoscèles, tels que O AB, B2.

Il ne peut exister d'autres axes que ceux des espèces A, B, C, situés respectivement aux centres, suivant les arêtes, suivant les milieux des faces des polyèdres adhérents.

D'autres axes ne permettraient pas, quels que soient leur ordre et leur position, d'amener le trièdre constitutif le plus voisin à coïncider avec un autre (n° 12).

32 bis. Les axes binaires dans les systèmes sphéroédriques et tous les axes dans les systèmes des deux derniers groupes sont des axes doublés; car, s'ils étaient simples, leurs inverses constitueraient des axes de même ordre, mais d'espèce différente, qui ne se trouvent pas dans le système.

Les axes ternaires du premier groupe sont seuls divisés en deux espèces de même ordre, avec un même nombre d'axes dans chaque espèce. Ils constituent, en effet, quatre axes simples et leurs inverses, car, s'ils étaient doublés, une espèce comprendrait deux axes doublés et il ne serait pas possible de constituer les trois arêtes de l'angle polyèdre adhérent à un axe de l'autre espèce.

34 bis. On peut toujours juxtaposer des angles polyèdres

réguliers, égaux, d'angles —r, jusqu'à remplir tout l'espace

autour du sommet exactement ; car, s'il restait un espace vide, cet espace vide étant limité par des faces de l'angle polyèdre, faisant entre elles des angles au moins égaux à ses angles dièdres, pourrait toujours contenir le polyèdre. De plus, on peut toujours juxtaposer les angles solides à partir d'un quelconque des axes, de façon à conserver jusqu'à la fin sa nature. (Il suffit, par exemple, de juxtaposer ensemble neuf angles solides autour de l'axe d'ordre q.) Enfin, il n'y a pas deux façons de juxtaposer les polyèdres, car chaque juxtaposition suivant une face du contour déjà formé se fait sans ambiguïté.

43 bis. Si un système possède une infinité d'axes, il possède des axes infiniment rapprochés.

Si un système possède deux axes infiniment rapprochés d'ordre supérieur à 2, se rencontrant en un même point, toute droite passant par le point est un axe de répétition de même espèce. En effet, s'il y a deux axes infiniment rapprochés, il y aura toujours deux axes infiniment rapprochés de même espèce. Soit une droite donnée plus éloignée, je dis qu'elle est encore un axe de même espèce.

On peut toujours, par un déplacement indifférent autour d'un des deux axes de même espèce, obtenir un troisième axe semblable plus rapproché de la droite donnée que les deux premiers. En répétant des opérations semblables autour des nouveaux axes obtenus, on approchera autant que l'on voudra de la droite donnée ; chaque rapprochement sera, en effet, toujours plus grand qu'une fraction déterminée de la distance des deux premiers axes, fraction calculée par le rapprochement dans le cas le plus désavantageux. (Si les axes étaient binaires, cette fraction serait nulle et le raisonnement ne s'appliquerait plus.)

Si toutes les droites autour d'un point sont des axes de répétition, ces axes sont des axes d'isotropie, et l'on a affaire aux systèmes sphériques.

En effet, considérons deux axes OA, OA', d'ordre q, faisant entre eux un angle voisin de tt; dans le plan bissecteur relatif aux deux axes doivent se trouver ic[ axes de répétition de même

espèce, qui doivent amener OA. sur OA' (n° 19), pour des angles

compris dans la formule K. — > K étant entier; or, dans le cas

particulier considéré, ces angles doivent tous être très voisins de 7i, c'est-à-dire différer très peu; il faudra donc que q soit extrêmement grand, c'est-à-dire que les axes soient d'ordre infini.

Remarque. — 77 peut exister normalement à un plan une infinité d'axes d'ordre fini supérieur à i. Cette propriété (comme nous venons de le voir) ne s'étend pas à une surface sphérique.

44 bis. Si un système possède deux axes binaires infiniment rapprochés se rencontrant en un point, toutes les droites situées dans le plan des deux premières et passant par le point sont des axes binaires ; la ligne perpendiculaire au plan est un axe d'isotropie doublé, et l'on rentre dans la classe VII.

En effet, à l'aide de rotations successives, on amène un des axes dans une direction quelconque dans le plan des deux axes; de plus, une rotation quelconque, autour d'un axe perpendiculaire au plan des axes binaires, équivaut toujours à deux rotations successives de i8o° autour de deux axes du plan.

Bulletin de la Société minéralogique de France, t. VII, 1884, p. 4*8-