IV. — Symétrie d'ujv système
10. Il peut se faire qu'un système soit défini analjtiquement de la même manière en se servant soit d'axes coordonnés rectangulaires du type gauche ayant une certaine position, soit d'axes coordonnés rectangulaires du type droit, ayant une autre position dans le système. Cette propriété caractérise un système identique à son symétrique.
Nous dirons qu'un pareil système est symétrique.
A un point du système défini analytiquement par rapport aux axes gauches correspond un autre point du système défini de la même manière par rapport aux axes droits; ce dernier point sera symétrique du premier dans le système.
Un point sera symétrique dans le système lorsqu'il sera défini analytiquement de la même manière par rapport aux axes gauches que par rapport aux axes droits.
11. Si dans un système symétrique on change d'axes coordonnés gauches, le système sera toujours symétrique, mais ce seront de nouveaux axes droits qui correspondront aux nouveaux axes gauches. Ces nouveaux axes droits seront aux premiers axes droits ce que les nouveaux axes gauches sont aux premiers axes gauches, afin que les formules de transformation des données analytiques soient les mêmes. Après un pareil changement d'axes coordonnés, chaque point aura toujours le même point qu'auparavant pour symétrique, car les coordonnées de même nom d'un point et de son symétrique ayant subi les mêmes transformations resteront égales entre elles.
12. Une transformation symétrique indifférente sera une transformation symétrique qui laisse le système dans un état identique à celui dans lequel il était auparavant. Les transformations symétriques indifférentes ne peuvent se rencontrer que dans des systèmes symétriques, et les systèmes symétriques doivent nécessairement posséder des transformations symétriques indifférentes.
Théorème. — Deux transformations symétriques indifférentes pour un système symétrique appliquées successivement à ce système donnent un déplacement indifférent du système.
En effet, une double transformation symétrique équivaut à un déplacement (8). Puisque chaque transformation laisse le système dans un état identique à celui dans lequel il était auparavant, il en sera de même pour le déplacement résultant qui sera indifférent.
Dans le cas le plus général, une double transformation symétrique indifférente équivaut donc à un mouvement indifférent effectué autour d'un axe hélicoïdal de répétition du système; dans des cas particuliers, la double transformation symétrique
indifférente pourra être équivalente à une rotation d'angle k — -
{k entier) autour d'un axe de répétition d'ordre q du système, ou pourra être équivalente à une simple translation de répétition ou même elle poindra restituer le système primitif point par point.
