Théorème. — Un système symétrique possède toujours
Soit un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q. Soit un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q. Soit un centre de symétrie.
Soit un plan de symétrie translatoire directe. Soit un plan de symétrie translatoire alterne (q est un nombre entier quelconque).
Un système symétrique peut, du reste, posséder conjointement plusieurs de ces éléments de symétrie.
On petit encore dire que :
Dans le cas le plus général d'une transformation symétrique indifférente, on peut obtenir les symétriques des points du système en abaissant de chaque point une perpendiculaire sur un plan déterminé, en prolongeant cette perpendiculaire d'une longueur égale à elle-même au delà du plan et en faisant tourner tout le système de points ainsi obtenus d'un angle
de k autour d'un axe de répétition d'ordre a normal au
plan.
Les cinq éléments de symétrie indiqués plus haut et seuls possibles correspondent, en effet, aux divers cas d'un même genre de transformation symétrique.
14. Considérons d'abord le cas particulier d'une transformation symétrique indifférente dans laquelle un point o est son propre symétrique.
Les coordonnées de même nom du point sont les mêmes par rapport aux axes gauches et par rapport aux axes droits correspondants symétriques. Changeons d'axes coordonnés gauches et choisissons de nouveaux axes gauches ayant leur origine au point o, les nouveaux axes droits correspondants symétriques auront aussi leur origine en o.
Répétons deux fois la transformation symétrique indifférente indiquée par la correspondance des axes droits aux axes gauches; le point o restant fixe, le mouvement indifférent qui en résultera (12) sera dans le cas le plus général une rotation d'angle k —
autour d'un axe de répétition A d'ordre q, passant par le point o.
Changeons encore les axes coordonnés gauches en conservant toujours l'origine en o, mais en prenant comme axe des z l'axe de répétition A. Les axes coordonnés droits correspondant à ces nouveaux axes gauches auront toujours leur origine en o.
Faisons maintenant tourner le système droit autour de son axe des z jusqu'à ce que (le système gauche correspondant tournant aussi autour de son axe des z) l'axe ox' du système droit soit situé dans le plan des xy du système gauche et fasse avec ox un angle inférieur à 180". Ce sont les deux derniers systèmes d'axes coordonnés ainsi obtenus que nous adopterons; nous avons {Jig. i) un système gauche d'axes coordonnés (oxyz) ayant pour axe des z l'axe de répétition A et un système droit (ox'y'z') d'axes coordonnés correspondants dont l'axe des x(ox') est situé dans le plan des xy du système gauche. Soient ce l'angle des deux axes des x, et Q celui des deux axes des z; cp est plus petit que i8o°.
Revenons maintenant à la double transformation symétrique
indifférente ; cette double transformation ne sera en rien altérée par le changement d'axes coordonnés (11) et équivaudra toujours à une rotation effectuée autour de l'axe de répétition A, qui n'est autre chose que l'axe oz.
[oxyz) devient, après la première transformation, (ox'y'z') et, après la seconde transformation, [oxiyi zt).
Voici comment on peut construire ces derniers axes coordonnés : [oxKyKzK) doit être pour [ox'y'z') ce que [ox'y'z')
Fis. i.
est pour [oxyz) (9); ox' est dans le plan oxy et fait un angle o avec ox (cp est compté dans le sens qui va de ox vers oy); oxK sera donc dans le plan ox'y' et fera un angle co avec ox' (cp sera compté dans le sens qui va de ox' vers oy').
On obtient oz' à l'aide de os en faisant tourner cette ligne d'un angle 0 autour de o x' et dans le sens qui diminue, par exemple l'angle de oz et de ox. On obtiendra donc ozt en faisant tourner os' autour de oxs d'un angle 9 et dans le sens qui diminue l'angle de .oz' et de ox' .
Mais (oX\y{z{) doit être une transformation de [oxyz) obtenue par simple rotation autour de oz; donc oz{ doit coïncider avec oz et le plan ox{ y{ doit coïncider avec oxy. Ceci ne peut arriver que dans un des trois cas suivants :
i° 6 = o avec cp quelconque, oz' coïncide avec oz, [oxty{ zt) coïncide avec [oxyz)]
2U 9 = 7T avec © quelconque, oz' est inverse de oz]
3° Q quelconque avec cp = o, ox' coïncide avec ox, (o.T|JK, z{) coïncide avec (oxyz).
i° et 3" Les axes coordonnés droits et gauches correspondants ont un axe de même nom commun, l'axe oz par exemple; les axes ox et ox1 forment entre eux un angle es.
Faisons tourner les axes coordonnés gauches autour de o; d'un
angle égal à -, on obtiendra un nouveau système d'axes gauches.
Les axes droits correspondants s'obtiendront par une rotation
de - en sens inverse, si bien que les nouveaux axes droits et i '
gauches auront les axes coordonnés de deux espèces communs
(ici ce sont les z et les x), ceux de la troisième espèce sont
inverses l'un de l'autre (ici ce sont les y).
On dit que le système possède un plan de symétrie (celui des zx), et chaque point du système a un symétrique que l'on obtient en changeant r en — y, c'est-à-dire en abaissant une perpendiculaire sur le plan de symétrie et en la prolongeant d'une longueur égale à elle-même.
Le système se confond avec son image prise par rapport au plan.
Remarquons que, dans ce cas, il n'y a pas nécessairement d'axes de répétition et que le symétrique du symétrique d'un point n'est autre chose que le premier point lui-même.
2° Les axes des z du système d'axes gauches et de son correspondant symétrique sont inverses l'un de l'autre. Soit cp l'angle de ox et ox'; oxK fera avec ox un angle égal à 2ic, et l'on aura
k étant un entier et q l'ordre de l'axe de répétition ox.
La transformation symétrique indifférente consiste à faire tourner le système d'un angle cp autour d'un axe de répétition d'ordre q, puis à prendre ensuite son image par rapport à un plan normal. A cause de l'axe de répétition d'ordre q, il y aura (q — i) autres transformations symétriques possibles, les q transformations seront
obtenues en faisant tourner le système d'un angle (k — -r-'f)
autour de l'axe de répétition avec k égal à o, i, 2, . . . , (q — i)r
puis en prenant son image par rapport à un plan normal à l'axe. Nous dirons que l'on a affaire à un plan de symétrie à pôle d'ordre q et qu'un pareil plan indique l'existence de q transformations symétriques indifférentes, distinctes. On a
iy
•iiz
deux cas sont possibles : ou bien k est pair, ou bien k est impair. Premier cas. — k est pair :
, iiz
Les rotations dans les q transformations symétriques seront d'angle k — [avec k égal à o, i , 2, . . . , [q — : 1)]. On dit que l'on
a un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q.
Une des transformations symétriques indifférentes (pour k = o) consiste à prendre l'image du système par rapport au plan sans adjoindre aucune rotation à cette transformation.
Tout plan de symétrie ordinaire accompagné d'un axe de répétition normal d'ordre q doit être considéré comme un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q.
A un point correspondent (q — 1) autres points homologues du premier par répétition, les q points homologues étant situés dans
Fig. 2.
un plan normal à l'axe de répétition et aux sommets d'un polygone régulier de q côtés; l'axe passant par le centre de figure de ce polygone. Au premier point considéré correspondent encore q points symétriques qui ne sont autre chose que les images prises par rap-
port au plan de symétrie directe des q points homologues par répétition. La figure 2 représente les homologues par répétition et par symétrie d'un point a dans le cas où l'on a un plan de symétrie directe à pôle d'ordre 3,P3.
Si q est pair, une des rotations dans les transformations symétriques indifférentes sera égale à tî (lorsque l'on aura k = — ) ■>
mais on voit que le système d'axes gauche et son correspondant symétrique droit relatif à cette transformation symétrique indifférente seront alors exactement inverses, axes pour axes. Lorsqu'un pared fait se produira, nous dirons que le système possède un centre de symétrie. Chaque point du système a un symétrique que l'on obtient enjoignant le point au centre et en prolongeant au delà du centre d'une longueur égale. Le symétrique du symétrique d'un point par rapport à un centre n'est autre chose que le point lui-même.
Une des q transformations symétriques indifférentes d'un plan de symétrie direct à pôle d'ordre q est donc une transformation par centre de symétrie lorsque q est pair, le centre de symétrie se confondant avec le pôle du plan.
Lorsque q est impair, le pôle du plan de symétrie directe ne peut pas être un centre de symétrie.
Second cas. — k est impair :
pi
