IX. — Aucune répétition
i° Pas de symétrie. Système désordonné quelconque. 2° Un plan de symétrie P.
Exemple. — Ensemble d'un système désordonné quelconque et de son symétrique par rapport à un plan.
3° Un centre de symétrie.
Exemples. — Parallélépipède quelconque. Ensemble d'un système désordonné quelconque et de son symétrique par rapport à un centre.
Remarque I. — Un système géométrique de points ne peut posséder d'axe d'isotropie sans avoir en même temps des plans de symétrie passant par l'axe; pour que ces plans de symétrie disparaissent, il faut, que les points soient doués de qualités directoriales (c'est-à-dire entraînant avec elles des idées de sens et de direction).
il en résulte que les trois types
ccL00 2L°°,ccL'2 L°°,l°° sans symétrie et le type
à plan de symétrie normal à l'axe d'isotropie ne peuvent être constitués à l'aide d'un système de points géométriques.
Remarque II. — Un système qui possède un centre de répétition principal d'ordre n} ou bien n 'est pas symétrique en ce point, ou bien possède n transformations symétriques distinctes et n seulement.
LO
Ph
□Li
CO
CO
La
ji
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CM
J Oh
hJ CU
h-) Cu
fa *
En effet, supposons un système symétrique rapporté à des axes coordonnés rectangulaires gauches; les mêmes données analytiques serviront à définir le système à l'aide d'axes coordonnés rectangulaires droits. Mais à ces axes droits correspondent (n — i) autres systèmes d'axes coordonnés droits homologues par répétition et qui permettraient de construire le système à l'aide des mêmes données analytiques; on a donc aussi (n — i) autres transformations symétriques possibles. En tout n transformations symétriques distinctes sont possibles et n seulement, parce que, s'il y avait plus de n systèmes distincts d'axes coordonnés droits permettant de définir le système à l'aide des mêmes données analytiques, il y aurait aussi plus de n répétitions distinctes.
Il est facile de vérifier ce qui précède sur les types symétriques que nous avons obtenus; il faut seulement avoir soin de ne pas compter plusieurs fois la transformation symétrique donnée par le centre qui se trouve faire partie des transformations symétriques de tout plan de symétrie à pôle d'ordre pair ou de tout plan de symétrie alterne à pôle d'ordre impair. On démontre du reste facilement que deux transformations symétriques définies d'une façon distincte par les éléments de symétrie, ne peuvent être identiques que si elles sont toutes deux équivalentes à une transformation par centre de symétrie.
Considérons, par exemple, le type cubique symétrique
, G; 3P\ 4rp, 6P2 J
le centre donne une transformation symétrique. Un plan P' donne trois transformations symétriques en ne comptant pas celle déjà donnée par le centre, d'où neuf transformations symétriques pour les trois plans.
De même II3 donne deux transformations symétriques nouvelles, d'où huit transformations pour les quatre plans de symétrie alterne. De même P2 donne une transformation nouvelle, d'où six transformations pour les six plans P2
i-t- 9 ■+■ 8 H- 6 = 24, et a4 est justement l'ordre du centre de répétition. On a, d'après
l'ordre et le nombre des axes,
Remarque III. — Considérons une droite quelconque passant par le centre de répétition principal; à cette droite correspondent en général {n — i) autres droites homologues par répétition et n homologues par symétrie, en tout in droites jouant les rôles analogues dans le système.
Si les droites homologues par répétition se confondent avec leurs symétriques, elles seront alors dans des plans de symétrie; on n'aura plus que n droites analogues.
Si les droites homologues par répétition sont des axes d'ordre q,
on en aura - et l'on aura — droites analogues en y joignant les
symétriques. Si les droites homologues par répétition sont des axes d'ordre q et se confondent avec leurs symétriques, on n'aura
plus que - droites analogues.
A chaque espèce de droites correspond une espèce de plans normaux; on peut donc facilement compter les faces des polyèdres divers à toutes faces analogues qui peuvent rentrer dans un des types de répétition et de symétrie. Le plus compliqué de ces polyèdres aura in faces dans un type symétrique à centre de répétition d'ordre n.
