LES RÉPÉTITIONS ET LA SYMÉTRIE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. C, p. i3g3, séance du 2 juin i885.

Dans deux Notes parues au Bulletin de la Société minéralogique, j'ai traité à nouveau le problème des répétitions et de la symétrie qui peuvent convenir à tout système limité.

Pour traiter le problème des répétitions, considérons un sens à chaque droite d'un système : le nombre des axes de répétition est alors doublé. Deux axes inverses, c'est-à-dire coïncidant entre eux, mais dirigés en sens inverses, peuvent être d'espèces différentes (cas des axes ternaires du tétraèdre régulier) ou de même espèce (cas des axes du cube). Deux axes inverses de même espèce constituent un axe doublé.

Les conventions qui précèdent conduisent immédiatement à énoncer le théorème suivant :

Lorsque plusieurs axes se coupent en un même point, le produit du nombre d'axes de chaque espèce par l'ordre de V axecorrespondant est le même pour chaque espèce d'axe et est égal au nombre de répétitions autour du point de croisement des axes.

Soient /?, /?', />", . . . axes d'ordre q, q', cf 1 ... se coupant en un même point autour duquel se présentent n répétitions ; on aura

(1) n=pq = p'q' = p"q" = ....

Exemple. — Le cube possède 6 axes d'ordre 4(3 axes doublés),