o) nP=-n% -__
C'est V équation réduite de la formule de Van der Waals. np peut être considéré comme représentant la pression, lorsque l'on prend comme unité de pression la pression critique; nv est le volume spécifique en prenant comme unité le volume spécifique critique; nÏÏ est la température absolue comptée en prenant pour unité la température absolue critique.
La notation symbolique que nous avons adoptée présente certains avantages. Dans la désignation np, par exemple, p rappelle qu'il s'agit d'une pression, la lettre n rappelle que Ion a affaire à un rapport de deux quantités de même dimension, à un nombre; par conséquent, l'équation (io) est une relation entre des nombres.
L'équation réduite ne contient plus de constantes spécifiques caractérisant la nature du fluide. Il eu résulte qu'en choisissant
des unités spéciales pour chaque fluide que l'on peul avoir à considérer, la relation entre la pression, la température et le volume est la même pour tous les corps. L'importance de ce résultat, au point de vue de la théorie de la constitution des corps, est évidente. L'importance de ce résultat au point de vue pratique n'est pas moindre.
Si l'on admet, ce qui n'est pas absolument vrai, que l'équation de Van der W'aals est bien exacte, on peut en déduire une méthode pratique pour faire une fois pour toutes les calculs nécessaires pour retrouver facilement tous les états que peut prendre un fluide quelconque lorsque l'on connaît ses constantes critiques pCl vc, 9r.
11 suffit pour cela de construire des courbes ou d'avoir des Tableaux numériques donnant les diverses valeurs de np fonction de nv pour diverses valeurs de nt suffisamment rapprochées.
Les problèmes que l'on pourrait résoudre seraient ensuite des plus variés. Si l'on voulait, par exemple, connaître le volume spécifique d'un fluide à la température T et à la pression/?, connais-
T sant ses constantes pci Tc, Qc, on calculerait d'abord /z9= =- et
np = — , puis, dans les Tableaux ou sur les courbes, on cherche-
Pc
rait nv correspondant à nt et np, et l'on déduirait le volume spécifique cherché v = nvvc.
Équations réduites pour l'étude d'un mouvement amorti.
Nous pouvons appliquer une réduction analogue à nos équations (3), (4), (5), (6), (7). Nous considérerons comme variables l'élongation 9, le temps t et l'amortissement «, et nous choisirons comme unités, pour chacune de ces quantités, des grandeurs de même nature et ayant une signification physique aussi simple que possible.
Nous prendrons comme unité d'élongation a0 qui représente dans tous les cas la déviation à l'origine du mouvement, alors que la vitesse est nulle, et nous poserons
= nu. ^ WrW. \J frJu^ ^mU
<frK
Nous prendrons comme unité de temps la durée T0 de la période, lorsque, toute autre chose égale d'ailleurs, l'amortissement est nul et le mouvement représenté par l'équation (3) :
et nous poserons
a = a0 cos bt
t — = nt.
On a, du reste, la relation
d'où
t = l0nt = -j- ut.
Enfin, nous prendrons comme unité d'amortissement, l'amortissement qui donne le mouvement critique, équation (4),
a = a0e-a'(i -+- ai).
On a, dans ce cas, a=b. b nous servira d'unité d'amortissement et nous poserons
- = na.
Les notations ne/., nt, na sont des symboles dans lesquels les lettres associées ne peuvent être séparées.
En substituant les valeurs de a, t, a dans les équations (3), (4), (5), (6), (7), on obtient
(19.) na = e-namnt (.3)
na. = cos2ii7it, cos(y/i — fia^iTint)-
îia = e-2nrit(l -f- 2it nt),
sin (yi — n%%2iznt)
os:
— z>— na%1Znt
\Jl% Cf.'1 I ,
yna2 — 1 nx = 1.
g— /na2— 1 27W
On voit que a0 et b disparaissent de ces équations et que l'on a des relations purement numériques entre na, nt, na.
Ces équations sont des équations réduites indépendantes du problème particulier que l'on considère, qu'il s'agisse d'une oscillation rectiligne ou autour d'un axe, que l'on ait un système matériel ou de l'électricité, que les oscillations soient lentes ou rapides; ces équations réduites sont toujours applicables, quitte à revenir de la valeur réduite à la valeur réelle à l'aide de coefficients particuliers à chacun des problèmes.
C'est donc pour les équations prises sous cette forme qu'il convient de faire les Tableaux numériques et de construire les courbes. On aura à chercher une série de valeurs de n a. pour diverses valeurs de nt et cela pour diverses valeurs de na suffisamment rapprochées les unes des autres.
Nous appellerons na le degré dJ amortissement du système; il caractérise le genre du mouvement. Pour na = o, équation (i i), mouvement oscillatoire pendulaire.
Pour na << i, mouvement oscillatoire amorti, équation (12). Pour na = 1 , mouvement apériodique critique. Pour /£«>>!, mouvement apériodique de plus en plus lent, quand na tend vers l'infini.
Généralités sur les équations réduites.
La méthode inaugurée par Van der Waals avec son équation réduite applicable à tous les fluides nous semble devoir être très féconde en Physique, tant au point de vue théorique qu'au point de vue pratique. Nous ferons ici quelques remarques générales sur ces équations.
Toute mise en équation d'un phénomène naturel doit nécessairement donner une relation homogène par rapport à un système quelconque d'unités fondamentales.
On peut toujours amener une relation à une forme telle que chacun des termes de la relation ait une dimension nulle par rapport aux unités fondamentales.
Du reste, la présence dans un pareil terme d'une grandeur ayant certaines dimensions entraîne nécessairement clans le même terme une autre grandeur de mêmes dimensions pour que les dimensions puissent s'annuler les unes les autres.
Il est vrai que la coexistence de ces grandeurs de même nature peut n'être pas directement visible. Il peut se faire, par exemple, que, considérant une première grandeur, la seconde de même espèce soit contenue dans une autre de dimensions plus complexes. Mais cette grandeur de même espèce que la première n'en existe pas moins, quoique sous forme implicite, et l'on doit toujours pouvoir par transformation ramener le terme considéré à ne plus contenir que des rapports de grandeurs de mêmes dimensions. On met ainsi sous une forme tangible cette proposition que toute relation mécanique ou physique résulte de la comparaison des grandeurs de même espèce.
En considérant les rapports des grandeurs dont nous venons de parler, au lieu de s'occuper des primitives, on diminue notablement le nombre des quantités entrant dans une équation. On obtient donc une équation réduite plus générale que la première, qui doit être du reste considérée comme une relation purement numérique, puisque toutes les quantités qui y entrent ont des dimensions nulles.
On peut constituer une infinité d'équations réduites différentes pour une même équation. Soit
,xo yo zz On peut poser
— i — > — étant des rapports de grandeurs de même espèce.
3"o Yo -o rj ° r
Anx
2L yo
Bny
z zo
Gnz,
A, B, C étant des coefficients numériques que l'on peut choisir
d'une façon absolument arbitraire. L'équation réduite sous la
forme
F(Ana7, Bny, Gnz) = o
contient une infinité d'équations distinctes différant entre elles par les valeurs adoptées pour les nombres A, B et G.
I76 OEUVRES DE P. CUHIK.
Voici, par exemple, l'équation de Van der Waals (8) (p. 170) :
en prenant/?, t>, 9 comme types de dimension on voit que :
a a les dimensions de v'2 />,
donc, en désignant par/?0, ^05 ^0 une certaine pression, un certain volume spécifique et une certaine température absolue, on peut
poser
I a = Avlpo
1 6 = Bpo
A, B, C étant des nombres choisis arbitrairement, et l'équation de Van der Waals devient
Po
ou, en prenant p0, ^0, 90 comme unités,
Cn% A
nv — B (nv)-
Dans cette équation réduite A, B et C peuvent être choisis à volonté et les unités particulières employées p0, ^05 ^0 sont tirées des équations (16), soit
Pour un autre fluide caractérisé par d'autres constantes a', b' , R' l'équation réduite sera la même (17) à condition de conserver les
Po
Âa
CB
ab "R
mêmes valeurs numériques pour A, B, C dans des équations analogues aux équations (18) servant à déterminer les nouvelles unités^;, v'oi 9;.
Lorsque l'on prend comme unités la pression critique pc, le volume spécifique vc et la température absolue critique Qe, cela revient à considérer le cas particulier où l'on pose
Il y a donc une infinité d'équations réduites pour représenter les transformations de tous les fluides. Non seulement il n'est pas nécessaire de choisir les constantes critiques comme unités, mais il n'est pas même nécessaire de choisir comme unités des valeurs p0, v0, 90 correspondant à un même état du corps, c'està-dire satisfaisant à l'équation (8). On peut, par exemple, prendre A. = i , B = i , G = i , et l'équation réduite sera simplement
np = -•
nv — i nv%
Toutefois, si théoriquement les valeurs à donner à A, B, C sont indifférentes, pratiquement il vaut évidemment mieux choisir des unités ayant une signification physique particulière et importante.
C'est précisément ce que nous avons fait pour les équations réduites du mouvement d'un système amorti (i). Nous aurions pu choisir des unités différentes, mais en tenant toujours compte de ce que a et b ont mêmes dimensions et que ces dimensions sont l'inverse d'un temps, puis en tenant compte également de ce que a a les mêmes dimensions que <x0.
Des états correspondants.
Van der Waals remarque qu'à une solution np, nç, Ai9 de l'équation réduite des fluides correspond pour chaque fluide un certain état.
On a ainsi des états correspondants pour les divers fluides et deux corps pris dans des états correspondants ont des propriétés analogues.
Dans l'élude d'un mouvement amorti nous pouvons considérer de même des états correspondants de mouvement pour deux systèmes différents lorsque ces états de mouvement seront représentés par une même solution (na., na, ni) de l'équation réduite.
Pour que dans les états correspondants il y ait une analogie mécanique ou physique véritable, il faut que les états qui se correspondent soient les mêmes, quelle que soit l'équation réduite adoptée ; c'est ce qui a lieu. En effet, si deux états se correspondent avec une première équation réduite, on aura par exemple
a?, x' étant une même grandeur sous deux états correspondants dans deux systèmes différents, .#„, x0 les unités relatives à ces deux systèmes.
Si l'on prend une autre équation réduite, cela revient à changer d'unités en faisant varier dans le calcul de celles-ci les coefficients numériques tels que A, B, C considérés plus haut, mais cette variation sera la même quel que soit le système; donc les nouvelles unités s'obtiennent en multipliant x0 etx'0 par un même facteur K: on aura pour la nouvelle équation réduite
Nor = -^— = -r^— = Na?'.
Kœ0 Ka?J)
La grandeur réduite sera encore la même pour les deux systèmes, donc les états se correspondent encore.
A propos des états correspondants, on peut remarquer que, pour obtenir une même équation réduite avec deux systèmes différents, il est nécessaire de prendre comme unités les grandeurs de deux états correspondants des deux systèmes.
Ces états correspondants peuvent du reste être réels ou imaginaires. Ils sont réels quand les grandeurs servant d'unités correspondent à un état pouvant exister dans le système. Ils sont imaginaires dans le cas contraire.
Calculs numériques et courbes.
Des élèves de l'Ecole de Physique et de Chimie de la Ville de
Paris ont effectué avec soin des calculs numériques et construit les courbes représentant les équations réduites (11), (12), (i3), (i4) (p. 173), relatives à un mouvement amorti.
M. Lange vin a fait les calculs reJatifs aux mouvements apériodiques pour divers degrés d'amortissement (na > 1).
Voici comment il a posé les calculs relatifs à l'équation (i4)- Soit
g — ( na — y/ ' na- — 1 ) ïTlnt g — ( na ■+■ y/ na- — 1 )-llznt
^na"1na \/na2 — i
l'équation (i4) devient
(19) na= I(A + B).
Or B décroît assez rapidement quand ni va en augmentant. Si bien que, si l'on se donne une précision déterminée, ^iwo Par exemple, pour les valeurs de /ia, le terme B est négligeable à partir de certaines valeurs de nt et le calcul se simplifie.
En prenant les logarithmes, on trouve pour logA et logB des expressions de la forme
( logA = m — p nt, | logB = h — q nt.
m, p, h, q étant des constantes. Le Tableau I donne les valeurs de ces constantes pour divers degrés d'amortissement na.
Tableau I.
na.
io,i835
3i4oi
3o8og
3o4io
3oi3i
IOO
3oio5
oi364
o rwa- h te io
o ci d cioc oo
O Ol Ol 01 O! 03
O Cl Cl Cl Cl o
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Olo o ololo » co CD va- [ — cm ci rv cm ci va- co o — oo lo co o ci rv va- va- oo co
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ococolo o rv — oo oco lo vt^t — co rv o va- rv cm
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