SURFACES D'AIRE BIINIMA POIR UN CONTOUR DONNÉ
d'elles ramenées, à l'aide du théorème d'addilion des fonctions elliptiques, à une unique expression intégrale de la variable q.
C'est ce qui est facile à établir. En effet, des formules relatives aux coordonnées de direction r et cp des normales, on tire
dF ^ dF .
jn . . dy dz
r' dF dF .
dy >>z
y — zi -+- a — 3 c
Avant égard alors à l'équation qui définit y, c'est-à-dire (y -+- zi -+- a -h 3 1) (y — zi+- a — S c) = — q,
on obtient
Ou a ensuite
cot r =
{y sc)-t-(a-f-Bc') = (— £)2ï)»Tf]' 2,
dF
[/> — iaq(y-i- a) — 2Ôq(z-i- 3)|
VrJt
sin - cos - 2 2
[/> — %aq (y-t- a ) — ibq(z -+- 3)].
Dans le second membre on doit introduire, au lieu de j^+a, z+Pj les expressions en v) et r/ trouvées précédemment. L'équation prend alors la forme suivante :
Elevons les deux membres de celte équation au carré et remplaçons — par sa valeur tirée de (ai), on obtient, après réduction,
[(a + bi)(ïy-(a-bi)^y
>vv/ViV7^
= Se — i(a-hùi) ( r/
L'équation que nous avons ainsi trouvée, qui fournit la liaison entre q, rn y/, peut être regardée comme l'intégrale d'une équation différentielle entre ■/) et y/, g représentant la constante d'intégration. En différentiant directement l'on obtient l'équation différentielle sous la forme suivante
vV/
fi7=(^,+7y+v/"?
(a-hbi) ( J- ) — (a — bi) / -,
Mais, à l'aide de l'équation primitive (p), l'on peut exprimer
différemment les facteurs de — et -4- Il suffit d'écrire de deux
manières le premier membre de (p) sous forme d'un carré parfait en lui ajoutant le double produit qui manque, la première fois positivement, la seconde fois négativement. On obtient ainsi
•*w'+;^W-*[("+")V'^-Ia-*Vî]
* / \'ic -+- (a -+- bi) - (a — bi) r, ,
(/r,v+ vk). ~ /- '' t' " + hi) v^ ~ {a ~ " ' v7?]
Vt
bi)—, — ( a -t- bi ) r{
Si l'on prend les racines carrées avec les mêmes signes, l'équation différentielle se transforme en
dr\
2Yll/ 2(-' + (fl + bi) - (a — bi) rt
dr,'
■2 r/ i/:ic-+-(a — bi) — , — (a ■+- bi) r/
Son intégrale sous forme algébrique est exprimée par l'équa-
SURFACES 1>*VIRE MIMMA PODR l \ CONTOUR DONNÉ. 3^7
tion (yt?) ouf ce qui revient au même, parles deux équations
=. (i -t- Yjil') = \A)'[(a -+- bi) -+- 2cy) — (a — bi)rf\
I y— y [(a -t- 6«* ) tj' — (a — bi)rt] = \/r\'[(a-h bi) -\- icr\ — (a — 6{)r,2]
v — y/ï] [ (a — bi) ■+- :>. c r/ — (a -+- 6?" ) r/- ) .
Sous forme transcendante, l'intégrale sera
1 const. = / ==^=
J ^\/t\ [(a-{- bi)-+--2cri —(a— bi)r^]
