SURFACES D'AIRE HINIMA POUR UN CONTOUR DONNÉ
La confiante d'intégration est indépendante de x. Si, d'autre part, on prend / -- indépendamment de y el S, la constante d'intégration doit être une fonction linéaire de y et z, puisque - à
dF p et z, puisque -
est une telle fonction. On a, par conséquent,
i dF r dx
— h 2 / ■ h 2«K-f- 2 0 5 -t- COIlSt . = O.
q dx J q
Si l'on compare ce résultat avec celui donné par la différentialion directe de F, c'est-à-dire
dF dx d$ d
on obtient
dx "J' dx
et, si Ton pose j q dx = ni, il vient
dx * dx dx dx
= — "'!• , ,. = — bq,
a = — am — d. p = — bm -t- e;
d'où
dF . <h;
-r- = — laqr — 2 bqz H — .-- , Ox dx
à'2 F dq <7(/ //- y
expressions qui doivent être portées dans l'équation (/). Après réductions, l'on obtient
d-~( dq d~(
dx'1 dx dx " '
équation qui est encore simplifiée, si l'on observe que
o. j- dm ..
f(m) = (a- -+- b- ) m- — -2 (ad -+■ be) m -+- d1 -+- e-.
d'i d'2 y A l'aide des valeurs que l'on obtient alors pour -.'- I -r-j-, l'é- 1 l dx ax-
quation différentielle qui exprime la condition du minimum se transforme en la suivante
Pour effectuer l'intégration, posons
dq
dx
et regardons q comme la variable indépendante. On obtient alors pour /;2, regardé comme fonction de q, une équation différentielle linéaire du premier ordre,
- q - — - — - — p- 4- iq -+- i(a- -+- o-) qz — o
ou
L'intégration donne
On doit ici remplacer /?par-^-j d'où dr
dm = On obtient donc
' «/ 2 v/7 + 2 cvy 2 — ( a2 -h P ) çr;1
j' = am — d -+- y/ — 7 costy, 2 = /3/« — e -+- \J — q siny.
On a ainsi obtenu x, 7, s, exprimées comme fonctions de deux variables réelles y et à. Ces expressions, abstraction faite de termes algébriques, sont des intégrales elliptiques avec la limite supérieure q. D'après la méthode générale précédemment développée, on aurait obtenu x, y, z sous forme de sommes de deux fonctions conjuguées de deux variables complexes conjuguées. Il est donc à présumer que ces expressions complexes peuvent être chacune
icq1
-(«2 dq
-hb*)q*
2 \fq -+- <•
icq-
•icq
