DE M. H. WEBER

La première édition du Mémoire Sur les Surfaces d'aire minima, publiée par Hattendorf dans les Mémoires de la Société des Sciences de Guttingue en 1867, était précédée d'une Introduction historique qui, de l'avis même de Hattendorf, malheureusement enlevé à la Science par une mort prématurée, ne fut pas comprise dans la première édition des Œuvres de Riemann, comme n'étant aucunement l'ouvrage de ce dernier. Nous ne l'avons donc pas davantage introduite dans cette seconde édition.

Il n'est pas sans intérêt de remarquer que, tout à fait accidentellement, Weierstrass s'occupa en même temps que Riemann de ses recherches sur les surfaces minima, dont les résultats parurent dans les Monatsberichte de V Académie de Berlin en octobre et en décembre 1866. Les travaux de Weierstrass donnèrent l'impulsion aux profondes études de H. -A. Schwarz, dont la première communication sur ces sujets parut dans les Monatsberichte de l'Académie de Berlin en i865. La publication in extenso de son Mémoire couronné : Détermination d'une surface minima particulière, date de l'année 1871. Le problème traité au § XVIII du Mémoire de Riemann, dans le cas de la surface minima ayant pour contour un quadrangle régulier de l'espace, est poussé dans ce Mémoire jusqu'à l'établissement effectif d'une équation entre les coordonnées ce, y, z de la surface. On doit encore citer le Mémoire de Arthur SchôndorfF, couronné par la Faculté de Gôttingue en 1867, Mémoire qui se rattache aussi aux idées de Riemann, et présenté à la Faculté philosophique de Gôttingue sous le titre : Sur la surface minima dont le contour est formé par un quadrangle doublement isoseèle de l'espace.

Dans cette deuxième édition le Mémoire de Riemann est reproduit avec quelques corrections nécessaires d'après la dernière rédaction de Hattendorf. Je donne quelques éclaircissements et suppléments dans les Notes suivantes, où j'ai employé quelques communications et indications que je dois à H. -A. Schwarz.

[1] (p. 3 1 3 ) . 11 est à remarquer ici que, d'après (3) et (4),

dy / i'w/X . dz / i\ dX

dt\ \ ïj / d 7j ' dr\ \ J t] / dt\

SURFACES D'AIRE KINIMA PODR ON CONTOt'R DONNÉ. 349

sont des fonctions de r, seul et que. par conséquent aussi, Y et Z peuvent être considérées comme fonctions de t\ seul. V et Z' sont alors les fonctions conjuguées qui ne dépendent que de r/.

[-2] (p. 3 1 S ). Pour des valeur- infiniment petites de r, (et par conséquent aussi de r), on a. en vertu de (i) et de i > i,

dy =

— sin /' COS :;.

dy ~

— sin r sin z.

dl =

— sin /• -i:i s.

dx d~z -

siiw cos ~.

et. par conséquent,

rft

d'-.r il1 V

~ TFz '

dz "

= dy'

dy~* ~~ dz~*

Il -ensuit donc que i\ = x — iï est une fonction de y — iz. et, par conséquent aussi, que 2 Y est une fonction de y — iz. Mais, puisque j' est la partie réelle de 2Y, l'on a aussi, pour yj infiniment petit, lorsque l'on détermine d'une manière convenable une constante additive imaginaire pure

dans Y,

aY = y — iz.

Si l'on détermine aussi la constante additive imaginaire pure dans X, de telle sorte que X -'évanouisse avec r(, on obtient les développements dont il est fait usage plus loin.

[3] (p. 321). Lorsque l'angle a = o, et que, par conséquent, deux lignes d'encadrement sont parallèles entre elles, à la place de ces développements se présentent les suivants :

1 = logT) — fonct. cont..

{dit- A , -j- = h fonct. cont.,

X = — ■ — r, -+- tonct. cont.

[i] (p. 33o). La clef du § XIY se trouvera surtout dans les développements du fragment XXV. 2e édition, page jpj- Dan- la ilétermination de r( comme fonction de t, il s'agit de la représentation conforme sur le demiplan positif des t d'une figure encadrée par des arcs de cercle dans le demi-plan polaire des r,.

Si l'on pose

/dl 'dt

35o DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

alors, d'après le fragment cité,

yi dt2 y 2 dt-

est une fonction rationnelle de t qui, pour les valeurs réelles de t, possède des valeurs réelles; jki> y* sont deux solutions particulières de l'équation différentielle

7) est le quotient de deux solutions particulières de cette équation. On peut transformer cette équation en multipliant y\,yi par un seul et même facteur sans lui enlever cette propriété que le quotient de deux solutions particulières donne la fonction r;. Si l'on pose, en désignant par y une fonction de t arbitraire pour l'instant,

(3) k=yf \

on obtient pour k l'équation différentielle

/ /\ /• d^k i dk , où

(5) *(0 = tf/-7^[4//'(0- 3/^(i)«],

et, lorsque / est une fonction rationnelle de t, il en est de même de 4>.

On obtient les formules du § XIV lorsque par/(f) l'on entend la fonction entière rationnelle de degré (2V — 4 )

et la considération des discontinuités donne

lorsque F(f) est une fonction rationnelle entière de degré (av — 6) à coefficients réels. Pour trouver d'une autre manière que celle exposée dans le texte les coefficients des deux puissances les plus élevées dans la fonction F(f), l'on observera que, lorsque t = ce est un point ordinaire de la surface, le développement de -~ suivant les puissances descendantes de t commence par t~-, et que, par suite, le développement A\ commence par