BJBMANN ET SON INFLUENCE SDR LES MATHÉMATIQUES MODERNES. XXI

minima avant un contour fixe donné; en Physique, nous dirions la figure d'équilibre d'une lame fluide qui est encadrée par un conlour donné. Et ce qui esl lout à fait remarquable, c'est que, d'après les méthodes de Riemann, dans les cas les plus simples, les fonctions bien étudiées depuis longtemps dans l'Analyse suffisent à la résolution du problème.

Ces applications dont je parle ne sont, il est clair, qu'un coté de la question, car l'importance capitale des méthodes, qui appartiennent à la théorie générale des fonctions, a trait, sans nul doute, au coté qui touche aux Mathématiques pures. 11 me faut chercher à développer cet ordre d'idées d'une manière plus précise, comme l'exige l'importance du sujet, sans pour cela présupposer que l'auditeur en ail déjà une e< innaissance approfondie.

Permettez-moi de répondre, dès le début, à une question générale : celle relative au progrès, dans le domaine des Mathématiques pures. Aux regards de ceux qui sont étrangers à cette science, l'avancement en paraît peut-être lenir de l'arbitraire, car pour celui qui n'est pas ici sur son terrain, il manque un point de comparaison bien déterminé sur lequel puisse se concentrer l'attention. Et cependant il n'en existe pas moins un guide sûr et, dans un sens plus restreint, bien connu dans toutes les autres disciplines de l'intelligence humaine.

C'est la continuité historique. Les Mathématiques pures progressent à mesure que les problèmes connus sont approfondis en détail d'après des méthodes nouvelles. A mesure que nous comprenons mieux les anciens problèmes, les nouveaux se pré-

s 'ii lent d'eux-mêmes.

En partant de ce principe, nous devons jeter un coup d'œil sur la matière élaborée dans la théorie des fonctions que trouvait à sa disposition Pùemann dans les débuts de sa carrière. On avait découvert que, parmi les fonctions analytiques d'une variable, c'està-dire les fonctions de (x -+- iy), trois grandes catégories sont particulièrement dignes d'attention.

Ce sont d'abord les fonctions algébriques, qui sont définies

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par un nombre fini d'opérations élémentaires (addition, multiplication, division) et regardées ainsi par opposition aux fonctions transcendantes dont la fixation nécessite une suite infinie desdites opérations. Parmi ces dernières fonctions, les plus simples qui se présentent d'abord sont naturellement : d'une part, les logarithmes ; de l'autre, les fonctions trigonométriques, le sinus, cosinus, etc. Des recherches ultérieures avaient conduit alors, d'une part, aux fonctions elliptiques qui proviennent de l'inversion de l'intégrale elliptique de première espèce et, d'autre part, à d'autres fonctions qui ont des relations avec la série hyper géométrique de Gauss, et qui sont les fonctions sphériques, les fonctions de Bessel, la fonction gamma, etc.

La gloire de Riemann peut être dépeinte en peu de mots, en disant que, dans chacune de ces trois grandes catégories de fonctions, il a trouvé des résultats et des méthodes inconnus avant lui, et que ses découvertes forment une source qui, loin d'être tarie, n'en est que chaque jour plus féconde. Quelques indications nous le feront mieux saisir.

L'étude des fonctions algébriquesrevienl essentiellementà celle des courbes algébriques, dont les propriétés font le sujet d'étude des géomètres, qu'ils se comptent parmi les adeptes de la Géométrie analytique, où les formules jouent le rôle principal, ou bien de la Géométrie synthéticjue, au sens de Steiner et de von Staudt, où l'on étudie la manière dont sont engendrées les courbes, à l'aide de séries de points ou de faisceaux de rayons. Le point de vue essentiellement nouveau qu'a' introduit Riemann dans cette théorie est celui de la transformation générale uni voque. Dès ce moment, les courbes algébriques, en nombre immense de formes, sont réunies en grandes catégories où, faisant abstraction des propriétés spéciales de la forme particulière des courbes, l'on aborde l'étude générale des propriétés communes à toutes les courbes ainsi réunies. Les géomètres ne manquèrent pas d'étudier, à leurs points de vue spéciaux, les résultats obtenus par ces méthodes et de poursuivre cette voie, et principalement Clebsch, qui attaqua aussitôt le problème consistant à introduire ces méthodes dans l'étude