RIEMANN ET SON INFLUENCE SUR LES MATHÉMATIQUES MODERNES. XXIII

dos figures algébriques à plusieurs dimensions. Il est devenu nécessaire que la géométrie sur les courbes cherche à s'assimiler toutes les méthodes et conceptions de Riemann dans ce qu'elleont de plus profond. Un premier pas déjà fait est la construction, sur la courbe mémo, d'une sorte de contre-partie, d'image de la surface de Riemann à deux dimensions, ce qui peut se faire de bien des manières. Le progrès qui reste à faire serait d'apprendre à traiter alors les recherches qui se présentent parles méthodes de la théorie des fonctions, au moyen de celte image de la surface de Riemann.

La théorie des intégrales elliptiques trouva son extension dans la considération des intégrales les plus générales de fonctions algébriques après que, dans la décade commençant par la vingtième année du siècle, le Norvégien Abel eut publié ses premières recherches fondamentales. On devra toujours regarder comme un des plus beaux titres de gloire de Jacobi, d'avoir réussi, par une espèce de divination, à poser pour ces intégrales un problème d'inversion qui, de même que l'inversion directe dans le cas de l'intégrale elliptique, conduit à des fonctions uniformes. La résolution explicite et complète de ce problème de l'inversion est la question centrale dont la solution a été enfin atteinte en même temps, mais par des moyens différents, et par Weierslrass et par Riemann.

On a toujours considéré le grand Mémoire Sur les fonctions abéliennes, oùRiemann publia sa théorie en 1807, comme la plus brillante de toutes les merveilleuses productions de son génie. En effet, les résultats y sont obtenus par des moyens qui ne sont pas pénibles, à l'aide des réflexions immédiates basées sur les méthodes géométriques auxquelles nous avons fait allusion.

Autrefois ('), j'ai démontré que l'on obtient les résultats de

(') Ueber Riemann's Théorie der algebraischen Functionen uncl ihrer Intégrale, car F. Klein; Leipzig, Teubner, 1882. — Une traduction anglaise par Miss F. Hardcastle a été récemment publiée par Mac Millanet Cie; Londres. — Comparer aussi : Elliptische Modutfunctionen, t.I, p-492 et suiv., Klein-Fricke; ainsi que le Cours lithographie de M. Klein, Riemannsche Flàchen. — (L. L.).