I.ft,/) =log7)(— u/)-t-7log[-(a + p«/)s
■Kl,
et, puisque le premier membre en vertu de (12) peut aussi être représenté sous la forme
= log^(tu')-+-7lôg[-(a + pW')2]
on obtient
(14) (a, -p) = (a, P) et, en vertu de (i3),
Pour (pie le théorème exprimé par l'équation (1.2) ait encore lieu pour le cas [j = o, a = o = ±i, on devra compléter la définition du symbole (a, [3) à l'aide de la convention
qui concorde aussi avec (i3), (i4) et (i5).
De (i5) résulte (o, ± 1) = o; si l'on pose donc
le théorème, exprimé par (12), est ramené au cas particulier de la transformation complémentaire
logvj
I LS LIMITES 1>KS FONCTIONS MODULAIRES BLLIPTIQUES. 4°^
Maintenant, >i l'on remplace dans le théorème (12) la grandeur to par 1 — to et par et si l'on exprime de nouveau les
grandeurs
/ y -f- 8 -4- 8o> \ /8 — yw\
logî] J = — et logT] 5 *-
Jo)/ \p — xu>/
a l'aide du théorème 1 2 au moyen de log7|(w), on obtient aisément, eu égard à N el 1- . les deux théorèmes suivants, valables pour chaque paire de nombres x. [3 premiers entre eux :
la- x, P),
(19) aai'a. ;)— •- : t-j-a*-i- p* — 3(ap),
xjî) désignant la valeur absolue de x(3. A l'aide de la dernière proposition, qui est intimement liée avec la loi de réciprocité de la théorie des résidus quadratiques, on peut aussi donner à l'équation (11) la forme
(a. 3. ■;. 8) = 2ï(a, p)-J-28(p, a)— aV - p8): L 3a8,
où les signes z^ doivent être choisis de telle sorte que ± xjj soit égal à la valeur absolue de x'i: ainsi le nombre 1 x, (3, y, S), qui entrait pour la première fois en (10), se présente de nouveau encore sous forme d'un nombre entier.
Maintenant, il est clair que les deux théorèmes (18) et (19) non seulement renferment les propriétés définies parles formules précédentes 1 I - 16), mais encore suffisent à déterminer complètement en chaque cas la valeur du symbole 1 x. [3) par un développement en fraction continue, et cela comme nombre entier. Ce résultat découle déjà du théorème
(21 (a, a-+-P) = («, p) — p,'a)-i-p — a (poura3>o).
théorème que l'on tire facilement de (18) et (19); réciproquement, il est clair que ce théorème (21) joint à (18), c'est-à-dire à
(22) (a', p) = (a, p) [poura'==a(mod. P)],
renferme également la détermination complète du symbole (a, [j) et fournit pour une table une méthode de calcul très commode. Il est enfin très utile au but envisagé' d'attribuer au symbole (x, ^) un sens déterminé, aussi dans le cas où les' nombres entiers x, J3
4o4 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
ne sont pas premiers entre eus, mais ont un plus grand commun diviseur quelconque (positif) p. Nous poserons, en ce cas,
parce qu'alors les deux théorèmes (21), (22) ont évidemment lieu sans changement, tandis que d'autre part, dans la proposition (19), on n'a qu'à remplacer simplement le premier terme 1 du second membre par/?-; maintenant les deux théorèmes (21), (22) renferment déjà, sans aucune nécessité d'appeler (23) à notre aide, la détermination complète de (a, [3), et ils sont même valables encore au cas a. = [i — o, lorsque l'on pose
A l'aide de cette extension du symbole (a, [i) on peut souvent réunir en un unique énoncé des propositions qui autrement devraient faire l'objet d'une subdivision en cas différents [comparer les théorèmes exprimés par (28), (34)].
Bien que le symbole (a, [î) soit maintenant complètement déterminé parles propriétés (2 1), (22) pour chaque paire de nombres entiers rationnels a, [3, il serait cependant difficile d'en déduire une expression générale pour le symbole. Mais, à l'aide de la méthode appliquée par Riemann dans le second fragment, on arrive à représenter une telle expression sous forme d'une somme finie. Cette méthode consiste en la recherche de la manière dont se comportent les fonctions modulaires lorsque tO£= x-\- yi tend vers
une fraction rationnelle mise sous forme irréductible —7— • Cette approximation indéfinie a-t-elle lieu de telle sorte que a+(3# est infiniment petit d'ordre supérieur à y/y, alors l'ordonnée de la grandeur, qui se présente dans le théorème (12),
devient infiniment grande et positive; par suite, d'après (4),
logrj(w1) — -
i \s LIMITES DES FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. 4o5
et, par conséquent,
logi) (*>)-+- -"' a + 7 log L- l a -r- 0a) >*] = a<g'P)— z - /. I2 0(a ■+- Jo i i iap
Si. en \ ne de se rapprocher davantage des notations de Riemann, on remplace x. [3 par — //?, «, Ton peut énoncer ce théorème ainsi : Si la variable tù — x- yi tend vers la fraction irréductible min, de telle sorte que nx — m soit infiniment petit d'ordre
supérieur à \ r. on aura en fin de compte
(251 loffTi(a)j ;-t--rlogl — <n<.o — m)-\ = - -/.
i a n i /; w — m) i ri /i
Maintenant, si l'on soumet L'approximation à la condition plus rigoureuse que n.r — m soit infiniment petit d'ordre supérieur à r-. alors les parties imaginaires des second et troisième termes du premier membre s évanouissent simultanément, et, par suite, l'on obtient par soustraction des grandeurs conjuguées le théorème d'approximation
10gT,(w) — IOg7)(— U> ) = ■ -t.
théorème qui, par suite de l'extension donnée précédemment au symbole (m, n), est encore valable lorsque les deux nombres entiers m, n ont un diviseur commun quelconque.
Axant d'employer ces résultats à la résolution de notre problème, remarquons d'abord ce qui suit : Soient «, à des nombres entiers positifs et c un nombre entier quelconque ; si l'approximation suivant laquelle co tend vers sa valeur limite rationnelle satisfait à la dernière condition plus rigoureuse, il en est encoreévidemment
de même de l'approximation suivant laquelle la grandeur
! , , en -h dm - .
tend vers la valeur > et 1 on aura encore, par suite, en
an l
même temps que (26), l'approximation
/c — du>\ , / c -+- du>'\ en — dm — i( en— dm. an)
\o<*T, — loi; r. = 7.
0 ' \ « / ° ' \ a ) 6 an
Maintenant, lorsque p est un nombre premier, nous avons le théorème suivant, que l'on déduit aisément de la transformation
4o6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
du ^ième ordre ou de l'expression (2),
(27) log 7) (/m) + 2, loS'1 ("~y^j = a4 - + (i?+I)1°g7l(t0)'
où dans la somme 5 doit prendre successivement les /? valeurs o, 1, 2, . . ., (/? — 1). Si de cette expression l'on retranche l'équation qui a lieu lorsque l'on passe aux grandeurs conjuguées, l'on obtient, en passant aux limites, le théorème
(18) p{pm, n) -+■ X (m + rt5> nP) = P(P ■+■ 0 (m>n)>
où 5 doit prendre successivement pour valeurs celles d'un système quelconque complet de résidus (mod. p). De la proposition (27), on peut de différentes manières déduire des théorèmes plus généraux, valables pour des nombres composés quelconques p, et de chacun de ces théorèmes résulte encore une proposition analogue relative au symbole (m, n); mais nous ne pouvons considérer davantage ici ces propriétés très intéressantes par elles-mêmes de la fonction log7)(<o) et du symbole (/«, n).
Pour passer maintenant à notre problème, faisons usage de la représentation suivante, tirée de (2) et de (4),
(29) logïj(w) = ^-v-21°g(I — Itov)>
où v parcourt la suite de tous les nombres naturels et où les logarithmes au second membre s'évanouissent en même temps que iw; l'on en tire
iog(i— i»v) =— 25,— ,
où a parcourt la suite de tous les nombres naturels, et, si l'on effectue la sommation par rapport à v, on obtient [F a ad ciment a nova, § 39) la transformation de Jacobi
(3o) logTfj(w) = -~ —
et, par suite,
logr,(u)) — log'7](— w') =
CAS LIMITES DBS FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. -\OJ
où Ton a "posé, pour abréger,
°V- ~ 1 . !Cou. 1 |
Maintenant supposons que l'ordonnée positive y de la grandeur w = x — yi devienne infiniment petite, tandis que l'abscisse x possède de prime abord la valeur constante rationnelle m\n\ de la sorte la précédente condition plus rigoureuse est évidemment remplie. Les nombres m, n dans ce qui suit peuvenl avoir un diviseur commun quelconque, mais nous supposerons que le dénominateur // est positif. Si nous posons, pour abréger I t'en ture,
alors la constante h satisfaite la condition h" =1, el r désigne une fraction variable positive plus petite que 1 qui tend en croissant
ver- la valeur 1 : on a en même temps
et il s'agit alors de déterminer la valeur limite de
IOg1)(<D — IogT,(— W ) = -~r- — 7,
b n <*mt [j.
En réunissant chaque paire de numérateurs a^, correspondant aux nombres ;j. = sn — v et u. = (5 + i)« — v, où o < v <i\ n, l'on reconnaît aisément que la valeur absolue de la somme
reste pour toutes les valeurs de r, y compris r=î, inférieure à une constante finie, indépendante de r et de [x; d'où il résulte, en vertu d'un théorème général (■), que la série
lorsque ses ternies sont rangés dans i ordre des valeurs crois-
(' ) Diuichlet. Leçons sur la Théorie des nombres; Brauaschweig, Vicweg und Sohn, 2e édition, § 143.
4o8 TROISIEME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
santés de \x, converge encore aussi pour r= i, et reste continue en ce point; en se reportant au théorème (26), on en conclut
ou
ou bien
im a
■ ft-f1
selon que l'on a^=i ou non; mais, en appliquant la transfor-
mation
où 7 prend la suite des valeurs 1,2, ,..,(/? — 1), on obtient la représentation suivante, valable pour tous les |J.,
6,i=^2<r(e-«Mr-eiwr),
rej>résentation dont on déduit aussi très facilement la somme de notre série infinie, sans avoir à faire usage d'intégrales définies. Lorsque z est une valeur réelle quelconque, nous désignerons, ici, pour la clarté, cette différence entre z et un nombre entier, qui tombe entre — ^ et i, non par (3), mais par ((-)) I mais, pour les valeurs de z, situées à égale distance de deux nombres entiers, d'après Riemann (voir page i/\?> de la traduction et la page \ by des Fragments XXVIII, 2e édit.) la fonction périodique {(z)\ qui est ici discontinue, est égale à zéro, et l'on peut alors écrire qu'elle est égale à la moyenne arithmétique des deux valeurs infiniment voisines
((* + o)) = -i et ((*o)) = + I.
D'après un théorème très connu de la théorie des séries trigonométriques, et qui peut être aussi déduit directement de la série pour la fonction logarithme, on a toujours
i v> LIMITES DBS FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. 4°9
où ■-). pren™ successivement les valeurs croissantes de la suite des nombres entiers, et, par conséquent, on a
-;a — icu.
11 en résulte crue
il OU
(5 « — ^ n ' n mais, com'me on obtient, en changeant -y en n — t,
on en conclut aisément, à l'aide d'une soustraction, l'expression suivante
où // est pris positif et où s prend pour valeurs celles d'un système complet quelconque de résidus (mod. n). Cette expression, sous forme d'une somme finie, pour le symbole (m, n) donne lieu à de nombreuses transformations et simplifications que nous allons maintenant considérer plus en détail. Cette expression est encore valable lorsque les nombres m, /> ont un diviseur commun quelconque (positif) p ; ce dernier point s'établit aisément en se reportant à (a3) et en se servant du théorème suivant, d'ailleurs important en soi :
où je désigne un nombre réel quelconque et où p' parcourt les valeurs d'un système complet de résidus (mod. p).
Supposons maintenant que m, n soient des entiers premiers
/jlO TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.
entre eux et posons, pour abréger,
B = — - G = - log [ — ( nui — m)- I,
on a
m = [jl, nsv (rnod.2), et, du théorème d'approximation ('25)
lOg 71 ( W ) = -7ZI — 2 b — Li
résulte en même temps
lOgT] ( 2 io) = — — ni — (4 — 3v) H — L -h - log 2,
/o)\ m -.— i (m, in) . i — u.
lOgTj ( — J == - — 7T{ (4 J|JL)B— G H — !-10g2,
lOgT] — TZl
\ i / il\ n
-+-(2 — 3fx — 3v)B — G+ !-t + v ~ f Iog2;
les symboles qui se présentent ici sont, en vertu de (28), reliés entre eux par la relation suivante, qui a toujours lieu,
(34 ) 2 (2 m, n ) -+- (m, 2«) + (m + fl,27i)= 6 (m, /t)-
De cela, en vertu de (5), résultent en même temps les approximations
' , , Z m -^- i(m -\- n , in ) — ^(im, n) . , . . .
\OSk = — - 7Ti+ (u-f-2V— 2Hl2B — 2 10g2),
(in Vl
(3j) / log/t = -^— TZI-+- (2|A -+- V — 2) (I2B 2l0g2),
2K (ni.n) — (m-h/i.in) . . . , . ,-,
log- = : ^r 1»+ (i — u — v)(l2B — 2l0g2) — 2L.
- in
La comparaison de ces théorèmes, avec les huit formules du second fragment, fait voir que Riemann n'a pas attaché une importance suffisante à la détermination des parties réelles infiniment
CAS LIMITES DES FONCTIONS MODULAIRES ELLIPTIQUES. l\\ I
grandes, renfermées dans les termes relatifs à B, G. Ces déterminations sont inexactes en certains endroits et en d'autres manquent complètement. Dans les parties imaginaires [formules (3), (4) et (5)] on a trouvé quelques petites inadvertances que l'on a pu aisément rectifier déjà dans la première édition, tandis que les parties réelles ont été reproduites encore ici sans changement. L'identité des formules de Riemann, quant à leurs parties imaginaires, avec les théorèmes précédents (35), ne se reconnaît pas partout au premier coup d'oeil, et la démonstration complète de cette identité nous mènerait ici trop loin. Nous nous proposons cependant, car le sujet est suffisamment important, de donner comme éclaircissement les quelques remarques qui suivent.
Par dénominateur d'un nombre rationnel jc, nous entendrons toujours le plus petit nombre entier n pour lequel le produit nx est également un nombre entier m, et ce dernier nous le nommerons alors le numérateur de x. Il y a ainsi toujours une infinité de nombres x' qui ont même dénominateur, et dont les numérateurs m1 satisfont à la congruence
mm' == i (mod. n) ;
chacun de ces nombres x' sera dit un associé de x ( socius, comparez Gauss, art. 77, Disquisitiones arithmeticœ). Si l'on convient de dire, sans parler d'un module, que deux nombres sont congrus entre eux lorsque leur différence est un entier, et si l'on désigne ce fait par la notation x ^ y, à chaque classe de nombres x congrus entre eux correspond une seule et unique classe de nombres x', et, si p désigne un entier premier avec n, on a
p (px' )' = X.
Posons alors, pour abréger,
(36) DW^^^V^5
Cette fonction, comme l'indique la précédente expression ou encore celles-ci : (18), (i5), (12), (34), jouit des propriétés
( D(ar) = D(a?-t-i) = — D(— x) = D(x'),
'jI2 TROISIÈME PARTIE.— FRAGMENTS POSTHUMES.
Si l'on remplace dans les formules de Riemann la fonction E(x), dont il se sert parfois, et qui désigne le plus grand nombre entier contenu dans x, par l'expression
dans laquelle, au seul et unique cas où x est lui-même un nombre entier, on doit prendre au lieu de E(.r) la moyenne arithmétique x — r, entre E(# + o) et E(.r — o), alors, dans la plupart de ces formules se présentent encore en définitive seulement des fonctions de la forme
(39) R(»= Y ((va;)), S(a;) = V ((va-- '-)),
les sommations s'étendant à tous les nombres v qui ne sont pas négatifs et qui sont inférieurs à la moitié du dénominateur de x\ ces fonctions jouissent des propriétés
i R(a;) = R(a;-w) = — R(— x), (4o) ! S (a;) = S(x-hi) = — S(— x),
h désignant l'excès du nombre des termes positifs ((vj)) sur celui des termes négatifs; ces fonctions ont, avec la fonction D(.r), les relations suivantes. On a, en général, en vertu de (36),
Lorsque le nombre x a un dénominateur pair /i,ona l R(a?) - - S(x) = -h = I D(a?) - £ D(ao;),
Mais, si le nombre .r a un dénominateur impair n, les nombres y, qui satisfont à la condition iy eh x et qui sont, par conséquent, = ;a;ou bien eh j(#-}-i), se distribuent en deux classes de nombres : ceux qui ont le même dénominateur ai, et que nous désignerons par x{, et les autres qui seront désignés par x2 ', ces
CAS LIMITES DES PONCTIONS MODULAIRES BLLIPTIQUES. .') 1 3
derniers oiu le dénominateur in. On a alors I ',3 i R(a?s) = R i ./• — S | .r) = >.R ( x ) — S
el
{ D - 6R Fj 4Ri a? i l;
) l». u.r - = lilu./o 8R(jp) — iR a; . 1' Fj) = 6R(a?2) — 2R(a;) — 8R
D (Xî) = 6 R l .r, , - •.» R | .r — 2 R
et la condition précédente
D(ix)-^D(xl) — D(a:s) = 31>(.r)
est encore ainsi satisfaite. L'identité 'lis trois premières représentations dans j i ' se reconnaît en observant les premières propriétés de R(#) et en ayant égard aux relations
xi—,x,~- -I-12//: (ar-t-I)' = (4a;)'-t-i; (a?2)' — (#2);
et réciproquement, l'on a
, GI; • >D(x i — -2D(2X) - D(a?i)= D(ar2) — D(2a?),
[I 6R(a?' 3D i !• './■ 2D(a;i)= D(ar2) — D(a?i),
( 6R( Xi ■ - 5Di ./ — .iD(-ixj — iD(xi) — iD{x2) — D(a; i.
La déduction de ces formules, et d'autres relations nombreuses, qui <ont en rapport intime avec la théorie des résidus quadratiques, nous devons la réserver pour une autre occasion.
