oio

(7) l( '—, — ) =c*(*-l-Pa>)s*i(io),

et de cette transformation de '^(w) on déduira celle de logr,(to\ Le cas (3 = o se résout directement à l'aide des définitions ( i > eL (4) de '/".(oj), log7j((o) et donne

(8) l0g71(i+ w) = logeai) -f- ^5

CAS LIMITES r>F.< PONCTIONS MODULAIRES BLLIPTIQUES. J| O I

ou, plus généralement, en désignait par/? un nombre entier quelconque,

| g < 'og7j| // -+- tu i = Iogr((o) ) + -

Mais, si 3 est différent de zéro, la grandeur u. = — (a-r- £<'->)" n'est jamais négative, et, par suite, l'on peut définir logu. d'une manière uniforme de telle sorte que la partie imaginaire reste toujours comprise entre ± ~i\ et que, par suite, à des valeurs conjuguées de ;j. correspondent aussi des valeurs conjuguées de logu; alors, en vertu de (-), on a

(10) l°Zr>(l~Tj) = logij(u)-H^ »og[— (a-f-po))2] + (a, p5Ï,8)^,

l'expression (a. (3, y. 8) désignant un nombre entier complètement déterminé par a, j, y, 8, et qui reste invariable lorsque ces quatre nombres sont multipliés par ( — i). La détermination complète de ce nombre donne évidemment des résultats encore plus détaillés que celle de la racine huitième précitée de l'unité; c'est ce qui va faire essentiellement l'objet des recherches suivantes.

En premier lieu, (a, [3, y, 8) peut se ramener à un nombre qui ne dépend que de ?.. (3. En effet, si les nombres y', S' satisfont également à la condition y.o — -[3y'=i, on sait alors que v'=Y-)-/ia, o = o — n j, // désignant un nombre entier quelconque ; par suite on a, d'après

i /y'-+-8'ci)\ . / •; — Su \ /-'-4-oco\ n-i

\ a -r pu / \ a-+- peu \3t — ioj/ 12

d'où l'on conclut, en vertu de (io), que

(*» ?• Y'i 8#) — s- = (a> ?> Y> 8 ' — s ne dépend que des deux nombres a, [3 ; on peut donc poser (u) P(a>p\ï, B) = a-f-o — a(a, 3 i

et, par conséquent, aussi

(-' — oco\ I

i-J = Iog7i(a>)-i- ^log[— (a+pu))*]-

expression où 2(a, [3) et, comme on le verra plus loin, (a, [3) aussi désigne un nombre entier, qui ne dépend absolument que des deux nombres premiers entre eux a et |3 ; on obtient en même temps

Maintenant, si l'on remplace tous les termes de l'équation (12) par les grandeurs conjuguées correspondantes, on obtient alors, d'après les précédentes remarques,

logï]