SÉRIES THETA />UPLEMENT INFINIES

Œuvres de Riemann, Je édition, page 483.

L'étude relative à la convergence d'une série infinie à ternies positifs peut toujours se ramener à l'étude d'une intégrale définie grâce au théorème suivant :

Soit

une série à termes positifs décroissants, soit ensuite f{x) une fonction qui décroît lorsque x croît, on a

f f(x)dx>f(* + \),

et, par suite.

rn+l

/(o)+/(i) -h... +/(»)> / f(*)dx>f(i) -*-/(%)+ .,.-+-/(» -ni).

La série

converge ou diverge par conséquent en même temps que l'intégrale

f f{x)dx.

Si, maintenant, f{n) est positif et #/2 <f(n), la série

(') Ce .Mémoire et le suivant font partie d'un Cours professé par Riemann en 1861 et 1862. — La rédaction de ces travaux repose sur un cahier de notes de G. Roch. — (Weber et Dedekixd.)

CONVERGENCE DES SÉRIES THÊTA /'-UPI.EMENT INTIMES. l\1\

converge «gaiement, pourvu que cette intégrale converge. On conclut de là le théorème :

Si an<Zf(x), quand n^x, la série > a„ sera convergente,

pourvu que l'intégrale / f v)dx soit convergente.

Maintenant, si l'on pose

on obtiendra

Lorsque les deux variables ./•. r décroissent «simultanément et croissent simultanément (et cela jusqu'à l'infini), alors selon l'hypothèse adoptée. poniM' croissant F(y) décroît, tandis que œ [y) croit.

Les conditions de convergence trouvées précédemment se transforment par conséquent comme il suit :

La série \] an converge lorsque, pour n = ®(y), an<iF(y) ou, ce qui revient au même, lorsque, pour an ^F(y), n < 'f(y) et que l'intégrale

V;y)o'{y)dv

converge.

Maintenant, sian>F(y), il en est de même de at, a2, .... an{. Si Ton a donc an+i<C 'F(y), n sera le nombre des termes de la série qui sont supérieurs à F| y). Le théorème s'exprimera donc encore ainsi :

Si Ton désigne par F (y), 'f(y) deux fonctions dont la première décroît pour y croissant, et dont la seconde croît (jusqu'à l'infini), et si le nombre des termes d'une série à termes positifs, qui sont égaux ou supérieurs à F(y) est plus petit que cp (y), alors cette série sera convergente quand l'intégrale

f F(y)o'(y)dy

converge.

Nous nous proposons la recherche de telles fonctions, relativement à la série 2? yo-uplement infinie

-h» +oo S 2j ati>mtmEr-{-2 )►] mivt

•^ ^Ti e=i £=i e = l

où, sans porter atteinte à la généralité, nous supposerons d'abord rue les grandeurs a££> et p£ sont réelles.

Le terme général

est plus grand que e h\ lorsque

\ \ «££' W£ ïïlzj 1 2, mZ Vl <C h%.

Pour le but que nous nous proposons il est donc nécessaire de déterminer combien de combinaisons des nombres entiers /;*,, /?z2, • . . , nip satisfont à cette inégalité.

Considérons, à cet effet, l'intégrale définie multiple