NVKRGENCB DES SÉRIES TI1ÈT.V /J-ITLEMENT INFIMES

le champ d'intégration de l'intégrale sera déterminé par l'inégalité

et L'intégrale A sera représentée par

.'.' J — - àtx ot, dtp ' p

Le déterminant fonctionnel est une constante finie, et aucune des variables /. prise en valeur absolue, ne peut être supérieure à i .

D'autre part, si les (- n'étaient pas tous positifs, ou si quelquesans d'entre eux manquaient dans la forme transformée, il se présenterait alors dans l'intégrale A des valeurs infinies de t, et l'intégrale A elle-même deviendrait donc infinie.

C - résultats n'éprouvent aucun changement, lorsque, an lieu du champ d'intégration considéré de l'intégrale A, nous prenons le suivant

les y.; étant des grandeurs réelles quelconques. Si nous considérons maintenant l'inégalité

— \ 7 ait' mt mt> — 2 /^ Vz-tnt < h-, e e' z

ou bien, en posant -r- = jr£, i inégalité

— 2 2 a" Xt x- ~ 2 ^- JtXz<1'

il résulte d'abord que, pour chaque valeur finie de h, il existe seulement un nombre fini de combinaisons des nombres entiers m , , m2, .... nip qui satisfont à cette inégalité; en effet, les x doivent tous rester compris entre certaines limites finies, et entre de telles limites il n'v a qu'un nombre fini de nombres rationnels à dénominateur donné h.

Soit donc Z/j le nombre de combinaisons admissibles des nombres entiers m.

Considérons ensuite la somme suivante étendue à toutes ces

combinaisons

cette somme pour chaque valeur finie de h est elle-même finie et, pour h croissant indéfiniment, tend vers la limite A ; or nous avons démontré que cette limite A est également finie lorsque la fonction — ^^ aztxtxt' est représentable par (une somme de) p car-

e e' rés positifs. Si l'on écrit que l'expression \^ ... est égale à A -/. .

m, mf

k est alors une grandeur finie et qui tend vers zéro lorsque h augmente indéfiniment. On aura donc