I O II

Lorsque l'on connaît trois paires de fonctions abéliennes, on obtient les paires restantes de ce même groupe par la résolution d'une équation cubique, et l'on peut à leur aide déterminer toutes les autres fonctions abéliennes restantes ainsi que leurs caractéristiques.

Pour l'effectuer supposons que \Jx^ s/yr\, \/-C soient ces trois paires d'un groupe, de sorte que £, 7), Ç sont données comme fonctions linéaires homogènes de x, y, :■■

Une détermination convenable de facteurs constants permet de ramener l'équation (9) à la forme

\Jx \ -+- \/ v rt -+- y z Ç = 0 ,

d'où

zÇ = x\ -+-yr\ + is/x\yt\

-\x\y<\ = OC —x\— JK'/j)2,

de sorte

/= zZ — x\— yy\-

Pour obtenir toutes les paires appartenant au groupé \Jx%, \]y r,, nous avons à résoudre, d'après ce qui précède, une équation biquadra tique, mais dont une racine, celle qui correspond à la paire \jz^ est déjà connue. Le calcul sera donc plus symétrique si l'on cherche d'abord les paires du groupe yArv), auquel appartient aussi la paire \/j 'ç.

Si \J pq est une autre paire inconnue de ce groupe on a, outre l'équation (1 1). une autre équation qui lui est identique,

(i3) ïyîpq = <ï*,

lorsque [d'après (8)]

où A désigne une constante encore inconnue. A l'aide de (11) et de (12), on en lire

et, par suite (abstraction faite du facteur ).),

pour x -j- ky = oet; = o, l'une des deux fonctions p, q, par

exemple />,%doit s'évanouir; d'où il suit, u, désignant encore un coefficient inconnu, que l'on a

(i4) p = x -h \y -+- \lz,

d'où l'on conclul encore, puisque/? et z ne sont pas identiques,

par conséquent, en vertu de (i3),

ax -+- aXy-i- aui+ - -+- ^- h — — — 0 ou bien, si l'on remplace Xa, |xa par 6, c,

(16) ax -^ by — cz -+- - -+- 4 ■+■ - = o:

^ abc

de là résulte par conséquent, puisqu'il n'est pas question d'un facteur constant relativement à p et <7,

// = as* -+- by -+- cz = — ( — -+- t -+- - ) >

17 abc]

»=* + ÎH- —

Comme il y a quatre paires y;, y, on peut déterminer quatre systèmes a, &, c.

Pour j parvenir, on observera qu'entre les six fonctions x,y^ 5, ç, 7], Ç il existe trois équations linéaires homogènes que nous désignerons par ut = o, u2 = o, u3 = o. Nous en déduirons une combinaison linéaire homogène à coefficients indéterminés /( , h, U :

Il U] — 1, «2 -r- ^3 «3 = 'J-X — 3j- + p -j- -/; 3'r, + y'C = °i

où a, p, y, 7.', V. y' sont des expressions linéaires homogènes en /, , l2: l3. Cette relation prendra la forme (16) lorsque les conditions

xx pp = y Y

sont remplies, ce qui donnera quatre systèmes de valeurs pour les rapports l\\ L'.h-

On arrivera au but cherché de la manière la plus élégante en supposant les fonctions £, 7), Ç données par trois équations de la

forme

(i7) tv I a S y

Pour que, dans la première de ces équations, les coefficients aient la valeur i, on peut attribuer des facteurs constants à x,y, Zj i, 7], Ç, ce qui en même temps n'altère pas la forme de l'équation (io).

Comme conséquence identique des équations (17) on doit en obtenir une quatrième de même forme

Par conséquent, pour obtenir a", [3", y", on devra déterminer les coefficients X, X', X" à l'aide des équations suivantes

À a =Àa +Àa + i, —r. — — H h- T,

( X"S"=X'3'^XS + i, *! = *! + *+!,

A Y =ÀT +ÀY + I, — = - H H I .

En multipliant deux à deux les équations correspondantes, on obtiendra

X"2 = X'2^X2-+-XX'(/^ h- -) -t-lfa-i--) H-X'

(20) | X"* ^ x'*+ x* + xx' fi + 1') + x(s + i) +X' (V+ ^

>"2 = X'2+ X^ + XX' (1 4- £) h-X (Y + i) +X' (Y'+ I Si l'on élimine X" entre chaque combinaison deux à deux de ces

trois équati As, l'on obtient, pour, el - • les deux équations li-

néaires

au moyen (.lesquelles X et X' pourront être évalués d'une manière unîvoque.

A Tiiitle de l'une des équations (20) on obtient X", abstraction faite du signe, et, finalement, de (19) on tire a", ri", y", ebacun également à un facteur + 1 prés, qui est le même pour tous, et qui reste indéterminé comme le veut la nature de la question (*).

Avant de celte manière trouvé x", (3", y", on obtient dans le groupe ^ .//,. \ i ; les quatre paires de fonctions abéliennes suivantes

v Y'./ : VY.

V a" + fi"

(') Si l'on pose, pour abi 1 1 1

on peut déterminer a", p", y" à l'aide des équations

.^.PP'P-=(«,P.t)(-,P^):(Î»-J»t)(V^

..V:PP'p-=(-,^T)(«,^):(s.P,T)(yP^>

et des équations analogues. — (Weber. )

De la même manière, on obtient clans le groupe \/x^, \J z\ les paires

tfx-i-jr-hz,

^-t-JK-f-C,

l/HH'

s/«' a?+ P> + if'*,

/a"a?-h 'fy — y -.

et dans le groupe \ZyÇ, \J z~*\ les paires

v/a^-H pj-hy-,

s/z'x-+- py-i-fz,

en sorte que, outre les six fonctions abéliennes données, seize autres encore se trouvent déterminées. Pour en déterminer les caractéristiques, il suffît de remarquer que les trois groupes ici considérés renferment quatre fonctions abéliennes communes à chacun d'eux. Si l'on forme, par conséquent, les groupes correspondants des caractéristiques, ces groupes doivent avoir quatre caractéristiques en commun, qui doivent être attribuées d'une manière quelconque aux. fonctions

\/x-+-y-hz, s/ix+^y-^-^z,

yja! x -t- ft'y -t- -('z, \/x"x -+- $"y -h -fz.

Les caractéristiques des fonctions abéliennes restantes sont ainsi par cela même complètement déterminées, car elles doivent se répartir par paires dans les trois groupes, de même que les fonctions abéliennes correspondantes y sont elles-mêmes distribuées. Ces caractéristiques peuvent être représentées symétriquement de la manière suivante :

Désignons les caractéristiques des groupes \/f"Ç, v/3^ ^'JC'r\: res"

-II! LA TUÉORIE DBS FONCTIONS ABÊLIENNES. 44'

peclivemei%pa] , et par /),(") celles des

quatre fonctions

ch.

et pur i n --/> ) La caractéristique de \ x. Ou obtiendra alors le! expressions suivantes, pour les caractéristiques,

{y/y (n-hq), \ s) = (n H- r .

\ ■- ■ - d), \ ./• = Qo

vi-.. : '/.,:-. =(/■ d),

Si nous prenons, par exemple.

(v^) = (,OI)> v"^l" 'i- (v^) = fIOJ ■ (/I)=(IOO)> (/.) = (' ioj, Wi) = (i0°),

ce qui est admissible, puisque alors \/#ç, yJ"7" y-Ss appartiennent

/o o i\ ., , au même groupe ( I > il s ensuit que

\\l TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.

Les groupes (/?), (q) complets sont

I I o\ /lOl\/Ill\ /I o o \ /o i o\ , O O I

O I I / ' ■ O O I ' Mil/ \ I O I / ' 111/ . I O I

loi O/ \ 110/ ' I O 0/ I I O • \I o o/ \o 11/ ' \o O I

d'où l'on tire

et les caractéristiques des fonctions représentées en (21) et écrites dans le même ordre sont

/oio\ /ooi\

' O O I / oïl

On a maintenant la proposition suivante, relative à trois fonctions abéliennes d'un groupe, lorsque deux quelconques d'entre

elles n'appartiennent pas à une paire : la somme de leurs caractéristiques est toujours une caractéristique paire. En ell'ct, considérons par exemple les trois fondions ^ .r, \ y. \ set exprimons ;. ïj, ^ linéairement en j\ r. s, l'équation (10) peut être alors prise sous la forme

^x{ax — by -r cz) — ^ y^a'x -+- b'y-t-c'z) -4- \/z( a' ' x ~- b y - c s) = o.

Si nous posons successivement x = o, y = o, s = o, nous obtiendrons, pour les produits des racines des équations quadratiques qui fournissent le rapport des deux autres variables, les valeurs

dont le produit est — i. Mais cela, d'après les pages 43a, 433, est précisément le critérium pour que la somme des caractéristiques des fonctions ^ ./•. ^ r. y c soit une caractéristique paire.

En s'appuvant sur ce théorème, on peut démontrer que les seize fonctions abéliennes que l'on vient de déterminer sont différentes des douze fonctions qui se présentent dans le groupe ^ ./ :. En effet, si \pq est une paire appartenant au groupe \Jx%, les caractéristiques

(t/*) - WD -*- (/p), (/r) - rô) w ■ s * + w't> -+- (v^)

seront impaires et, d'après le théorème qui vient d'être démontré, y p ne peut se présenter dans aucun des trois groupes

W^) = Wïi), (v^) = (/M), WyT) = y^ï)'

Ces seize fonctions abéliennes fournissent donc toutes les fonctions abéliennes qui ne sont pas contenues dans le groupe \J x H, et, si nous cherchons les six fonctions de ce groupe qui manquent encore, nous aurons ainsi déterminé les vingt-huit fonctions abéliennes.

Pour les obtenir, posons

t = x— y^z, u = \ — 'ct — t.

et parlons de l'équation

(22) \/tu = <Jxr{ -+- s/y\,

que l'on lire aisément de (10) et (17). Nous remplacerons par les

fonctions

t, x, y, u, y), \, les fonctions

considérées précédemment, et nous obtenons d'abord entre ces variables l'équation

outre laquelle doivent avoir encore lieu trois autres de la forme

(24) at -r- bx — cy -1- a' u -4- b'q -+- c'| = o,

avec la condition

aa' = bb' — ce' .

A la place des groupes {p-\- q + r), (/>), (q), (r) se présentent alors Jes suivants

) Wt\ ) s/uy > = ( n 4- rf-4- ? -+-' r),

\ (v^'l) — Wux) = («•+■ d-\-p-\- r).

Dans le premier de ces groupes, en (/■), il se présente les paires suivantes de caractéristiques :

- (rf) -4- (r+ d) = (e) -+-' (r -4- e) = (/) -+- (/• +/) = (?) ■+- (r -+- ^),

et, à l'aide de l'équation (23), nous obtenons les fonctions abéliennes suivantes

dont les caractéristiques sont (/* + /•), (« + yo + <//), (q -\- d), (p + û?)j qui se distribuent de la manière qui suit dans les trois

SU» LA THÉORIE nns FONCTIONS ABÉLIENNES. \ |5

derniers groupes ( a

Les caractéristiques dos fonctions abéliennes qui ne sont pas encore déterminées doivent maintenant, comme il a été démontré précédemment, être contenues dans le groupe (p + q -\- r).

Si nous désignons ces caractéristiques par (A-,), (k\), (k\), (k2), h -, . l'on devra, par suite, avoir

et ces caractéristiques ne se présentent pas dans le groupe (/•).

Mais lacomparaisondes groupes < >5)avec les groupes {p-\-q-\-r): (/>), iy iseigne que dans ces groupes doivent entrer toutes

le- caractéristiques impaires existantes, et ensuite que les trois paires encore restantes des groupes (p-hq + ''), (n-\-d -\-q-\-r), n -d -p - r doivent chacune avoir en commun une même caractéristique.

Maintenant la caractéristique < q -j- e) ne se présente ni dans le groupe (/*), ni dans ( p — q — a '); il s'ensuit donc que l'on peut choisir (/., ). tel que Ton ait au choix soit

soit

De la première hypothèse, on tirerait

ki =(bh /• -+- d — e),

mais cela n'est pas possible, car, dans le groupe (p), nous avons

les paires

et, par conséquent, d'après le théorème précédemment démontré

à la page 443,

fn + r + rf + e)

est paire. On aura donc

( ki ) = (n -\- d-+- e -+-p -h q -h r),

d'où

(À-.,) = (n + cf + e).

On conclut de même

( k\ \= (« + d -+-/ -hp -+- gr -h r), (*',) = (n + rf'-t- /), (A-',') = (n^d^-g-^p + q 4-r), (*5) = (n -+-«*-+- $•),

et le groupe (n -4- d -\- p -f- r) contient les paires

(A',), (ry + e); (A',), (7+/); (AJ), (? + #).

D'après les résultats de la considération qui précédait, d'une équation de la forme (24) on déduira les quatre fonctions abéliennes

y/ai -4-607 -+- cjk = y — («'« -t- 6' t) -+- c'£),

y/a'» -4- bx +c/ = v — (a? -t- 6'ïj -+- c'jj),

y/a£ -t- 6'-/) -4- <y = \J — (a' « -+- bx -+- c'\ ),

y/a£ -^ bx -i-c'£=v — i^a'a -1- 6'tq h- cj' i,

dont les caractéristiques sont respectivement

et notre problème sera donc résolu, lorsque l'on sera parvenu à déterminer les coefficients a, b, c, a', //, c'.

Or la fonction, qui a (p -+- e) pour caractéristique, est déjà déterminée dans ce qui précède. C'est

t/ajr-*-2 -H -:

et, si nous posons

nous pouvons déterminer les coefficients rt, b, c, a', b', c' en sorte que v se présente sous la double forme qui suit

v = at -f- b' rt -f- cy = — a' u — bx — c'\.

Nous y parviendrons comme il suit, au moyen de » = ; ■+■ *) -+- z = — x —y — Ç :

nous éliminerons entre les deux expressions de t> les variables z et Ç, il vient

c -4- y tt = | ( I — Y ) -4- vr, — (3 y .

Eliminant entre ces dernières équations t\ et r. il vient

3 — y 3 u — gY) l i — «y

"-«x-Py"*"* i- « i-Pt'

et de la même manière

v - t I-°tï 5 P -;; «f P-y'

d'où l'on tire

a - y i — Py

6 = — P<'— gY> ,

i-PY P«-y

a — y a [ ~~ PY

.Nous pouvons donc former maintenant les deux fonctions abéliennes

y/ al — bx -t- cy, \J a u — bx -r- cy.

Si l'on y remplace t et u par leurs expressions en X^y, z, £, rn Ç, on obtient, après suppression de certains facteurs constants, les deux expressions suivantes pour la fonction qui correspond à la caractéristique (Â , .

V i-Py ' i-Y* ' »-aP' V «(Y-P)H 3(Y-«) ; i — «P et, pour la fonction qui correspond à la caractéristique (Â"2),

Y a(i-Py) P(i— vaj ' Y(i-<*P) V Y~P ' Y~a ' Y(» ~ aP)

Quant aux fonctions qui correspondent aux caractéristiques (A\), (A"o); (A'""1)i (A-))? on les obtient immédiatement en remplaçant respectivement ci-dessus a, [i. y par a', (3', y'; a", {3", y", et, de cette manière, seront déterminées toutes les fonctions abéliennes avec leurs caractéristiques respectives. Dans l'exemple choisi précédemment les caractéristiques (A"i), (^2)1 {k\), (k'2)) (&'[); (/'■ ) se présentent àous la forme suivante :

7 OIT , , /O I o\ , ,, /l I l\

1IO * ' o i 0/ y O I 0/

Maintenant puisque, ainsi qu'il a été précédemment démontré,

y.", ^", y" peuvent être exprimés à l'aide de a, |3, y, a/, Jii', y', toutes les fonctions abéliennes, ainsi que toutes leurs liaisons algébriques, sont exprimées à l'aide de 3p — 3 = 6 constantes, qiie Ton peut regarder comme les modules de la classe pour le cas où p = 3.