DES

FONCTIONS ABÉLIENNES.

Œuvres de Biemann, .r édition, page 4S7.

Soit (e{, e2* •••• ep) un système de grandeurs jouissant de la

propriété suivante

Sri ei. e*. . . . . ep 1 — o.

D'après l'art. 23 du Mémoire Sur la Théorie des Fojictions abéliennes [Œuvres de Riemann, 2eédit.,p. 1 34 (ici p. 1 5 1 )],

la congruence

(eu e,. ..., ep) -( ^ < 2"*

est sous cette hypothèse satisfaite par certains points rl(, rl2, . . ., 'r>2p-2-> qui sont associés par l'entremise d'une équation co = o. Si l'on désigne alors par u^ et u'„ les valeurs que prennent les intégrales de première espèce u^, pour deux systèmes de valeurs indéterminés s, z et s, , zt, la fonction

?: i(i—u\ — e,. .... up — u'p — ep), considérée comme fonction de s. z, s'évanouit pour 's,z = (sl5.st)

4a6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.

et pour les p — i points rM, -ri2. .... 'fip i, et, considérée comme fonction de s,, z{, s'évanouit pour (5{,£4) = (s, z) et pour les p — 1 points Yij3, .... 712JB-2- Par conséquent, si (/i,/2, • • ••.//>) est un système de grandeurs jouissant des mêmes propriétés que (e,, e2, .... ep), la fonction

&(«!— w'i — et. . ..)&(«!— «i + ej, .. .)

qui est rationnelle aussi bien relativement à .ç, z qu'à 5,, z4, est infiniment grande pour un système de points et infiniment petite du premier ordre pour un autre système de points, chaque fois associés par l'entremise d'une équation co = o ; elle sera donc représentable sous la forme

2 t cv?vP> s) Z. cv?v(gi> -Si)

2j 6V?v(*> Z\2j ^Vrfv(Sl, -5!) 1 1

où les coefficients b, c sont indépendants de s, z et de st , ;, .

Maintenant, lorsque les systèmes de grandeurs e,f ont la propriété, qui est définie par

Oi, e2, ep) = (— eu — e2, — ep),

les points en lesquels la fonction (1) ou (2) devient respectivement nulle et infinie se réunissent par paires, et nous obtenons ainsi une fonction qui devient infiniment grande et infiniment petite du second ordre en p — 1 points seulement. D'après cela, la fonction

/ Zj cv<?vO, z) y, Cv<Pv(*l>^l)

est ramifiée comme l'est la surface T', et acquiert, à la traversée des sections transverses, des facteurs qui sont = ± 1.

SLR LA THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES.

Les fonctions déterminées de celle manière,

qui deviennent en p — i points infiniment petites du premier ordre, sont dites des fonctions abéliennes.

Elles tirent leur origine des fonctions to par la réunion par paires des zéros el par l'extraction de la racine carrée. Leur nombre est en général fini.

En effet, les congruences (3) exigent que les systèmes de grandeurs e, f soient de la forme

ti— — H- Stan-*-. . .-f--epapi, — e,, — — - ^a^ — ...— -;,,«,,,,) <

où les s, t' désignent des nombres entiers qui peuvent être réduits à leurs résidus minima pour le module 2. La condition 3?(ei, <?2 ep = o ne sera en général satisfaite par un tel système de grandeurs que seulement lorsque Ton aura

(4) siM — es£a -• • •— ti>t'p= l (mod. a).

Mais il existe de tels systèmes de nombres e, s', au nombre de 9.p~{ (2^— 1), et, par suite, tel est aussi, en général, le nombre des fonctions abéliennes.

Le complexe de nombres

- 1 ■ -21 • • • 1 -p est dit la caractéristique de la fonction

4 / 2 cv<pv(s,-z), et sera désigné par

4 ^ cv<pv(s,

La caractéristique est dite impaire lorsque la congruence j est satisfaite; au cas contraire, elle est dite paire.

Le nombre des caractéristiques paires est q.p~* (iP -\- 1), et, en général, à ces dernières ne correspondent pas des fonctions abéliennes.

Par somme de deux caractéristiques, on entend la caractéristique formée par les sommes des éléments correspondants; les éléments peuvent toujours ainsi être réduits à o ou 1. La somme et la différence de deux caractéristiques sont donc identiques.

Il s'agit maintenant d'abord de ramener l'équation F(.ç, z) = o à une forme S}rmétrique par l'introduction de nouvelles variables. Lorsque p^,3, il existe au moins trois fonctions 3, linéairement indépendantes entre elles, et l'on peut donc transformer l'équation F(s, z) = o par l'introduction des variables

(à moins qu'il n'existe une équation identique entre ces fonctions, ce qui, en général, n'est pas le cas).

Si les fonctions co,, o2, o3 ne sont pas soumises à des conditions particulières, à chaque valeur de £ correspondent ip — 2 valeurs de ri5 et réciproquement, puisque chacune des deux fonctions

pour £, 7i respectivement constants, s'évanouit en ip — 2 points. L'équation résultante F(£,7|) = o est donc, par rapport à chacune des variables, de degré ip — 2. D'ailleurs, puisque ce degré doit être conservé lorsque l'on fait éprouvera £, tj une substitution linéaire quelconque, aucun terme dans cette équation ne peut surpasser la (2/1 — ayème dimension par rapport à \ et 7), pris ensemble. Les fonctions o restantes, exprimées par E, 7j, sont transformées en fonctions où aucun terme ne peut surpasser la

(ip — 5)ième dimension, ce qui résulte de ce fait que / -~dr\

doit rester finie pour des valeurs infinies de ç et y\.

Le nombre des constantes qui se présentent dans une telle fonction de degré ip — 5 est égal à (/? — 2) (2/9 — 3). Si parmi elles

SLR LA THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES

on en détermine r, en sorte que les fonctions cp soient milles pour les /' paires de valeurs (y, o) pour lesquelles — - . s'évanouissent simultanément, il doil rester encore p constantes, puisqu'il v a /> intégrales de première espèce linéairement indépendantes. On a donc

( p — 2 >/> — 3) = p -f- r, et, par suite.

La méthode suivante conduit au même résultat :

La fonction -rr- sera infiniment petite du premier ordre en I :>./> — 2) (ip — ■ 3) points ; ce no m lire (ip — 2) (ip — 3) est égal à w -f- 2/-, w étant le aombre des points de ramification simples.

D'autre part (Théorie des Fonctions abéliennes, §\ II, p. 122] . on a

d'où

r = p — i){7.p — 3 — ] fw = 2/? — i)(/> — 3).

Si toutes les fonctions co sont maintenant exprimées par ;, /,, les deux équations

doivent devenir des identités, et, par conséquent,

11 doit donc exister une fonction »3 qui, relativement à £,r,, est seulement de la (2/; — (j V'""> dimension. Par conséquent, cette fonction s'évanouira pour \ ip — 2 ) \ip — 6) = iv paires de valeurs ;. 7] satisfaisant à l'équation F = o, et ne pourra donc être nulle qu'en les /' paires de points (y, 0 .

Enfin, par l'introduction des nouvelles variables \ = -, i\ = —

et par l'adjonction de z-p~- comme facteur, l'équation F = o est

transformée en une équation homogène de degré ip — 2 a trois

variables x,y, z,

43o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS POSTHUMES.

(') Comme nous venons de le voir, parmi les fonctions o, il en est une de degré ip — 6 par rapport à £, vj ; désignons-la par -1» ;

alors y? pour £, r, finis, est une fonction toujours finie qui, pour

£, 7] infinis, sera infinie du premier ordre. Réciproquement, toute fonction qui jouit de ces propriétés peut être représentée sous la

forme - [Théorie des Fonctions abéiiennes, Art. 10 (Œuvres

de Riemann, ie édit., p. 1 18), ici p. 129].

Les fonctions qui, pour des valeurs finies de £, r,, restent finies et qui, pour £, yj infinis, deviennent infinies du second ordre, sont représentables sous la forme

où/(£,7)) est une fonction entière de la (ip — 4)ie,me dimension en £, 7), qui doit s'évanouir pour les /• paires de valeurs (y, S). La fonction /"(£, '/]) contient

constantes, et peut ainsi [Fonctions abéiiennes, art. 5 [Œuvres de Riemann, 2e édit., p. 107), ici p. 1 15] représenter toute fonction jouissant de ces propriétés. La fonction /*(£, "/)) sera, outre en les r paires de valeurs (y, 0), encore infiniment petite du premier ordre en 4/> — 4 points.

A ces fonctions appartient toute fonction du second degré aux

p — 1 variables y > et une telle fonction renferme *—*-— A con-

f stantes. Mais, puisque la fonction générale j- n'en contient que

3p — 3, entre les p — 1 variables j doivent avoir lieu

équations du second degré, ou, ce qui revient au même, entre les

( ' ) Ce paragraphe a été introduit pour la première fois dans la 2e édition des Œuvres de Riemann. 11 n'existe pas dans la première édition. — (L. L.)

p fonctions <p doivent avoir lion

il)

équations homogènes du second degré.

Pour le cas où p = 3, l'équation F ;, r\ — o ou FO\ y, s) = o est du quatrième degré; on a /• := o et la fonction •l se réduit à une constante. Aucune des fondions ta ne peut être d'un dc^vC: supérieur au premier, et l'expression générale de ces fonctions est

ou bien, lorsqu'il s'agit seulement des quotients de telles fonctions,

o = ex -+■ c'y — c" z,

c, <?', c" désignant des constantes.

Chaque fonction s devient infiniment petite du premier ordre en quatre points, et il existe en tout vingt-huit pareilles fonctions dont les zéros coïncident par paires. Les racines carrées de ces fonctions sont les fonctions abéliennes, et nous devons rechercher quelles sont les caractéristiques respectives qui correspondent à ces vingt-huit fonctions.

Si nous prenons pour variables x, y, z trois pareilles fonctions a qui deux fois deviennent infiniment petites du second

ordre, en sorte que y .r, \ r, \ ' z sont des fonctions abéliennes, alors l'équation résultante I- ; ./•. r, z) = o jouit de la propriété de se transformer en un carré parfait lorsque l'on fait x ou jnu; égal à zéro. Soient donc :

pour x = o pour y = o pour z = o

F = {y — a.zY{y — ct!zY,

Si maintenant a, b, c sont les coefficients de #4, y*, zk dans F(#,y, z), on a

et, par suite,

(5) , aa'PP'ÏY'=±i.

Connaît- on par suite les grandeurs a, a', [3, $', y, y', on peut former tous les termes de la fonction F (x, y, 2) qui ne renferment pas le produit xyz, et, en outre, F ne contient plus qu'un terme xyz t, où t est une fonction linéaire homogène de x, y, z-.

Maintenant, lorsque dans l'équation (5) c'est le signe supérieur qui se présente, on peut toujours représenter la première partie de F comme le carré d'une fonction homogène/ du second degré de x, y, z. En effet, si l'on pose

/= flu^-r «22 y- — «33-2 "+" 2«23^ +" 2«31~# + ^Cti2Xy,

on aura, pour déterminer les coefficients «;#, les équations

pp'=£i, p-p--,^,

YY = — > Y + Y = " 2 — >

auxquelles on peut toujours satisfaire, lorsque l'on a

aa'PP'YY'^i.

Dans cette hypothèse, F = o devient par conséquent

(6) f*-xyzt = o.

Si l'on fait t = o, on tire de f- = o encore deux paires de racines égales entre elles, et ainsi \Jt sera aussi une fonction abélienne, et cela telle que y/ 'xyz t est une fonction rationnelle de x, y, z. Alors si («), (&), (c), (d) désignent les caractéristiques de

\]x, \/y, \/z, yA, on doit avoir

c'est-à-dir

Il faut, par conséquent, que la somme des caractéristiques des trois fonctions \ .r. \ y, \ z soit une caractéristique impaire.

Réciproquement, si celle hypothèse est adoptée el si \lt est celle fonction abélienne qui correspond à la caractéristique (a -h b -\-c), ^ i . :■ î est une fonction qui varie trime manière continue à la traions transverses, et qui est par suile représentable rationnellement par a:, y, c: mais cette fonction ne peut être de supérieur au second, et, par suite, sous cette hypothèse on obtient toujours une équation de la forme (6). Cette équation ne

peut se réduire à une identité lorsque \jxf \ r. \/z, \ t sont des fonctions abéliennes distincte-.

Puisqu'il existe vingt-huit fonctions abéliennes. l'équation F=o peut être ramenée de plusieurs manières à la forme (6). Nous nous proposerons d'abord de rechercher si la paire de fonctions abéliennes \ ^. \ t peut être remplacée par une autre paire \'p. \ q.

Supposons donc que. par l'introduction de x, y,p, q, F = o soit

ramenée à la forme

tyï — xypq = o;

il faut alors, un facteur constant étant convenablement déterminé,

que l'équation

p — xyzt = ^ — xypq

ait lieu identiquement, c'est-à-dire que l'on ait

(/-«10 f+ty) = xy zt-pq).

Il faut donc que f — 6 ou f-r-'\ soit divisible par xy^ et, comme ces deux grandeurs sont du second degré, la combinaison correspondante ne peut différer de xy que par un facteur constant. Supposons que

(7) v— /=aa"j'; a(,ii—f> = —~t—pq,

d'où

(8) <b = y.rv — f, 2x/- -oi-xy-h zt = pq.

Le premier membre de celte dernière équation doit, par conseil. 23

quent, se décomposer en deux facteurs linéaires; si nous concevons cette fonction développée sous la forme

anx- -\- a o2 y- -+- tf33 z- -+- ici^yz -+- iaz\zx -+- ici^xy,

les coefficients a m seront des fonctions du second degré en a; mais, comme le déterminant

doit s'annuler, l'on obtient une équation du sixième degré en a, et il est facile de reconnaître qu'elle admet les racines a = o et a = co, qui correspondent aux deux décompositions zt et xy.

Il reste donc encore une équation du quatrième degré dont les racines fournissent quatre paires de fonctions jd, q qui jouissent de la propriété requise.

De la seconde équation (8) s'ensuit encore, en vertu de (6 i,

pqzt - s* r- + 2 %fzt -h a2/2 = (*t + a/)2,

en sorte que la forme cherchée de l'équation F= o peut être aussi représentée par les fonctions p, cp z, t. Ainsi, si nous prenons comme point de départ deux fonctions abéliennes quelconques, sjx, \Jy, nous obtenons six paires de pareilles fonctions

Jxy, \/zt, s/piqi, \Jp%q<i, s/jHq*, ^PiÇi,

jouissant de cette propriété qu'à l'aide de deux quelconques d'entre elles l'équation F = o se ramène à la forme

fi — xyzt =o.

Ces six fonctions doivent, à la traversée des sections transverses, acquérir les mêmes facteurs, car, s'il n'en était pas ainsi, le produit de deux d'entre elles ne pourrait être rationnel.

De six pareils produits de fonctions abéliennes, nous dirons qu'ils appartiennent à un groupe. Gomme les systèmes de facteurs relatifs aux sections transverses sont déterminés pour des produits de fonctions abéliennes parles sommes des caractéristiques, il s'ensuit que les caractéristiques de toutes les paires d'un groupe doivent avoir la même somme que l'on nommera la caractéristique du groupe.

SLR LA THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 435

Des équations (8) et (6 résulte encore

, pq — zt , — , —

a/= — !— — axy = i\jxy\ zt.

d'où

pq — 7,-xv — 2a \fxy \ zt — zt ou

(91 s/pq \ zt -- y.s xr:

d'où l'on tire cette conclusion que chaque produit d'un groupe peut être exprimé linéairement par deux produits de ce même groupe.

Si l'on distribue par paires toutes les vingt-huit fonctions abéliennes, on obtient -*:/' paires = 6.6'3 paires qui se subdivisent

6 par 6 en 63 groupes. Chacune des 63 caractéristiques diffé-

rentes de ( ) peut être une caractéristique de groupe.

Pour obtenir les caractéristiques des six paires d'un groupe. on devra donc décomposer la caractéristique du groupe en question en deux caractéristiques impaires de ?ix manières. Le groupe dont la caractéristique de groupe est f " 1 nous servira

d'exemple. Ainsi :