XXVI F. KLEIN

dépendante que l'on obtient à l'aide du quotient de deux solutions particulières de l'équation différentielle.

Dans le cas simple de la fonction hypergéométrique, on obtient alors la représentation conforme d'un demi-plan sur un triangle, dont les côtés sont formés par des arcs de cercle, et l'on passe ainsi d'une manière remarquable à des études qui appartiennent à la Trigonométrie sphérique. En général, il y a des cas où l'inversion est uniforme, ce qui nous donne alors accès à ces remarquables fonctions d'une variable qui, à l'instar des fonctions périodiques, se reproduisent inaltérées par l'effet de transformations linéaires en nombre infini et que j'ai désignées en conséquence par le nom de fonctions automorphes. Ces développements, dont s'occupent actuellement ceux qui prennent comme sujet d'études la théorie des fonctions, se trouvent tous d'une manière générale plus ou moins explicite dans les manuscrits laissés par Riemann, et, en particulier, surtout dans le travail sur les surfaces minima, dont j'ai déjà parlé. Je ne puis ici passer sous silence le Mémoire de Schwarz sur la série hypergéométrique et les recherches de Poincaré qui ont déblayé la voie dans la théorie des fonctions automorphes. Dans cette grande catégorie rentrent encore les études sur les fonctions modulaires elliptiques et les fonctions des corps réguliers.

Je ne puis achever le compte rendu des écrits de Riemann sur la théorie des fonctions, sans parler d'un Mémoire qui tient une place à part. C'est un Mémoire qui renferme d'intéressantes contributions à la théorie des intégrales définies et qui est devenu des plus célèbres, surtout par une application que Riemann y fait à un problème de la théorie des nombres. Il s'agit de la loi de distribution des nombres premiers dans la série naturelle des nombres.

Riemann en donne une expression asymplotique qui se rapproche essentiellement plus près des résultats des dénombrements empiriques que toutes les formules qui avaient été tirées par induction de ces dénombrements mêmes.

RIBMANf Kl SON INFLDBNCE SI K LES MATHÉMATIQUES MODERNES. WMI

Deux importantes remarques se rattachent à ceci. Et d'abord, veuillez bien observer la connexion merveilleuse entre les diverses branches des hautes Mathématiques, car voici un problème qui semble appartenir aux éléments de la théorie des nombres cl qui trouve une solution bien inattendue au moyen de recherches les

I > lu s fines de la théorie des fonctions. Kl ensuite, je dois remarquer que les démonstrations de Riemann. comme il en l'ail lui-même l'observation, ne sont pas complètes et que même aujourd h m. malgré de nombreux eflbrts en ces tout derniers temps, elles n'ont pu encore être établies sans quelques lacunes. Riemann doit a\oir beaucoup travaillé à L'aide seule de l'intuition. Et ceci s'applique, il esl nécessaire de le dire aussi, à la manière dont il a posé les principes de base de la théorie des fonctions.

En effet. Riemann y emploie un procédé de raisonnement donl on fait souvent usage en Physique mathématique et qu'il a désigné, en l'honneur de son maître Dirichlet, sous le nom de principe de Dirichlet. Il s'agit de la détermination d\ine fonction continue, pour laquelle une certaine intégrale double doit atteindre un minimum et le principe ■■ ' susdit sous-entend, dans le traitement de la question, que V existence d'une telle fonction est évidente par soi.

OrW eierstrass a montré qu'il y a là une conclusion défectueuse.

II se pourrrait. en effel, que le minimum, que nous cherchons, désignât seulement une limite que l'on ne puisse jamais atteindre dans le domaine des fonctions continues. Ainsi une grande partie des développements de Riemann menaceraient ruine. Mais non. au contraire; car malgré cela, les féconds résultats que Riemann établit à l'aide du principe susdit sont tous parfaitement exacts, comme l'ont démontré en détail plus tard Karl Neumann etSchwarz

( ' ) Far principe j'entends ici, contrairement par conséquent à une manière de s'exprimer très répandue, l'enchaînement, la marche du raisonnement, et non les résultats qu'on en déduit. A cette occasion, j'attire l'attention sur un Mémoire de W. Thomson (Lord Kelvin), publié en 1S47 dans le Journal de Mathématiques de Liouville. t. Ml. et qui a été trop peu étudié par les géomètres allemands. Le principe en question y est énoncé en grande généralité. — (F. Klein).