XXIV F. KLEIN

Riemann relatifs aux intégrales, aussi bien que les conclusions relatives aux fonctions algébriques, d'une manière des plus claires, en considérant des courants permanents d'un fluide, disons des courants électriques, sur des surfaces fermées quelconques situées dans l'espace. Mais tout ceci n'a trait qu'à la première partie du travail de Riemann. La seconde partie, qui se rapporte aux séries thêta, est peut-être encore plus remarquable. On y arrive à ce merveilleux résultat, que les séries thêta qu'exige pour sa résolution le problème jacobien de l'inversion ne sont pas les séries thêta les plus générales; et il se présente alors cette nouvelle question : déterminer le rôle des séries générales thêta dans cette théorie.

D'après une remarque de M. Hermite, Riemann connaissait déjà le théorème publié plus tard par Weierstrass, et qu'ont traité dernièrement Picard et Poincaré, théorème qui faitvoirque les séries thêta suffisent pour la représentation des fonctions périodiques les plus générales de plusieurs variables.

Mais je ne puis ici entrer dans plus de détails sur ces questions.

Donner un exposé du développement qui a suivi les fonctions abéliennes de Riemann serait chose d'autant plus hasardeuse que les recherches étendues de Weierstrass sur le même sujet ne sont encore connues que par quelques cahiers de leçons des cours de ce grand géomètre. Je m'en tiendrai encore à cette seule remarque que l'important ouvrage de Clebsch et Gordan, qui parut en 1866, tendait essentiellement à démontrer les résultats de Riemann, en les rattachant à la Géométrie analytique et à l'étude des courbes algébriques. Les méthodes de Riemann furent à cette époque comme une espèce d'arcane mystérieux appartenant à ses élèves directs, et elles furent regardées d'abord avec défiance par les autres mathématiciens. Mais aujourd'hui, je dois encore le répéter, comme je l'ai déjà fait à propos des courbes, les progrès de la Science ont amené nécessairement toutes les méthodes de Riemann à faire partie intégrante du domaine commun à tous les mathéma-

Kinil.NN El SOS INFLUENCE SU! LES MATHÉMATIQUES MODERNES. \\V

liciens. Il r>t intéressaalj à ce poinl de vue. de lire les traités les plus récents publiés en France (').

L;i troisième grande catégorie de fonctions dont j'ai parlé embrasse le> lois de dépendance qui se rattachent à la. série hyper géométrique de Gauss. Dans une signification plus large, ce sont les fonctions qui peuvent être définies à l'aide d'équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Sur ce sujet. Riemann, pendant sa vie, a publié seulement un premier travail ( 1 856) qui s'occupe du cas hypergéométrique même et qui démontre, d'une façon tout à fait extraordinaire, comment toutes les remarquables propriétés <léjà connues de la fonction hypergéométrique peuvent, sans aucun autre calcul, se déduire du mode d'existence de la fonction, lors de circuits décrits autour des points critiques. Nous savons aujourd'hui, par ses manuscrits posthumes, sous quelle forme analogue il pensait aborder la théorie générale des équations différentielles linéaires d'ordre n : ici aussi le groupe des substitutions linéaires qu'admettent les solutions, lors de circuits décrits autour des points critiques, lient la première place et fournil la principale caractéristique servant à la classification.

Le principe de cette méthode, qui correspond à un certain point au traitement des intégrales abéliennes par Riemann. n'a pas encore été appliqué complètement de la manière toute générale qu'avait en vue celui-ci. Les nombreuses recherches sur les équations différentielles, publiées par les autres géomètres depuis trente ans, n'ont encore assemblé que quelques portions de cette théorie. On doit, en particulier, citer à ce point de vue les recherches de Fuchs.

Du reste, celte théorie, tant qu'on s en lient aux équations différentielles linéaires du second ordre, est susceptible d'interprétation géométrique simple. On est amené à y considérer la représentation conforme du champ dévolution de la variable in-

(') Voir Picard, Traité d'Analyse, t. I, II, III. paru-: t8g3-i894-i8g5. — Appell el Goursat, Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales, avec Préface de M. Hermite; 1894. Paris, Gauthier-Villars et fils. — (F. Klein). R. b.