THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS

Dissertation inaugurale ; Gottingue, i85i. — Mémoire Ier des Œuvres mathématiques de Biemann, éditées par MM. II. Weber et R. Dedekind.

Si l'on désigne par z une grandeur variable qui peut prendre successivement toutes les valeurs réelles possibles, alors, lorsqu'à chacune de ses valeurs correspond une valeur unique de la grandeur indéterminée (V, l'on dit que w est une fonction de z, et, tandis que ; parcourt d'une manière continue toutes les valeurs comprises entre deux valeurs fixes, lorsque w varie également d'une manière continue, l'on dit que cette fonction w est continue dans cet intervalle [1] (').

(') Cette indication renvoie aux notes des éditeurs placées à la suite des Mémoires.

Cette définition ne stipule aucune loi entre les valeurs isolées de la fonction, c'est évident, car lorsqu'il a été disposé de cette fonction pour un intervalle déterminé, le mode de son prolongement en dehors de cet intervalle reste tout à fait arbi-

traire.

La manière dont la grandeur w dépend de z peut être donnée par une loi mathématique, en sorte que, par des opérations de calcul déterminées, l'on pourra, de chaque valeur de *, déduire la valeur correspondante de w.

La possibilité d'être déterminées pour toutes les valeurs de z, comprises dans un intervalle donné, par la même loi de dépendance, était autrefois attribuée seulement aux fonctions d'une certaine classe (functiones continuée dans la terminologie d'Euler); mais des recherches modernes ont fait voir qu'il existe des expressions analytiques par lesquelles toute fonction continue peut être représentée dans un intervalle donné.

Il est donc indifférent de définir la dépendance de la grandeur w de la grandeur z comme donnée arbitrairement ou bien comme reposant sur des opérations de calcul déterminées. Les deux définitions sont équivalentes par suite des théorèmes auxquels nous venons de faire allusion.

Mais il en est autrement lorsque la variabilité de la grandeur z n'est pas limitée aux valeurs réelles, et que l'on admet aussi des valeurs complexes de la forme x -\-yi (où i=\l— i).

Soient

x-±-yi et x-+ yi-Jrdx-+-dyi

deux valeurs de la grandeur z qui diffèrent infiniment peu entre elles et auxquelles correspondent les valeurs

u-\-i\l et u -+- V i -h du -+- dv i

de la grandeur w.

Or, lorsque la dépendance de la grandeur w de z est prise arbitrairement, le rapport $£=££ variera, d'une manière générale, avec les valeurs de dx et dy, car, si l'on pose

dx-+- dyi— te?*,

tioxs d'une grandeur variable complexe.

l'on ,i

du ■+■ dvi i / d« t)<> \ i / ^ dw \ . dx-hdyi a \<te ' dy) ' 2 \ dx dy )

dx — dyi

dx -+- dy i

i Y du dv / dv àu\ .~|

2 [dx dy ~^ \dx ' dy ' ' J I /du dv'\ \ (dv du\ .

i \dx ' dy) 2 \dr ~ d// l

Mais, de quelque manière que w puisse être déterminée comme fonction de z par une combinaison des opérations élémentaires du calcul, la valeur de la dérivée ~ sera toujours indépendante de la valeur particulière de la différentielle dz (*).

Il est donc évident que par cette voie on ne peut pas exprimer une dépendance quelconque de la grandeur complexe w de la grandeur complexe r.

Ce caractère, que nous venons d'indiquer, commun à toutes les fonctions qui peuvent être déterminées d'une manière quelconque par les opérations du calcul, nous le prendrons comme base dans la recherche suivante, où l'on considérera une telle fonction indépendamment de son expression. Maintenant alors, sans en démontrer la légitimité générale et suffisante pour la définition d'une dépendance exprimable par les opérations du calcul, nous prendrons pour point de départ la définition suivante :

Une grandeur variable complexe w est dite une fonction d'une autre grandeur variable complexe z lorsqu'elle varie avec elle de telle sorte que la valeur de la dérivée ~ est indépendante de la valeur de la différentielle dz.

lerees

La grandeur z et de même la grandeur «>, seront conside comme des grandeurs variables qui peuvent prendre toute valeur complexe.

(') Cette affirmation est évidemment justifiée dans tous les cas où l'on neut t.rer de 1 expression de w en *, à l'aide des règles de la diflerentiation, une expression de -£ en z; quant à sa légitimité rigoureuse et générale, nous ne nous en occupons pas pour l'instant.— (Riemann.)

La conception d'une telle variabilité, qui est relative à un domaine connexe à deux dimensions, est essentiellement facilitée si l'on s'appuie sur l'intuition géométrique.

Imaginons chaque valeur x-\-yi de la grandeurs représentée par un point O du plan A, dont les coordonnées rectangulaires sont x et y, et chaque valeur u + iv de la grandeur w par un point Q du plan B, dont les coordonnées rectangulaires sont u et v. Toute relation de dépendance de la grandeur w de z sera représentée alors comme une relation de dépendance de la position du point Q de celle du point O. Lorsqu'à toute valeur de z correspond une valeur déterminée de w, variant d'une manière continue avec z, en d'autres termes u et v sont-ils des fonctions continues de x et y, alors à tout point du plan A correspond un point du plan B, à toute ligne, d'une manière générale, une ligne, à toute portion connexe de surface, une portion de surface également connexe. Par conséquent, l'on pourra se figurer cette dépendance de la grandeur w de z comme une représentation du plan A sur le plan B.

§ III

Il s'agit maintenant de rechercher de quelle propriété jouit cette représentation lorsque w est une fonction de la grandeur

complexe z, c'est-à-dire lorsque -j- est indépendant de dz.

Nous désignerons par o un point indéterminé du plan A dans le voisinage de O, et son image sur le plan B par q, et ensuite par x + y i -\- dx + dy i , et par u-\-vi-\-du-\-dvi les valeurs des grandeurs z et w en ces points. Alors dx, dy et du, dv peuvent être regardées comme les coordonnées rectangulaires des points o et ^relativement aux points O et Q pris comme origines; et, si l'on pose dx -f- dyi = ee?' et du + dçi= r, e^', les grandeurs s, o, rh <l seront les coordonnées polaires de ces points relativement à ces mêmes origines. Soient maintenant o' et o" deux positions quelconques déterminées du point o, infiniment voisines de O, et attribuons aux désignations respectives qui leur correspondent les mêmes lettres que précédemment, mais accentuées ; l'on a,

par hvpotlu -

du' — ch' i __ du? -4- dv' i dx — dy i dx — dy i

et, par suite.

du — d\'i r' , . dx' — dy'i i „, , .

</;/ ' — (A- / r" dx — dy 1 1"

d'où

-4 = -„ et

c'est-à-dire que dans les triangles o'Oo", q'Qq" les angles o'Oo". >j O'/' sont égaux et compris entre des cùtés respectivement proportionnels.

Par conséquent, entre deux triangles infinitésimaux qui se correspondent, il y a similitude et il en est par suite de même en général entre les plus petites parties du plan A et leur représentation sur le plan B.

Cette proposition souffre une exception seulement dans les cas particuliers où les accroissements correspondants des grandeurs z et flp ne seraient pas entre eux dans un rapport fini, hypothèse qui, dans notre déduction de ce rapport, est tacitement exclue (').

§ IV

c . , . du -+- dvi , r

bi 1 on met —, -. — = sous la lorme

dx — dy 1

I du dv .\ j [ dv du .N \ dx dx

dx -+- dy i il est évident que cette expression pour deux couples de valeurs

(') Sur ce sujet consulter:

Résolution générale du problème : Représenter les parties d'une surface donnée de telle sorte que la représentation soit semblable à l'original en les plus petites parties, par C.-F. Gauss (Mémoire couronné en réponse à la question proposée par la Société Royale des Sciences de Copenhague en 1822). (4stronomische Abhandlungen de Schumacher, 3e cah. ; Altona, 1826). (Riemann.) — (Œuvres de Gauss, t. IV, p. 189).

quelconques de dx et dy aura la même valeur au seul cas où

du dv dv du

dx dy dx dy

Ces conditions sont, par conséquent, nécessaires et suffisantes pour que w = u -f- vi soit une fonction de z = x -+■ yi.

Pour les termes séparés de cette fonction, de ces conditions l'on déduit les suivantes

dx2 dy- ' dx2 dy2 ~

qui forment la base pour l'étude des propriétés qui se rapportent à l'un des deux termes d'une telle fonction considéré séparément. Nous ferons suivre la démonstration des plus importantes de ces propriétés par une étude plus approfondie de la fonction complète ; mais, auparavant, pour aplanir le terrain de ces recherches, nous examinerons et nous établirons quelques points appartenant à des domaines plus généraux.

Dans les considérations suivantes, nous limiterons la variabilité des grandeurs x, y à un domaine fini, et, comme lieu du point O, nous n'envisagerons plus le plan A lui-même, mais une surface ï recouvrant ce plan.

Nous choisissons ce mode de représentation où il n'y a rien de choquant à parler de surfaces superposées, afin de pouvoir admettre que le lieu du point O puisse recouvrir plusieurs fois la même partie du plan; mais, en un tel cas, nous supposerons que les portions de surface superposées ne se confondent pas tout le long d'une ligne, en sorte qu'il n'arrive pas que la surface soit pliée, ni qu'elle soit morcelée en des parties superposées.

Le nombre des parties de surface superposées en chaque région du plan est alors complètement déterminé lorsque l'on y donne le contour en forme et en direction (c'est-à-dire d'après l'extérieur et l'intérieur dudit contour); néanmoins le cours de ces parties peut encore être figuré de différentes manières.

En effet, si nous menons sur le plan une ligne quelconque / qui

sectionne la région du plan recouverte par la surface, le nombre des parties de surfaces superposées varie seulement à la traversée du contour, et cela de telle sorte que, cette traversée ayant lieu de L'extérieur à l'intérieur, ce nombre varie de H- 1 , et, dans le cas contraire, de — 1 ; par conséquent ce nombre est partout déterminé. Le long des bords de cette ligne chaque partie de surface limitrophe suit son cours d'une manière parfaitement déterminée, tant que la ligne ne rencontre pas le contour, car une indétermination ne peut avoir lieu qu'en un point isolé, c'està-dire, par conséquent, soit en un point delà ligne même, soit à une distance finie de cette ligne.

Nous pouvons donc, en limitant nos considérations à une partie de la ligne / suivant son cours à L'intérieur de la surface et à des bandes de surfaces suffisamment petite^ situées des deux, côtés de cette ligne, parler de portions de surface limitrophes déterminées, dont le nombre est le même oie chaque coté de la ligne / et que nous désignerons, après avoir attribué une certaine direction à cette ligne, à gauche par at . «2, • • • , an t\ à droite par a\ , a'2, .... a'n. Chaque portion de surface a se raccordera avec une des portions de surface a1; en généi*al, celle-ci sera la même portion de surface tout le long de la ligne /, néanmoins cette partie pourrait en certains points particuliers de la ligne / ne plus être la même. Supposons en effet que, au-dessus d'un tel point cr (c'est-à-dire un point situé sur le cours antérieur de /), les portions de surface at,

a2 an se raccordent successivement dans l'ordre écrit avec

les portions de surface a\, a2 a,r mais que, au-dessous de 7

ce soient les portions de surface aai, a^, .... arXn qui se raccordent avec a'j, a.,, ... aH, les indices a,. a2, . . ., a.n étant différents de 1 , 2, . . . , n seulement par leur ordre; ceci posé, un point qui au-dessus de t passe de <7, en a\ , lorsque au-dessous de <r il revient sur le côté gauche, passera sur la portion de surface aa , et lorsqu'il décrit un circuit autour du point t de gauche à droite [2] l'indice de la portion de surface sur laquelle il se trouve prendra successivement les valeurs

Dans cette suite, tant que le terme 1 ne se représente pas, tous les termes sont nécessairement différents, car un terme intermé-

diaire quelconque ap. est nécessairement précédé par u et, dans l'ordre de succession, par tous les termes antécédents jusqu'à i; mais lorsque après un certain nombre de termes, m par exemple, nombre évidemment inférieur à /*, le terme i reparaît, les autres termes alors doivent revenir dans le même ordre. Le point mobile autour de i revient alors après m circuits sur la même portion de surface, et sa marche est limitée à m des parties de surfaces superposées qui se réunissent en un point unique sur a\ Ce point, nous le nommerons un point de ramification d'ordre [m — 1) de la surface T. En appliquant ce procédé aux /i — m parties de surfaces restantes, celles-ci, lorsque leurs cours respectifs sont non isolés, se distribuent en systèmes de m,, />?2, • • • parties de surfaces, auquel cas au point a- sont encore situés des points de ramification d'ordres respectifs (m, — i), (m2 — i),

Lorsque la forme et la direction du contour de T, ainsi que la position de ses points de ramification sont données, Test ou bien parfaitement déterminée, ou bien limitée à un nombre fini de figurations distinctes; ce dernier point résulte de ce que ces données peuvent être relatives à des portions différentes de surfaces superposées.

Une grandeur variable, qui, d'une manière générale, c'est-àdire sans exclure l'exception faite en des lignes ou points isolés ('), prend en tout point O de la surface T une valeur déterminée variant d'une manière continue avec la position de ce point, peut être évidemment regardée comme une fonction de x,y, et, partout où dorénavant il sera question de fonctions de x,y, nous adopterons cette définition.

Avant de passer à l'étude de pareilles fonctions, nous allons introduire incidemment quelques éclaircissements relatifs à la connexion d'une surface. Nous bornerons notre examen à des surfaces qui ne sont pas morcelées le long d'une ligne.

(') Cette restriction ne se présente pas par l'effet même de la définition d'une fonction, mais elle est nécessaire pour que le Calcul infinitésimal puisse y être appliqué. Une fonction qui est discontinue en tous les points d'une surface, comme par exemple une fonction qui, pour x et y commensurables, aurait pour valeur i, et partout ailleurs la valeur 2, ne peut être soumise ni à une différentiation, ni à une intégration; on ne peut donc d'aucune manière directe appliquer à une telle fonction le Calcul infinitésimal. La limitation faite arbitrairement au sujet de la surface T se justifiera d'elle-même plus tard (§ XV). — (Riemann.)

§ VI

Nous regarderons Jeux portions de surface comme connexes ou formées d'une seule pièce, Lorsque l'on peut y mener une ligne ayant son cours à l'intérieur de la surface et joignant un point de l'une des portions à un point de l'autre; nous les regarderons comme morcelées Lorsque ce fait n'est pas possible.

L'étude de la connexion d'une surface repose sur sa décomposition par l'effet de sections transverses, c'est-à-dire de coupures qui, partant d'un point du contour, sectionnent la surface d'une manière simple (aucun point n'étant traversé plusieurs fois) en rejoignant un point dudit contour. Ce dernier point peut aussi être >itué sur les parties du nouveau contour prenant ainsi naissance, c'est-à-dire en un point du cours antérieur de la section transverse elle-même.

Lorsque, par l'eflfel de toute section transverse, une surface connexe est morcelée, elle est dite simplement connexe; au cas contraire elle est dite multiplement connexe.

Théorème T. — Une surface simplement connexe A est décomposée par chaque section transverse ab en deux morceaux simplement connexes.

Admettons que l'un de ces morceaux ne fut pas morcelé par une section transverse cd, dans les trois cas possibles où aucune des extrémités c. d n'est située sur ab, où l'une c l'est, où toutes deux c, d le sont, l'on obtiendrait alors évidemment, en rétablissant la jonction respectivement le long soit de toute la ligne ab, soit de la partie cb, soit de la partie cd de cette ligne, une surface simplement connexe qui ferait partie de A, et cette surface serait engendrée par l'effet d'une section transverse, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Théorème II. — Lorsqu'une surface T est décomposée par nt sections transcerses (') q{ en un système Tt de /??, mo?'-

(') Par une décomposition pratiquée à l'aide de plusieurs sections transverses l'on doit toujours entendre une décomposition successive, c'est-à-dire que la sur-

ceaux de surface simplement connexes, et par n2 sections transverses q2 en un système T2 de m2 morceaux de surface, alors l'on ne peut avoir

Toute ligne q2, lorsqu'elle n'est pas tout entière comprise dans le système de sections transverses qi} forme en même temps une ou plusieurs sections transverses q'2 de la surface T, . Gomme points extrêmes des sections transverses </!,, l'on devra regarder :

i° Les in2 points extrêmes des sections transverses q2, exception faite des cas où leurs extrémités ont des parties communes avec une partie du système de lignes qs ;

2° Chaque point intermédiaire d'une section transverse q2, où cette dernière rencontre un point intermédiaire d'une ligne qt, exception faite de ces cas où la section transverse q2 se trouve déjà située sur une autre ligne qu c'est-à-dire lorsqu'une partie extrémité d'une section transverse qt tombe sur q2.

Désignons maintenant par \x le nombre de fois que les lignes des deux systèmes se rencontrent et se séparent (où par conséquent chaque point commun unique doit être compté deux fois), par v( le nombre de fois qu'une partie extrême des q{ coïncide avec une portion intermédiaire des q2, par v2 le nombre de fois qu'une partie extrême des q2 coïncide avec une partie intermédiaire des q{, et enfin par v3 le nombre de fois qu'une partie extrême des qK coïncide avec une partie extrême des q2. Cela posé, la considération de l'alinéa i" donne 2/i2 — v2 — v3, celle de l'alinéa 2°, u. — V| extrémités de sections transverses q'.,. Les deux cas réunis comprennent tous les points extrêmes et chacun compté seulement une fois ; le nombre de ces sections transverses est donc

i n-> — v.> — v3 -t- jjl — v i

Des conclusions tout à fait analogues fournissent, pour le

face engendrée par l'effet d'une section transverse est encore à décomposer ultérieurement par une nouvelle section transverse. — (Riemann.)

oombre des sections transverses q\ de la surface T2 qui sont formées par les lignes q{. L'expression

2 rt , — v i ;-, -4- a — v.2

c'est-à-dire

Or la surface T( sera évidemment transformée par les rc2 H- s sections transverses q.,, en la même surface en laquelle sera décomposée T2 par l'effet des nt-{-s sections transverses q\. MaisT, esl formée de mt morceaux simplement connexes et, par conséquent, en vertu du théorème I, est décomposée par n2 + s sections trans verses en m, -+- n, -f- s morceaux de surface; il faudrait par suite, si jji, était </>?i -+- /l2 — nti que Ie nombre des morceaux de surface ï2 fût augmenté de plus de /?t + s par l'effet de /*, + s sections transverses, ce qui est absurde.

Par suite de ce théorème, si le nombre indéterminé de sections transverses est désigné par /?, et celui des morceaux par m, le nombre n — m sera constant pour toutes les décompositions d'une surface en morceaux simplement connexes. En effet, considérons deux décompositions déterminées quelconques, l'une par l'effet de nK sections transverses en m, morceaux, l'autre par l'effet de /?o sections transverses en m2 morceaux; il faut alors, lorsque les premiers morceaux sont simplement connexes, quel'on ait

n% — /«2 < ni — ,ni

et, lorsque les seconds morceaux sont simplement connexes,

ri[ — /«if «a — m2 ;

par conséquent, lorsque ces deux circonstances ont lieu, l'on doit avoir

«2 >^2 = nl ml-

Ce nombre pourra, à bon droit, être désigné sous le nom d'ordre de la connexion d'une surface;

Il sera diminué de i par l'effet de chaque section transverse, et cela par définition même;

Il restera invariable par l'effet de toute coupure sectionnant

l'intérieur d'une manière simple et partant d'un point intérieur et aboutissant soit en un point du contour, soit en un point antérieur situé sur le cours même de la section, et :

Jl sera augmenté de i par l'effet d'une coupure partout simple située à l'intérieur de la surface et ayant deux extrémités.

En effet, dans le cas de la première coupure, celle-ci peut être transformée en section transverse par l'effet d'une section transverse, tandis que dans le dernier cas il en faut deux.

Enfin, l'on obtiendra l'ordre de la connexion d'une surface formée de plusieurs morceaux en additionnant les ordres de connexion respectifs de ces morceaux.

Dans la suite, nous nous en tiendrons surtout aux surfaces formées d'un seul morceau, et pour leur connexion nous nous servirons de la désignation, qui n'a rien d'artificiel, de connexion simple, double, triple, etc., et nous entendrons ainsi par surface /i-uplement connexe une surface qui est décomposable en une surface simplement connexe par l'effet de n — i sections transverses.

Relativement à la manière dont dépend la connexion du contour de la connexion de la surface, l'on voit clairement que :

i° Le contour d'une surface simplement connexe est nécessairement formé par une ligne fermée.

En effet, si le contour était formé de parties séparées, une section transverse q, qui réunirait un point d'une partie a à un point d'une partie b, séparerait seulement des portions de surface connexes, car alors l'on pourrait mener une ligne à l'intérieur de la surface et le long de a, partant d'un bord de la section transverse q pour aboutir sur le bord opposé; et, par conséquent, q ne morcellerait pas la surface, ce qui est contraire à l'hypothèse;

2° Chaque section transverse diminue ou bien augmente de i le nombre des lignes du contour.

Ou bien une section transverse q relie un point d'une ligne de contour a avec un point d'une autre ligne de contour b (et dans ce cas toutes ces lignes, prises dans l'ordre #, q, b, q, forment une ligne unique de contour fermé);

Ou bien elle relie deux points d'une même ligne de contour;

PORTIONS DINE GRANDBUB VAK1ABLE COMPLEXE. (3

dan> ce ras celle-ci est décomposée par les deux, extrémités de la lion transverse en deux parties, dont chacune par sa réunion avec la dite section forme une ligne de contour fermée;

Ou bien enfin elle prend tin en l'un des points antérieurs de son propre cours et peut alors, par conséquent, être regardée comme formée d'une ligne In niée o et d'une autre ligne /, qui relie un point de o avec un point d'une ligne de contour #, et, dans ce cas, o forme d'une part et a, I. o. / d'autre part une ligne de contour fermée.

Par conséquent, dans le premier cas, au lieu de deux lignes de contour l'on en obtient une, et, dans les deux derniers cas, au lieu d'une l'on en obtient deux, d'où l'on conclut cette proposition :

Le nombre île lignes fermées dont est formé le contour d'un morceau de surface n-uplement connexe est donc ou bien =n, ou bien égala n diminue d'un nombre pair.

D'où nous tirons encore ce corollaire :

Lorsque le nombre des portions de contour d'une surface n-uplement connexe est = n , cette surface est morcelée en deux morceaux séparés par toute coupure partout simple et fermée à l'intérieur de la surface.

En effet, l'ordre de la connexion n'est pas altéré par cette opération et le nombre des lignes de contour est augmenté de 2 ; par conséquent, si la surface restait connexe, elle aurait une connexion d'ordre n et aurait en même temps («+2) lignes de contour, ce qui est impossible.

§ VII

Soient X et Y deux fonctions de x, y continues en tous les points de la surface T qui recouvre A; considérons l'intégrale

) dT relative à tous les éléments dT de cette surface.

b ax oy I

Si l'on désigne en chaque point du contour l'inclinaison de la normale intérieure (') sur l'axe des x par \, sur l'axe des y par r,.

(') Ce que Riemann entend par l'expression normale intérieure sera expliqué un peu plus loin. — (L. L.).

l4 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

l'on aura

f(~ + ~) dT = - J"(X cos;- + Y cosV) ds,

l'intégrale du second membre étant prise relativement à tous les éléments ds du contour.

Pour transformer l'intégrale / —- c/T, décomposons la partie du

plan A que recouvre la surfaceTpar un système de lignes parallèles à l'axe des x en bandes élémentaires, et cela de telle sorte que chaque point de ramification de la surface T se trouve sur une de ces lignes. Ceci posé, chaque partie de T se rapportant à l'une des bandes est formée d'un ou de plusieurs morceaux distincts de forme trapézoïdale. La contribution qu'apporte à la valeur de

j — - dT une de ces bandes de surface découpant sur l'axe des y

l'élément dy sera évidemment

dX

dyj

0xdx<

l'intégration ci-dessus étant prise relativement à celle ou celles des lignes droites appartenant à la surface T qui recouvrent une normale issue d'un point quelconque de cet élément dy.

Soient maintenant 0/5 0//5 0/;/, ... les extrémités inférieures (nous entendons par là celles qui correspondent aux plus petites valeurs de x) de ces lignes, et O', O", O'" , . . . les extrémités supérieures, et désignons par X/? X//5 X///? ... et X', X", X'7', ... les valeurs respectives de X en ces points, et par dsf, dsv, dsia, . . . , ds', ds", ds"', . . . les éléments respectifs correspondants que découpe la bande élémentaire sur le contour, et enfin par £7, !j , £', £7, £'" , . . . les valeurs de £ en ces éléments; l'on aura

alors

P dx = — X ,— X — X„

dx ' "

Les angles \ seront évidemment aigus aux extrémités inférieures, obtus aux extrémités supérieures, et l'on aura par suite

dy = cos£,<&, = cos%udsH = . . . = — cos£' ds' = — cos£'Vi" = .. . .

FONCTIONS D'UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. l5

La substitution de ces valeurs donnera

dy I ^dx = ^^Xcos^ds,

la sommation s'étendanl à tous les éléments du contour qui ont tlv pour projection sur l'axe desj/\

En intégrant relativement à l'ensemble tout entier des dy en question, il est évident que l'on ('puisera tous les éléments de la surface T et tous ceux du contour, et l'on obtient donc, dans ces circonstances,

Par un raisonnement tout pareil l'on conclut

I ~dT = — J YcosTjcfr, et, par conséquent,

§ VIII

Désignons par s la longueur du contour, prise dans un sens que nous fixerons plus tard, à partir d'un point fixe initial jusqu'à un point quelconque O0, et par/? la dislance d'un point indéterminé O au point O0 sur la normale en ce pointO0, distance qui sera comptée positivement pour les points de la normale intérieure; il est alors évident que les valeurs de x et de y au point O peuvent être regardées comme fonctions de s et de p ; aux points du contour on aura alors, pour les dérivées partielles relatives à ces variables, les équations suivantes :

dx „ dv

dp s dp "

dx dv

-=±cos-r„ -= + cos;;

les signes suûérieurs sont relatifs à ce cas où la direction, dans la-

l6 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS PAR RIEMANN.

quelle la grandeur s est regardée comme croissante, forme avec/?

un angle correspondant homologue à celui que fait l'axe x avec

l'axe y, et les signes inférieurs sont relatifs au cas opposé. Nous

prendrons cette direction en toutes les parties du contour de telle

sorte que l'on ait

dx dy

ds dp

d'où

dr dx

ds dp

ce qui ne nuit en aucun point essentiel à la généralité de nos résultats.

Nous pouvons encore évidemment étendre ce mode de détermination à des lignes situées à l'intérieur de T; mais, dans ce cas, pour la détermination des signes de dp et ds, leur dépendance mutuelle étant fixée comme ci-dessus, il faut donner encore une indication pour fixer le signe soit de dp, soit de ds; pour une ligne fermée, nous indiquerons quelle est celle des deux parties de surface qu'elle sépare dont elle doit être regardée comme le contour, ce qui détermine le signe de dp, et pour une ligne non fermée nous- indiquerons quelle est l'origine de la ligne, c'està-dire quelle est l'extrémité en laquelle s a la plus petite valeur.

L'introduction des valeurs obtenues pour cos£ et cost) dans l'équation démontrée dans le paragraphe précédent nous donne, dans les mêmes circonstances,

En appliquant la proposition qui conclut le paragraphe précédent au cas où l'on a

dX dY dx ày

dans toutes les parties de la surface, l'on obtient les propositions suivantes :