XVI. L'intégrale^/ [(- - g J + ^- -£J J dT, relative à toute

la surface T. prend toujours, lorsque l'on adjoint à a des fonctions continues ou discontinues seulement en des points isolés et qui sont égales à zéro sur le contour, une valeur minima pour une de ces fonctions, lorsque l'on exclut des discontinuités qui peuvent être détruites par modification en des points isolés 36

XVII. Démonstration, à l'aide de la méthode des limites, d'un théorème

admis dans le paragraphe précédent

XVIII. Lorsque sur une surface plane connexe quelconque i, décomposée

par des sections transverses en une surface simplement connexe T*, l'on donne une fonction a— $i de x, y pour laquelle lin-

te T9 le

J \\dx dyj dy dx) \

relative à toute la surface, est finie, cette fonction peut toujours, et cela d'une manière unique, être transformée en une fonction de - par l'adjonction d'une fonction [i+vi qui satisfait aux conditions suivantes :

i° u. = o sur le contour, v est donnée en un point;

20 Les variations de ;x sur T, de v sur T* ne sont discontinues qu'en des points isolés, et cela seulement de telle sorte que les intégrales

relatives à toute la surface, restent finies et que les variations de v aient les mêmes valeurs le long des deux bords d'une section transverse 10

Paragraphes. Page?.

XIX. Évaluation comparative des conditions nécessaires et suffisantes

pour la détermination d'une fonction d'un argument complexe dans un domaine de grandeurs donné 43

XX. Le mode de détermination d'une fonction par des opérations sur

les grandeurs, usité antérieurement, renferme des parties superflues. Les considérations traitées ici réduisent l'ensemble des agrégats de condition d'une fonction à leur quantité nécessaire 46

XXI. Deux surfaces données, simplement connexes, peuvent toujours être

rapportées l'une à l'autre, de telle sorte qu'à chaque point de l'une corresponde un point unique de l'autre, dont la position varie d'une manière continue avec celle du premier et de telle sorte que les plus petites parties correspondantes soient semblables. Pour un point intérieur et un point de l'encadrement d'une des surfaces, les points correspondants de l'autre peuvent être donnés quelconques; par cela même la correspondance est déterminée pour tous les points 49