XXII. Observations finales

NOTES

[1] (p. 1). On a trouvé dans les manuscrits de Riemann l'addition suivante, qui se rapporte à ce passage :

« Par l'expression : la grandeur w varie d'une manière continue avec z entre les limites z = a, z = 6, nous entendons ceci : Dans cet intervalle, à toute variation infiniment petite de z correspond une variation infiniment petite de w\ ou encore, en s'exprimant d'une manière plus détaillée : pour une grandeur donnée quelconque s, l'on peut toujours déterminer la grandeur a, de telle sorte que dans un intervalle relatif à z, plus petit que a, la différence entre deux valeurs de n> ne soit jamais plus grande que s. La continuité d'une fonction, même lorsque ce point n'est pas expressément énoncé, entraîne d'après cela ce fait : la fonction est toujours finie. »

[2] (p. 7). S'il n'y a pas une inadvertance, en cet endroit, c'est que Riemann aura fait usage de l'expression de gauche à droite dans une signification contraire à celle employée d'habitude, où le sens d'un circuit est défini parla manière dont le verrait décrit un observateur placé au centre et suivant des yeux le point décrivant le circuit.

[3] (p. 20). L'exemple suivant peut servir à l'éclaircissement de ce passage, exprimé d'une manière un peu obscure.

Dans la 6gur«i-dessous T est une surface triplement connexe. Soit (ab) la première section transverse qu et (crf) la deuxième </:.

Fis. t.

Nous avons ici à distinguer trois différences de valeur- distinctes constantes de la fonction

ds

ds.

Désignons ces différences relativement à la partie (ac) par A, à la partie (cb i par B et à la partie (cd) par G. Si l'on décrit d'abord (cd). G pourra avoir ici une valeur quelconque; si l'on décrit ensuite alors i bc . B de même peut avoir ici encore une valeur quelconque. .Mais pour (ac), d'après cela, la différence de valeurs constante A de la fonction Z est complètement déterminée; ce sera (les signes étant déterminés comme il convient) A = B -+- C. En général, on conclut d'une manière analogue le résultat suivant : Chaque fois que, pendant le cheminement en sens rétrograde sur le système des sections transverses, l'on arrive à un point où une section transverse déjà décrite prend son origine, la variation qu'éprouve la différence de valeurs constante de la fonction est alors complètement déterminée.

[4] (p. 23). L'on obtient la formule

du , — ds dp

si, dans l'intégrale

du , du\ 7

u u -r- ) ds,

dp dp )

on prend u' = i, car alors, prise relativement à l'encadrement d'une portion de surface où u satisfait aux hypothèses du § X, elle s'évanouit.

[S] (p. 36). La méthode de démonstration du § XVIa été plus tard désignée par Riemann (Théorie des fonctions abéliennes, § III, IV des Prélimi-

naires) sous le nom de Principe de Dirichlet (d'après les Leçons de Dirichlet). Gauss aussi a appliqué de pareilles conclusions (Théorèmes généraux relatifs au\ forces d'attraction et de répulsion qui s'exercent en raison inverse du carré de la distance, Œuvres, t. V). Dans ces derniers temps la validité de ce mode de déduction a été combattue; en particulier et avec raison, l'évidence de l'existence d'un minimum pour l'intégrale Q a été niée. Mais l'exactitude du théorème lui-même, pour la démonstration duquel cette méthode doit servir, théorème qui prête aux travaux de Riemann sur la théorie des fonctions leur caractère particulièrement simple et général, a été démontrée par de nouvelles recherches reposant sur d'autres principes. [Voir en particulier les travaux sur ces sujets de H. -A. Schwarz (Monatsbericlite der Berliner Akad., oct. 1870. — Journal de Crelle, tome 74; et Gesammelte Mathematische Abhandlungen, et ceux de C. Neumann {Recherches sur le potentiel logarithmique et le potentiel de Newton; Leipzig, 1877. — Leçons sur la Théorie riemannienne des Intégrales abéliennes, 'ze édit. ; Leipzig, i884- )]

[6] (p. 40). Les remarques suivantes sont tirées, presque mot pour mot, des brouillons, esquisses du § XVII, trouvés dans les papiers de Riemann et écrits de sa main; ils serviront en partie à éclaircir, en partie à compléter cette recherche.

Des valeurs Pj et P2 l'une peut être aussi prise partout = o, lorsque seulement T' a une étendue finie, et de cette façon notre démonstration sera applicable au cas où la discontinuité se présenterait le long d'une partie de l'encadrement ou aurait lieu par l'effet d'une modification des valeurs de y le long d'une ligne à l'intérieur. On n'a pas attribué directement à m la valeur la plus petite de (yi — Y2)2 dans l'intervalle assigné de pi et p», afin que la démonstration soit aussi applicable au cas où y admettrait une infinité de maxima et minima. par exemple au cas où y aurait dans le voisinage de la ligne de discontinuité la valeur sin - •

D'une manière pareille l'on peut faire voir que L croît au delà de toutes

limites, lorsque X tend indéfiniment vers une fonction y qui, au point O',

possède une discontinuité telle qu'en une partie d'une circonférence dé-

i • s^r ày df ,

ente du point O comme centre avec un rayon p, p — j pT' tendraient

J ' ' ' dx dy

pour p infiniment petit vers une limite finie ou seraient infinis.

Dans ce cas, l'on peut assigner à p une valeur R telle qu'au-dessous de cette valeur l'on n'ait jamais

■■fm-mv^-

Désignons la plus petite valeur de cette grandeur dans cet intervalle par a, alors la contribution apportée à L par une couronne circulaire comprise

entre : = R el 1 r < R) sera

,'\ /■"[(£)V(|)*]p*f>/2*>-(togR-U,(r),

et, par suite, lorsque l'on prend r= Re ■'. elle sera > C.

Par conséquent alors, si l'on choisit pour encadrement de T' un cercle où c p < Re a, la partie de L qui provient du reste de T et. par suite, L luimême, sera > G, quel que soit À à l'intérieur du cercle.

[Cette étude se rapporte, il est vrai, d'abord à un point qui n'est ni point de ramification ni point de l'encadrement; mais elle n'éprouve de modification essentielle que pour un point de l'encadrement où la surface aurait un point saillant, c'est-à-dire nii l'encadrement aurait un point de rebroussement. .Mais, dans ce dernier cas aussi, la détermination d'un ordre de discontinuité, auquel ne peut atteindre À, repose sur les mêmes principes; nous nous contentons donc de l'indiquer.]

Lorsque la [">rtion de surface où X et y sont différentes devient infiniment petite, T' lui-même, dans le cas d'une ligne de discontinuité, la partie restante de T, dans le cas d'un point de discontinuité, fourniront donc à L une contribution infinie, et notre affirmation est ainsi justifiée lorsque la discontinuité atteint l'ordre supposé. Sa légitimité en ces circonstances nous suffit; en effet, pour des discontinuités d'ordre inférieur elle n'aurait plus lieu, comme, par exemple, lorsque pour la distance p entre le point de discontinuité et le point 0, l'on a

Y = ( log - ) et a <

Nous ajouterons donc la restriction suivante à la première partie du théorème du § XVI : Ou bien l'intégrale Q, où l'on a posé w = x — X, possède un minimum pour une des fonctions X, ou bien, pendant que Q tend vers sa plus petite valeur limite, X n'admet une discontinuité qu'en des

, , . . , , , , dX dX . ... . . ,

points isoles et telle que 1 ordre de — ? — > lorsqu ils sont infinis, nat- ^ dx oy ^ '

teigne pas l'unité.

Une discontinuité de la fonction u>, qui peut être détruite par modification de valeur en un point, doit se présenter, par exemple, lorsqu'on suppose qu'il existe en un endroit quelconque sur la surface un trou, c'est-à-dire un point d'encadrement isolé où l'on devrait donc supposer X = o.

[7] (p. 48). Des recherches plus modernes ont fait voir que la puissance des expressions analytiques s'exerce même bien au delà de ce que l'on supposait d'après ces mots de Riemann. A ce sujet, Seidel le premier a donné de remarquables exemples {Journal de Crelle, t. 73, p. 279); ainsi, il a indiqué des expressions analytiques qui dépendent de z et qui dans un

cercle sont égales à une fonction quelconque de z, et en dehors du cercle sont égales à zéro; ou encore qui partout, à l'exception du contour d'un cercle, sont nulles et qui sur le contour sont égales à i. Si l'on admet les intégrales définies, l'on peut aller bien plus loin encore et, par exemple, représenter x ou y, ou \/x'--r-y-, comme fonction de z = x -\-yi.

Weierstrass [Sur la Théorie des fonctions (Monatsberichte d.Berliner Akad., août 1880) et aussi dans la Collection de Mémoires sur la théorie des fonctions; Berlin, 1886] a fait voir comment l'on peut trouver des séries infinies, dont les termes sont des fonctions rationnelles de z et qui, dans un nombre quelconque de domaines de la variable z différents, représentent des fonctions différentes quelconques données de z.