S IV
L'incertitude qui règne encore sur quelques points fondamentaux de la théorie des intégrales définies nous oblige à placer ici quelques remarques sur la notion de l'intégrale définie, et sur la généralité dont elle est susceptible.
Et d'abord que doit-on entendre par
f(x)dx'.
Pour répondre à cette question, prenons entre a et b une série de valeurs #,, x2, ..., oc„u rangées par ordre de grandeur, depuis a jusqu'à b, et désignons pour abréger xK — a par o,, x2 — .r, par o2, ..., b — xn t par on ; soient, en outre, £< des
nombres positifs plus petits que l'unité. Il est clair que la valeur de la somme
S = oj/(a -S- st St ) -f- Oof(xi -4-e282)
dépendra du choix des intervalles o et des fractions e. Si elle a la propriété, de quelque manière que les o et les e puissent être choisis, de s'approcher indéfiniment d'une limite fixe A, quand les o tendent tous vers zéro, cette limite s'appelle la valeur de Vinté-
rb
grale définie I f{%) dx.
Si la somme S ne tend vers aucune limite, la notation
b f(x)dx
ne peut avoir aucune signification. On a cependant cherché dans plusieurs cas à conserver à ce signe une définition précise, et parmi les généralisations delà notion d'intégrale définie il en est une qui a reçu l'assentiment de tous les géomètres. Si la fonction f (x) devient infinie quand son argument x s'approche d'une valeur particulière c, comprise dans l'intervalle (a, b), alors évidemment la somme S, quel que soit le degré de petitesse attribué aux o, peut prendre une valeur quelconque : elle n'a donc aucune limite et le
signe / f(%) dx n'aurait, d'après ce qui précède, aucune signifi-
cation; mais, si l'expression
' f(x)dx-+- I f(x)dx
s'approche, lorsque a, et a2 deviennent infiniment petits, d'une limite fixe, c'est cette limite que l'on désigne par
f{x)dx.
D'autres extensions, dues à Cauchj, de la définition de l'intégrale définie dans le cas où cette définition ne découle pas des notions fondamentales qui précèdent, peuvent être commodes pour
certaines disses de recherches, mais elles ne sont pas généralement admises, et Parbitraire qui préside aux définitions de Cauchy suffirait seul à les empêcher d'être universellement acceptées.
I! cherchons maintenant l'étendue et la limite de la définition précédente, et posons-nous cette question : dans quels cas une fonction est-elle susceptible d'intégration? dans quels cas ne l'estclle pas ?
Considérons d'ahord la définition de l'intégrale dans son sens le plus étroit, c'est-à-dire supposons que la fonction ne devienne pas infinie, et que la somme S converge, quand tous les o tendent vers zéro. Désignons la plus grande oscillation de la fonction entre a et x,, c'est-à-dire la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur dans cet intervalle par D, ; de même, les plus
grandes oscillations entre xK et x2 par Do entre xn K et b
par D„ ; alors la somme
doit devenir infiniment petite avec Les quantités o. Supposons que la plus grande valeur que cette somme puisse prendre, quand tous les 8 sont plus petits que d, soit A; A sera alors une fonction de d, diminuant et devenant infiniment petite avec d. Maintenant, si la somme totale des intervalles pour lesquels les oscillations sont plus grandes qu'une quantité n est s, le contribution de ces intervalles à la somme
oïDi— 82 D2 -1-...-+- o„D„
sera évidemment égale ou supérieure à rrs. On aura donc
gs^ OjDi — . . .— o„D„ < A: d'où s<— •
— peut d'ailleurs, si n est fixe et donné, être rendu infiniment petit par un choix convenable de d\ il en sera donc de même de s, et l'on peut énoncer la proposition suivante :
Pour que la somme S converge, quant tous les o deviennent R.
infiniment petits, il faut non seulement que la fonction demeure finie, mais encore que la somme totale des intervalles pour lesquels les oscillations sont plus grandes que <?, quelque soit <r, puisse être rendue infiniment petite par un choix convenable de d.
Cette proposition admet une réciproque :
Si la fonction f{x) est toujours finie, et si, par le décroissèment indéfini de toutes les quantités S, la grandeur totale s des intervalles dans lesquels les oscillations de la fonction sont plus grandes qu'une quantité donnée a peut toujours être rendue infiniment petite, la somme S converge quand tous les o tendent vers zéro.
Car ces intervalles, dans lesquels les oscillations sont plus grandes que a, apportent à la somme ô| Dt + o2D2 + . • . H- oHDw une contribution plus petite que s multiplié par la plus grande oscillation de la fonction entre a et b, oscillation qui est finie par hypothèse : les autres intervalles donnent dans la somme une partie plus petite que cr(6 — a); on peut prendre évidemment <r aussi petit qu'on le veut, et, alors, par hypothèse, on peut déterminer la grandeur des intervalles, de telle manière que s soit aussi petit qu'on le veut.
On peut donc rendre o, D, 4-o2D24-.. . + o„D„ aussi petit qu'on le veut, et, par suite, renfermer la somme S entre des limites aussi rapprochées qu'on le voudra.
Nous avons donc trouvé les conditions qui sont nécessaires et suffisantes pour que la somme S converge, quand les intervalles o tendent vers zéro, et, par suite, pour qu'il puisse être question, dans le sens restreint, de l'intégrale de la fonction f{x) entre les limites a et b [2].
Si l'on étend, comme nous l'avons indiqué plus haut, la notion d'intégrale aux cas où la fonction devient infinie, pour que l'intégration soit possible, il faudra encore que la seconde des conditions trouvées ci-dessus soit satisfaite; mais à la place de la première, à savoir que la fonction demeure toujours finie, il faudra faire intervenir la suivante : que la fonction ne devienne infinie que lorsque son argument s'approche de certaines valeurs particulières, et que l'on obtienne une valeur limite parfaitement
déterminé^ quand les limites des intégrations s'approchent indéfiniment de ces valeurs pour lesquelles la fonction devient infinie.
§ VI
Après avoir trouvé les conditions pour la possibilité d'une intégrale définie d'une manière générale, c'est-à-dire sans hypothèse particulière sur la nature de la fonction à intégrer, nous devons en partie appliquer, en partie poursuivre cette recherche en particulier pour les fonctions qui, entre deux limites aussi rapprochées qu'on le veut, deviennent discontinues un nombre infini de fois.
Comme ces fonctions n'ont pas encore été considérées, il sera bon de partir d'un exemple particulier. Désignons, pour abréger, par(„r) l'excès de x sur le nombre entier le plus voisin, ou zéro si x est à égale distance des deux nombres entiers les plus voisins. Soient d'ailleurs n un entier et p un entier impair, et formons la série
Celte série converge, comme il est facile de le voir, pour toutes les valeurs de x; sa valeur, toutes les fois que l'argument tend d'une manière continue vers une valeur x, soit par des valeurs décroissantes, soit par des valeurs croissantes, tend vrrs une limite fixe, et l'on a, si x = — (p et n étant premiers entée eux),
f(x-ho)=f(x) ~(i-h -H- -1. -... ) =/U-) — ,
J 2R!\ 9 25 / iti«-
/(I-o)=/(î)+-,(i+ - + 4+...) =/oo+-l^-
2»! \ 9 23 / J V l6rt-
Pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas de la forme — , on a
J L in
f(x + o) = /(*), /(* - o) =/(*)• Cette fonction est donc discontinue pour toute valeur rationnelle
de x qui, réduite à sa plus simple expression, a un dénominateur pair; elle est donc discontinue un nombre infini de fois dans un intervalle, si petit qu'il soit, maisofe telle manière que le nombre des variations brusques qui sont supérieures à une grandeur donnée est toujours fini. Elle est pourtant susceptible d'intégration. Gela résulte, en effet, de ce que, outre qu'elle est une valeur finie, cette fonction jouit des deux propriétés suivantes : que pour chaque valeur de x, il y a de part et d'autre une valeur limite f(x + o) etf(x — o), et que le nombre des variations brusques qui sont plus grandes qu'une quantité donnée <7 est toujours fini. Alors, si nous appliquons les méthodes des articles précédents, nous pourrons prendre d assez petit pour que, dans chacun des intervalles qui ne renferment pas de ces variations brusques, les oscillations soient plus petites que a-, et que la grandeur totale des intervalles qui contiennent ces variations brusques soit aussi petite qu'on le voudra.
Il importe de remarquer que les fonctions qui n'ont pas un nombre infini de maxima et de minima (auxquelles d'ailleurs n'appartient pas la fonction que l'on vient de considérer) possèdent toujours ces deux propriétés là où elles ne deviennent pas infinies, et, par suite, qu'elles sont susceptibles d'une intégration, comme il est facile de le montrer directement [3].
Si nous passons maintenant à l'examen détaillé du cas où la fonction à intégrer devient infinie pour une valeur particulière de x, nous pouvons supposer que cela ait lieu pour 3; = o, et de telle manière que, pour x positif décroissant, la valeur de la fonction dépasse toute grandeur donnée.
On démontre d'abord facilement que xf(x) ne peut pas, quand x décroît à partir de «, demeurer constamment supérieur à une quantité finie c; car on aurait alors
ra r" dx
\ f(x)dx>c I ~,
et, par suite,
quantité qui croît indéfiniment quand x tend vers zéro : donc, si
REPRÉSENTATION d'dNE FONCTION PAU UNE SÉRIE TRIGOXOMÉTRIQIE. l\o
la fonetioiîn'a pas un nombre infini de maxima et de niinima dans le voisinage de x =o, il faut nécessairement que./'/(.r) devienne infiniment petit avec ,/\ pour que la fonction /(x) soit susceptible d'intégration. Si. d'autre part,
,. v f r \ dx(\ — Oi)
pour une valeur de a << i , est infiniment petit avec ,r, il est clair que l'intégrale converge, quand sa limite inférieure tend vers zéro.
On trouve de même que, dans le cas de la convergence de l'intégrale, les fonctions
i /'i x | dx
f(x)xlog- =
— r/losrlo? -
/(jT^log-loglog- =
— rflogloglog-
f(x) x log - log log - . . .log"-' - log" - = — '— —
— «log"-""1 —
ne peuvent, lorsque x décroît à partir d'une limite finie jusqu'à zéro, demeurer plus grandes qu'une quantité finie, et, par suite, que, si elles n'ont pas un nombre infini de maxima et de minima, elles doivent devenir infiniment petites avec x; qu'au contraire l'intégrale converge, quand sa limite inférieure tend vers zéro, toutes les fois que l'expression
j-, ■ , 1 , , 1 /, t \* f(x)dx(i — z)
/(*>*iog-..jog»-i-(iog»-) = ■ ; a,
pour a << 1 , devient infiniment petite avec x.
Mais si la fonction/^) a, dans le voisinage de zéro, un nombre infini de maxima et de minima, on ne peut rien déterminer sur son ordre de grandeur dans le voisinage de zéro. En effet, supposons que les valeurs absolues de la fonction et, par conséquent, son ordre de grandeur soient donnés. On pourra toujours disposer des signes de telle manière que l'intégrale j f(x) dx con-
verge, quand sa limite inférieure décroît. On peut prendre comme exemple d'une telle fonction, qui devient infinie, et de telle manière que son ordre (l'ordre de - étant pris pour unité) soit infiniment grand, la fonction suivante :
dcosx \ex)\ ~ i ^ • h
; — - — — = cose* -\ — ex sine*.
dx x
Nous nous contenterons de ce qui vient d'être dit sur cet objet, qui appartient à une autre branche de l'Analyse; nous allons maintenant aborder le problème spécial que nous nous sommes proposé : la recherche générale des conditions sous lesquelles une fonction peut être représentée par une série trigonométrique.
Étude sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique. sans faire aucune supposition sur la nature de la fonction.
§ vu.
Les travaux que nous avons signalés sur cette question avaient pour but de démontrer la série de Fourier pour les fonctions que l'on rencontre en Physique mathématique; on pouvait donc commencer la démonstration pour des fonctions tout à fait arbitraires, et ensuite soumettre la marche de la fonction à des restrictions quelconques, nécessaires pour la démonstration, si ces restrictions n'allaient pas contre le but que l'on s'était proposé, et convenaient aux fonctions que l'on avait en vue. Dans notre problème, la seule condition que nous imposerons aux fonctions, c'est dt pouvoir être représentées par une série trigonométrique; nous rechercherons donc les conditions nécessaires et suffisantes pour un tel mode de développement des fonctions. Tandis que les travaux antérieurs établissaient des propositions de ce genre : « si une fonction jouit de telle et telle propriété, elle peut être développée en une série de Fourier », nous nous proposons la question inverse : « si une fonction est développable en une série de Fourier, que résulte-t-il de là sur la marche de cette fonction, sur la
REPRÉSENTATION D'UNE FONCTION PAR UNE Sf.RIE TRIGONOMÉTRIQUK. 247
variation « sa valeur, quand l'argument varie d'une manière continue'.'
\ i el effet, considérons la série
a, sin.r — <7i «in 2a? -5- H — &o-t- b\ cosa; — 6j cos2.r — . . . ,
ou. si pour abréger nous posons
- 60 = A0, «i sina: -+- b\ cosa? = Ai, a2 sinaa; — 6j cosix = A2
la série
que nous supposons donnée. Nous désignerons cette série par û, et sa valeur par f(x), en sorte que cette fonction est déterminée seulement pour les valeurs de x qui rendent la série convergente. Il est nécessaire, pour la convergence de la série, que ses termes finissent par devenir infiniment petits. Si les coefficients a„, bu tendent vers zéro pour n croissant à l'infini, les termes de la série û finiront par devenir infiniment petits, quel que soit x\ sinon, ils ne pourront le devenir que pour des valeurs particulières de x. Les deux cas doivent être traités séparément.
§ VIII
Supposons d'abord que les termes de la série Q finissent par devenir infiniment petits, quel que soit x. Dans cette hypothèse, la série
qu'on déduit de 0. en intégrant deux fois consécutivement chaque terme, sera convergente, quel que soit x. Sa valeur F(x) varie d'une manière continue avec x, et cette fonction F(.r) est, par suite, toujours susceptible d'intégration.
Pour reconnaître à la fois la convergence de la série et la continuité de la fonction ¥(x), désignons la somme des termes jusqu'à
- par N: le reste de la série, c'est-à-dire ia série
(n + i)2 (ft-4-2)2
par R, et la plus grande valeur de A/w, pour m >>/*, par s. La valeur de R, quelque loin qu'on prolonge cette série, est évidemment plus petite, abstraction faite du signe, que
et, par suite, R peut être renfermé entre des limites aussi petites qu'on le veut, quand n prend des valeurs suffisamment grandes; donc la série est convergente. De plus, la fonction F est continue, c'est-à-dire que son accroissement peut être rendu aussi petit qu'on le veut, en assignant à x un accroissement suffisamment petit; car l'accroissement de ~F(x) se compose de deux parties : celui de N et celui de R; or on peut prendre d'abord n assez grand pour que R, quel que soit x, soit aussi petit qu'on le veut, et, par conséquent, pour que l'accroissement de R, pour chaque accroissement de x, soit infiniment petit; et ensuite on peut prendre l'accroissement de x assez petit pour que celui de N soit au-dessous de toute quantité donnée.
Il sera bon de présenter maintenant, sur la fonction F( x), quelques théorèmes dont la démonstration interromprait la suite de notre étude.
Théorème I. — Ouand la série 0 est convergente, V expression
F(^^a-h|3) — F(x-ha — (3) — F(x — a + 3) + ¥{x — a — 3)
où oc et [3 sont des infiniment petits dont le rapport est fini, converge vers la même limite que la série.
En effet, on a
F(a?-4-q+P) — F(ar-4-«— 3) — F(> — x -h ^+F(.r-ï-p)
= A0-f- Xi
sin x sin 3
sin^a
sin 1 B sin 3 a sin 3 3
ou, pour traiter d'abord le cas plus simple où a = j3, F(a?-+-2o0— -aF(a?)-f-F(a? — 2a) . , » /sinaX2 . /sin^aV2
si la série infinie A0+ A, + A2 + . . . est désignée par/(.r), et
que l'on fasse
Aa — A, -f-. . .+ A,H =/(a?)+ e„,
on doit pouvoir trouver, pour une grandeur donnée à volonté 3, une valeur m de n telle que, si /? >> m, s« devienne plus petit que o. Prenons maintenant a assez petit pour que nia < tc; transformons, par la substitution
la série
A„ — zn-. | + tn,
dans la suivante
et partageons cette série en trois parties, en réunissant :
in Tous les termes de rang i à m inclusivement ; 2° Les termes de rang m + i, jusqu'au plus grand nombre entier, que nous désignerons par s1 inférieur à - ; 3° Depuis s + i jusqu'à l'infini.
La première partie se compose de termes variant d'une manière continue, et peut être rendue, par conséquent, aussi voisine qu'on le voudra de sa valeur limite zéro, si l'on prend a suffisamment petit.
La deuxième partie, comme le facteur de zm est toujours positif, est évidemment plus petite, abstraction faite du signe, que
c\2 /sinsa\2~l J
Pour trouver enfin des limites entre lesquelles soit renfermée
la troisième partie, décomposons son terme général en deux
parties,
l|"sin(n — Oal2 r sin ( /? — i)x~J2)
et
\ sin(2n — i )a ?ina
l [~sin(n — 0 a~l 2 /sinna
Sous cette forme, il est clair que le terme général est plus
petit que
et, par suite, la somme depuis s -4- i jusqu'à l'infini est plus petite que
s2x2 sa,
valeur qui, pour a infiniment petit, se transforme en
sin a a il a
La série
approche donc, pour une valeur décroissante de a, d'une valeur limite qui n'est pas supérieure à
et, par conséquent, qui est nulle ; et, partant, l'expression
F(,t--20() — îF(a;)+F(.r — ia)
converge, lorsque a décroît indéfiniment, vers la limite f{x) : ce qui démontre notre théorème pour a = j3. Pour le démontrer dans le cas général, soit
F (a? -H a -4- p) — i¥ (x) -+- F (a? — a — p) = (a + P)2[/(a?)-4- 8,], F(a?+a— P) — aF(a?)-4-F(a? — a-»-p) = (a— P)« [/(a;) -4- 8,],
d'où
= 4op/(a?)-4-(a-i-p)2 81 — (a-P)8 8a.
Par suite de la démonstration déjà faite, o, et o2 sont infiniment petits quand a et 3 le sont : donc il en sera de même de
pourvu que les coefficients tic o, et de 82 ne deviennent pas infinis, ce qui n'a pas lieu si le rapport - demeure fini; et, par suite.
Fi.r — a— 3 > — F(.r — a — 3) — F(.r — y — 3, -^- FQ — a — 3) ! T^P
converge vers / ./' . c. o. F. n.
Théorème II.
es/ toujours infiniment petit avec x.
t-.it, i « • V i / si nn a \ 2
Four Je démontrer, partageons la série > An I ) en trois
groupes, dont le premier contienne tous les premiers termes jusqu'à un certain indice /n. à partir duquel \n demeure inférieur à £ : le second, tous les ternies suivants pour lesquels nv. est plus petit qu'une quantité déterminée c; le troisième, tous les autres ternies de la série. Il est facile de voir que, si a décroît, la somme du premier groupe fini demeure finie, c'est-à-dire plus petite qu'une quantité déterminée Q; celle du second, plus petite que
£-; celle du troisième, plus petite que s ? ~in> ^ ~~'
c<na
Par suite,
F(x — 2a) -f- F(x — 2«) — aF(j) — . ,
qui est égal à
est inférieur à
d'où résulte le théorème qu'il s'agissait de démontrer.
Théorème III. — Si l'on désigne par b et c deux constantes arbitraires, dont la plus grande est c, et par \{x) une fonction qui demeure finie entre b et c, et s'annule aux deux limites, dont la dérivée première ait les mêmes propriétés, et dont la dérivée seconde n'ait pas un nombre infini de maxima et de mini ma, l'intégrale
p.- / F (x) cos \i.{x — a)l(x) dx,
db
quand \j. croît indéfiniment, devient plus petite que toute quantité donnée.
Remplaçons F(.r) par son expression en série dans l'intégrale précédente; nous obtiendrons pour cette intégrale la série
\j.- I (C-\-C'x-\-A0 — J cos\k(x — a)X(x)dx
ÛO
^, , / A„cos[jL(a? — a)X(x)dx.
A„cos|x(.r — a) peut évidemment se décomposer en une somme de quatre termes,
cos(fi + «)(ar — a), sin( \x -+- n) (x — a), cos( ;j. — n) (x — a), sin([ji — n) (x — a);
et, si l'on désigne par B^+n la somme des deux premiers, et par IV-tt celle des deux derniers, on aura
A„ COSf*(> — tt) = B^+n-h Bji-n, dx, ^-(ii+ft)-Ba+;i, dx% =— <> — nyBy.-n,
et Bjj.+/0 B;J„ deviendront infiniment petits, quand n croîtra indéfiniment.
REPRÉSENTATION D'UNE FONCTION PAU UNE Sf.IUE TRIGONOMÉTRIQUE. 253
Le terni* général de la série ($),
2 r ' - I A„cosu(^ — rt)X(a;)f/.'.
peut Jonc s'écrire
»2( p. -f- n )- J6 rfa?2 n -1 ( fi — /* )2 Jfi <•/,<• ^
ou, en intégrant deux fois par parties, et considérant d'abord À(ir), puis yj(&) comme constantes,
— — £ f Bu.+nr(x)dx^—^- — - f B»r.a'k'(x)dx,
/l-(:j. — /l)-Jù ' n2((J.re)2j6 i
puisque A(^) et V(x) deviennent nuls aux limites de l'intégration.
On s'assure facilement que / B[>^/?^// (x)dx devient infiniment
petit, quel que soit n, si y. croît indéfiniment; car cette expression est composée des intégrales
/ cos([x± n) (x — a)X"(a?) dx, f sin((JL ± n) (x — a)V\x) dx .
Si [jl ± n devient infini, ces intégrales deviennent infiniment petites; si, n devenant infini avec ;j., [jl + b reste fini, ce sont, au contraire, les coefficients de ces intégrales dans Bjj+« qui deviennent infiniment petit 5.
Pour la démonstration de notre théorème, il suffira donc évidemment de montrer que la somme
Jmd n2 ( [j. — n )'- '
étendue à toutes les valeurs entières de n qui satisfont aux conditions
n < — c', c" < n < \). — c '", \x -+- cIV < n,
pour des valeurs positives quelconques des quantités c, reste finie,
quand y. devient infini; car, en faisant abstraction des termes pour
lesquels
qui sont en nombre fini et deviennent évidemment infiniment
petits, il est clair que la série (<£) demeure plus petite que la somme précédente, multipliée par la plus grande valeur de
Jb
Bn±lll"(x)dx,
qui est infiniment petite.
Maintenant, si les quantités c sont plus grandes que l'unité, la
somme
prise entre les limites précédentes, est plus petite que l'intégrale
i r d.r [xj #2(1 — a?)*'
étendue de — <x à — > de ai — : > de i -f- ■
à +00; car si, en partant de zéro, on sépare l'intervalle entier de — 00 à -f- ce en intervalles de la grandeur de -, et que l'on remplace partout la fonction sous le signe j par sa plus petite valeur dans l'intervalle considéré, on obtient, puisque la fonction n'a aucun maximum entre les limites de l'intégration, tous les termes de la série.
Si l'on effectue l'intégration, l'on trouve
- / — = 1 h 2 \o%x — 2 log(i — x) \ -h const.,
et, par suite, entre les limites déjà indiquées, une valeur qui ne devient pas infinie avec [j. [i].
A l'aide de ces trois théorèmes, on peut énoncer les propositions suivantes, sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique dont les termes finissent par devenir infiniment petits pour toute valeur de l'argument.
1. Pour, qu'une fonction périodique, ayant 27: pour période, puisse être représentée par une série trigonométrique dont les termes finissent par devenir infiniment petits pour toute valeur de x, il faut qu'iJ existe une fonction continue F(x), dont f(x) dépende de telle manière que l'expression
p-(g .+. a ■+. p) — F(ar -t- g — ft) — F(a-a+P) + F(a? — g — p )
où a et ,3 sont des infiniment petits dont le rapport est fini, converge vers f{x).
11 faut, de plus, que l'intégrale
•x- / F (x) cosu(.r — a)\(x) dx,
lorsque X(a;) et a'(#) sont nuls aux limites b, c, et demeurent finis entre ces limites, et que V{x) n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, devienne infiniment petite quand ut, augmente indéfiniment.
II. Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, il y a une série trigonométrique, dans laquelle les coefficients finissent par devenir infiniment petits, et qui représente la fonction toutes les fois qu'elle est convergente.
Délerminons, en effet, les quantités C, A0, de telle manière que F(#) — C x — A0 -^ soit une fonction périodique, de période 21c, et développons cette fonction, d'après la méthode de Fourier, en la série trigonométrique
en faisant
£jCIF(i)~c,<
As
An — \ dt = C,
iy+ ^F(0-G'«-Ao^
cosrt {x — t) dt =
alors, d'après ce qui précède,
A„= — — / \F(t) — Gt — A0 — cos/i(ar — t)dt
deviendra toujours infiniment petit quand n croîtra, et, par suite, il résulte, du théorème I de l'article précédent, que la série
A0 -f- Ai -+- A2 -s- . . . ,
toutes les fois qu'elle sera convergente, aura pour somme /(.r) [5].
III. Soit b ■< x << c, et p (?) une fonction telle que p(t) et p'( J) aient, pour L = b et pour t = c, la valeur zéro, et qu'elles soient continues entre ces limites; que o"(t) n'ait pas un nombre infini de maxima et de minima, et que d'ailleurs, pour t = x, on ait
o'" (t.) et o" (t) demeurant finies et continues; alors la différence entre la série A0 + A, -+- . . . -h A.n et l'intégrale
sin
cP
. x—t sin
devient toujours infiniment petite, quand n croît indéfiniment. La série sera donc convergente ou divergente, suivant que l'intégrale précédente tendra ou ne tendra pas vers une limite fixe, quand n croîtra indéfiniment.
Pour établir cette proposition, remarquons que l'on a
ài-t- A2 -+-... +AW=- f W(t)~ G't- I V— /i*cosn(x — t)dt,
ou, à cause de
. ( 2 // -f- I )( r — t) sin —
, sin —
a- cos n(x — f)
. (in — i) (■ r — /)
*,+..^A.= i.jr"[F(0-C,-^
sin
; — tlt.
dt*
REPRÉSENTATION l)*LNE FONCTION PAR UNE SÉRIE TRIGONOJIÉTRIQUE. ib"]
Or, d'apMs le théorème 111 du paragraphe précédent, l'intégrale
sin
7= I [F(O-C'f-A0^] —^ \{t)dt
devient infiniment petite quand n croît indéfiniment, si X(/) demeure continue, ainsi que sa dérivée première, si a"(£) n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, et si, pour t = x, on a
l(t) = o, X'(0 = o, XV) = o,
ai /) et XIT(£) demeurant finies et continues [6].
Cela posé, si Ton prend /.(<) égal à 1 , en dehors des limites b, c, et à i — p(0» entre ccs limites, ce qui est évidemment permis, il résulte de là que la différence entre la série A, -+-. . . H- A;i et l'intégrale
sin
x — / sin
Sjf [FW-Cf-A. 2] ^ P«)A
devient toujours infiniment petite, quand /? croît indéfiniment. On vérifie facilement, au moyen d'une intégration par parties, que le terme
rf2
. (m -h i)(x — t ) sin ^
sin-
-L^C + A.S) -^ p(()<ft
tend vers A0, quand n devient infini, d'où résulte la démonstration du théorème proposé.
Il résulte des recherches précédentes que, si les coefficients de la série Q finissent par devenir infiniment petits avec -, la R.
convergence de la série, pour une valeur déterminée de x, dépend seulement de la manière dont se comporte la fonction dans le voisinage immédiat de cette valeur.
Pour reconnaître si les coefficients de la série deviennent toujours infiniment petits, on ne pourra pas toujours partir de leur expression par des intégrales définies, et l'on devra avoir recours à d'autres méthodes. Il importe cependant de considérer à part un cas où cette propriété résulte immédiatement de la nature de la fonction, à savoir : celui où la fonction f(x) demeure toujours finie et est susceptible d'intégration.
Dans ce cas, si l'on sépare l'intervalle complet de — tc à H-tï en petits intervalles de grandeurs o,, 82, o3, ..., et si l'on désigne par D|, Do, D3, ... les plus grandes oscillations de la fonction dans ces intervalles, la somme
0[ Dj -r- o-2 D2-f- o3 D3 -+-. . .
devra devenirinfiniment petite, quand tous les o tendront vers zéro. Cela posé, si l'on partage l'intégrale
f(x) %inn(x — a) dx,
qui représente, au facteur - près, les différents coefficients de la série, ou, ce qui est la même chose, l'intégrale
tt -H27T
f(x) sin/i (x — a) dx,
prise à partir de x = a, en intégrales partielles correspondant à des intervalles égaux à — j alors chacune d'elles fournit à la somme
une portion plus petite que — multiplié par la plus grande oscillation dans son intervalle, et leur somme est plus petite qu'une
grandeur qui, d'après les hypothèses, devient infiniment petite
avec
En effet, ces intégrales sont de la forme
•»tt-1-|A-t- 1| —
/ __ "f(x)ûi\n x — a) dx.
REPRÉSENTATION n'iM! FONCTION PAR ONE SÉRIE TRIGONOMÉTR1QIE. 2.5q
Le sinus est positif dans la première moitié de l'intervalle, cl négatif dans la seconde. Si donc on désigne par M la plus grande valeur de/{ x) dans cet intervalle, par/rc la plus petite, il est clair qu'on augmente l'intégrale si, dans la première moitié de l'intervalle, on remplace f{x) par M, et dans la seconde moitié par m, et que Ton diminue l'intégrale si, dans la première moitié, on remplacera?) par />?, cl dans la seconde par M. Dans le premier cas, on obtient
VI — m).
et, dans le second,
L'intégrale, abstraction faite du signe, est donc plus petite que
et. par suite, l'intégrale est plus petite que
f{x) sinn(x — <i 1 dx
si l'on désigne par Ms et ms la plus grande et la plus petite valeur def(x) dans le sième intervalle. Cette somme, puisque f{x) est susceptible d'intégration, doit devenir infiniment petite toutes les
fois que l'intervalle — tend vers zéro. 1 11
Donc, dans le cas que nous avons supposé, les termes deviendront infiniment petits avec -> quel que soit x.
§ XI
Il reste encore à examiner le cas où les termes de la série û deviennent infiniment petits avec - pour une valeur de l'argument #, sans que cela ait lieu pour toute valeur de cet argument. Ce cas peut se ramener au précédent.
Si, dans les séries relatives aux valeurs de l'argument x + t et x — /, on additionne les termes de même rang, on obtient la série
2A0 -+- 2 Aj COSt -+- 2A2 COSlt -t-. . . ,
dans laquelle les termes deviennent infiniment petits avec - pour toute valeur de t, et à laquelle on peut, par conséquent, appliquer les méthodes des articles précédents.
Désignons, pour cela, par G(t) la valeur de la série infinie
r, „, . .r2 . t2 . cost cosit cos3/
C + C'ar -+- A0 -+- A0 At A, — A3
de telle manière que- soit égal à G(t) pour
toutes les valeurs de t pour lesquelles les séries qui représentent F (x + t) et F(x — t) sont convergentes. On aura alors les propositions suivantes :
I. Si les termes de la série û deviennent infiniment petits avec - pour toute valeur de x, alors la fonction
u2 / G(0 C0S[*(« — a)\(t)dl,
a(^) étant une fonction définie comme précédemment (§ IX), devient infiniment petite quand ij. croit au delà de toute limite. La valeur de l'intégrale se compose de deux parties
¥{x-+- £)cosfJi(£ — a)l(t) dt,
[— f F(x— t)cosp(t — a)l(t) dt,
toutes les fois que ces deux intégrales ont une valeur déterminée. La valeur de l'intégrale est donc rendue infiniment petite par la manière dont se comporte la fonction F en deux points situés symétriquement au-dessus et au-dessous de x. Il faut d'ailleurs remarquer qu'il doit exister, dans le cas actuel, des points pour lesquels chacune de ces parties, considérée en elle-même, ne devient pas infiniment petite; car, autrement, tous les termes de la série 0 finiraient par devenir infiniment petits avec - pour toute valeur
de l'argument x. Par conséquent, les valeurs correspondant à ces deux points, situés symétriquement par rapport à x, doivent alors ^e compenser, et cela de manière que leur somme tende vers zéro quand u croit infiniment. 11 s'ensuit que la série il ne peut être convergente que pour des valeurs de la quantité x pour lesquelles les points où
u.- / ¥(x)cos\i.(x — a)\(x)d.r
n'est pas infiniment petit pour x infini sont situés symétriquement. Si le nombre de ces intervalles symétriques est infiniment grand, il résulte évidemment de ce qui précède que la série trigonométrique pourra converger pour une infinité de valeurs de x, sans que ses coefficients deviennent infiniment petits avec - pour toute valeur de X.
Réciproquement, on a
Aa=-— f [g(0 — Ao -1 cosntdt,
et, par suite, An deviendra infiniment petit avec -, toutes les fois que
;jl2 f G(f)cos|x(<— -a)\(t)dt
deviendra infiniment petit quand \j. dépassera toute limite.
II. Si les termes de la série Q deviennent infiniment petits avec - pour la valeur x de L'argument, la convergence ou la divergence
de la série dépendra de la marche de la fonction G(t) pour une valeur infiniment petite de t et la différence entre
et l'intégrale
. ( 2 n -4- 1) t sin
sin —
p(t)dt
dtdeviendra infiniment petite avec -■, si b est une constante aussi
petite qu'on le voudra, comprise entre zéro et t, elp(t) une fonction telle que p(*), p'(0 soient toujours continues, et soient égales à zéro pour t = 6, et qu'en outre ?"(t) n'ait pas un nombre infini de maxima et de minima, et que, pour t = o, on ait
p(t) = o, p'(t) = o, p"(t) = o, o'"(() et pIV(0 demeurant finies et continues.
§XII
Les conditions nécessaires à la représentation d'une fonction par une série trigonométrique peuvent bien être encore un peu restreintes, et, par suite, nos recherches peuvent être encore poussées plus avant, sans qu'il soit fait aucune hypothèse particulière sur la nature de la fonction. Par exemple, dans le dernier théorème obtenu, la condition que p"(o) = o peut être supprimée, si l'on remplace, dans l'intégrale
G(7) par G(t) — G(o); mais on ne gagne ainsi rien d'essentiel.
Passons donc à la considération des cas particuliers, et proposons-nous d'indiquer, pour le cas où la fonction n'a pas un nombre infini de maxima ou de minima, les propositions complémentaires qu'on peut encore ajouter au travail de Dirichlet.
Il a été remarqué plus haut qu'une telle fonction peut toujours être intégrée partout où elle ne devient pas infinie, et il est évident qu'elle ne peut devenir infinie que pour un nombre limité de valeurs de l'argument. Dirichlet démontre aussi que, dans les expressions intégrales du nième terme de la série et de la somme des n premiers termes, la portion de l'intégrale relative à tous les intervalles, à l'exception de ceux où la fonction devient infinie et de l'intervalle infiniment petit comprenant la valeur de l'argu-
REPRÉSENTATION I>'lNE FONCTION PAR CNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQIE. 2Ô3
ment x, Éevient infiniment petite, quand n croit indéfiniment, et q u e '
. •>/;— i ,a + b sm (x — t)
où o < b < -, et oùf(t) ne devient pas infini dans les limites de l'intégration, converge, pour /? infini, vers T.f(x-~- o). et cette démonstration ne laisse rien à désirer, quand on supprime l'hypothèse inutile que f{x) soit continu. Il reste seulement à rechercher dans quels cas les intégrales relatives aux intervalles infiniment petits, dans lesquels la fonction devient infinie, deviennent infiniment petites, quand n augmente indéfiniment. Cette recherche n'a pas été faite; mais Dirichlet a seulement fait voir, en passant, que cela a lieu dès que l'on suppose que la fonction à représenter est susceptible d'intégration; mais cette hypothèse n'est pas nécessaire.
Nous avons vu plus haut que, si les termes de la série û deviennent infiniment petits avec - pour toute valeur de x, la fonction F(jt), dont f(x) est la dérivée seconde, doit être finie et continue, et que
est toujours infiniment petit avec a. Si maintenant la fonction
n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, alors, quand t deviendra nul, elle devra tendre vers une limite finie L ou devenir infinie, et il est évident que
- f [F'(x — t) — F'(x — t)]dt
F(a?-f- a) — iF(x)-+-F(a: — a)
devra de même converger vers L ou vers l'infini, et, par suite, que cette expression ne deviendra infiniment petite que si
a zéro pour limite. D'après cela, si /(x) devient infini pourx = ^,
il faut que Ton puisse toujours intégrer f[a -+- t) -)-/(« — l) jusqu'à t = o. Cela suffit pour que
I / -+- I ) dxf{x) cosn(x — a)
converge lorsque s tend vers zéro, et devienne infiniment petit quand n croît. Comme d'ailleurs la fonction F(.r) est finie et continue, F'(x) doit être susceptible d'intégration jusqu'à x = a, et (r — a) F1 (x) devenir infiniment petit avec x — a, si cette fonction n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, d'où il suit que
et, partant, que (x — a)f(x) pourra aussi être intégré jusqu'à x = a. D'après cela, f f(x) s\nn(x — a) clx peut aussi être intégré jusqu'à x = a, et pour que les coefficients de la série finissent par devenir infiniment petits, il suffira évidemment que l'in-
tégrale
f(x) sin n (x — a) dx,
'b où b<C ci <i c, devienne infiniment petite quand n croit. Posons
alors, si cette fonction, comme on le suppose, n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, on aura, pour n infini,
(c rc o(x)
/(x)s'mn(x — a)dx = I -^ — - s'mn(x — a) dx Jb x a
comme Dirichlet l'a prouvé. En conséquence,
o(fl + /) + o(a-0 =/(« -+- t) t — f(a — t) t doit devenir infiniment petit avec /, et comme
peut être intégré jusqu'à / = o et que, par suite,
f{a-ht)t+f(a — t)t
est infiniment petit avec t, on voit que /(a -+- t) t et aussi/iV/ — t) I doivent être infiniment petits avec /. En faisant abstraction des fonctions qui ont un nombre infini de maxima et de minima, nous vovons qu'il est nécessaire et suffisant, pour la représentation dune fonction par une série trigonométrique dont les termes sont
infiniment petits avec - > que, si elle devient infinie pour x = «,
f[a-t-t)t et /(a — t) t soient infiniment petits avec t, et cpie f(ci -+- t) -\-f(a — t) puisse être intégré jusqu'à / = o.
Une série trigonométrique, dont les coefficients ne finissent pas par devenir infiniment petits, ne peut représenter que pour un nombre fini de valeurs de x une fonction qui n'a pas un nombre infini de maxima et de minima, parce que
;i.2 / ¥{x)cos\l(x — a)\(x) dx «A
ne peut cesser d'être infiniment petit, pour u. infini, que pour un nombre limité de valeurs de x. Il est donc inutile d'insister sur cette hypothèse.
§ XIII
Pour ce qui concerne les fonctions qui ont un nombre infini de maxima et de minima, il ne sera pas inutile de remarquer qu'une telle fonction /(x) peut être susceptible d'une intégration, sans pouvoir être représentée par une série de Fourier [7]. Cela aura lieu, par exemple, si l'on a
d l xy> cos - )
f{X) = dx~^ (°<V<2-
entre zéro et i~. Car, clans l'intégrale
f f(x) cosn(x — a)dx.
quand n croît, l'influence de l'intervalle où x est très voisin de i/ — finit par devenir infiniment grande, en sorte que le rapport
de cette intégrale à
- sin I *2 y n — na -+- - j \/~ a 4
converge vers l'unité, comme on le trouvera en suivant une marche analogue à celle que nous allons indiquer. Pour généraliser l'exemple précédent, ce qui fera mieux ressortir la nature de la question, faisons
/ /O) dx = cp(a?) cos^(a?),
en supposant o{x) infiniment petit et 'l(x) infiniment grand, quand x tend vers zéro, ces fonctions étant d'ailleurs continues avec leurs dérivées, et n'ayant pas un nombre infini de maxima et de minima. On aura alors
f{x) — cp'(a?) cost^(^) — o(3?) §' (x) simj/(a?),
et J f{x)cosn(x — -a)dx sera égal à la somme des quatre intégrales
- / o'(x) cos[<l(;r) ± n(x — a)]dx,
— - / y(x)ty[(x)sin[ty(x)± n(x — a)\d.r. '\{x) étant supposé positif, considérons le terme
— - / o(x)<V(x) sinl^Çx) -h n(x — a)]dx,
et recherchons dans cet intervalle la place où les changements de signe du sinus se succèdent le plus lentement possible. Si l'on pose
cela aura lieu dans le voisinage des valeurs de x où -y- = o, et par
suite
REPRÉSENTATION d'cKE PONCTIOH PAB UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE. 267
en remplaçât x par x. Etudions dune la marche de l'intégrale
1 rx~z
1 «Aï — E
pour le cas où r est infiniment pelil pour « infini, et introduisons^ comme variable. Posons
•l\ aj — /?(a — a) = 3:
alors on a, pour ; suffisamment petit,
t-[ y y. est positif, puisque 'l(x) est infini positif pour x infiniment petit. On a d'ailleurs
suivant que a; — aï o, et
1 ra + £
; , 1 x) sin y dx
= l/ f F^ '"' * \ siDjfljy y(a)y(a)
Si l'on fait décroître la quantité £ pour n croissant, de telle manière que $"(<*■) t2 devienne infini, alors, en supposant que
r'sinOr + P)^,
qui est égal, comme on sait, à sin ( [3 — - ) \ -, ne soit pas nul, et en faisant abstraction de quantités négligeables, on aura
- / - r \ ?\n['l[x) -h n(x — a\]dx
= -si„(?-î)
Si donc cette dernière grandeur ne devient pas infiniment petite, comme l'intégrale relative aux autres intervalles tend vers zéro,
le rapport de / f(x) cosn(x — a) dx à cette même quantité
converge vers l'unité.
Si l'on suppose que v(oc) et 'b' (x) soient, pour x infiniment petit, du même ordre que certaines puissances de x, savoir, ®{x) de l'ordre de xv, <l'(x) de celui de x~V-~i, où v >• o, p-lo, alors,
pour n infini, v
cp(q)<!/(q)
sera de l'ordre de a % et, par suite, ne sera pas infiniment petit si jjl|; 2v. Mais, en générai, six<b'(x) ou, ce qui est la même chose,
si ^ — - devient infiniment grand pour# infiniment petit, on pourra
toujours choisir cp(#) de telle manière que xoÇx) soit infiniment petit avec x, et que
v/af(a7) t/2^L t/ 2lim 1
devienne infiniment grand, et, par suite, l'intégrale / f{x) dx
f{x) cos n(x — a) dx
devienne infiniment petite quand n croît indéfiniment. Comme on le voit, dans l'intégrale / f(x)dx, les accroissements de l'inté-
grale, quand x tend vers zéro, se compensent, quoique leur rapport à la variation de x croisse très rapidement pendant les rapides changements de signe de la fonction; par l'introduction du facteur cos/?, (x — «), on obtient ce résultat, que les accroissements de l'intégrale s'ajoutent en valeur les uns aux autres.
De même que nous venons de voir que, pour une fonction toujours susceptible d'intégration, la série de Fourier peut n'être pas convergente, et que les termes de cette série peuvent devenir infiniment grands avec /?, de même aussi on peut indiquer des fonctions qui ne sont jamais susceptibles d'intégration, et pour les-
quelles la s^rie ù converge pour une infinité de valeurs de x prises entre deux valeurs aussi rapprochées qu'on le veut.
On a un exemple de ce nouveau cas dans la fonction représentée par la série
où {nx) a la même signification qu'au § VI. Cette fonction existe pour toute valeur rationnelle de x, et est représentée par la série trigonométrique
\ „, -sm2/ia7ic [8],
où l'on doit mettre à la place de 8 tous les diviseurs de n, mais qui ne reste comprise entre des limites finies dans aucun intervalle, si petit qu'il soit, et, par conséquent, n'est susceptible d'aucune intégration.
On obtient un exemple du même genre lorsque, dans les séries
\ cncos n2x, \ cnsinn-x,
on met, pour c0, c{, c-2, • • • , des quantités positives toujours décroissantes et devenant infiniment petites, mais pour lesquelles
7 cs devient infiniment grand. Car, si le rapport de x à ir. est
rationnel, et s'il a pour dénominateur m, quand il est réduit à sa
plus simple expression, ces séries seront évidemment convergentes ou divergentes, suivant que
> cosn-x,
7 sinn5
seront égaux à zéro ou différents de zéro. Les deux cas se présentent, d'après un théorème connu de la division du cercle ( ' ), pour une infinité de valeurs de x, comprises entre des limites aussi rapprochées qu'on le veut.
(') Disquisit. arithm., p. 636, art. 356.
La série û peut aussi converger dans un intervalle aussi grand qu'on le veut, sans que la valeur de la série
dx
Jmà II-
que l'on obtient par l'intégration de chaque terme de û, puisse être intégrée dans un intervalle aussi petit que l'on voudra. Considérons, par exemple, l'expression
2^(i-V)iog[=
log(i — qn)~
où l'on prend les logarithmes de telle manière qu'ils s'évanouissent pour q = o, et développons-la suivant les puissances ascendantes de </, en y remplaçant g par exi\ la partie imaginaire du développement forme une série trigon orné trique qui, différenliée deux fois par rapport à x, converge un nombre infini de fois dans chaque intervalle, tandis que son premier quotient différentiel devient nul un nombre infini de fois.
Une série trigonométrique peut aussi converger un nombre infini de fois dans un intervalle aussi petit qu'on le veut, sans que
ses termes deviennent infiniment petits avec - pour toute valeur
de x. Un exemple simple est fourni par la série
2. sin(/t!) xiz,
où n ! désigne, comme d'habitude, le produit 1.2. 3.../?. Celte série converge non seulement pour toute valeur rationnelle de x, puisqu'elle est alors limitée, mais aussi pour un nombre infini de
valeurs irrationnelles, dont les plus simples- sontsini, cosi, ^?
et leurs multiples, et, en outre, les multiples impairs de c.
de — - — , etc. [91.
TABLE DES MATIÈRES
Historique de la question de la possibilité de représenter une fonction
par une série trigonométrique.
Paragraphe*. Pages.
