X.2(") = - X,(- 71), X'2(-) = - X', (- Tt

Alors l'on obtient, comme dans la Note [5], ;jl2 / <P(f)l1(t)eosix(a — t)dt

= [x2 C &(t)k(t)cos\i(a — t)dt— \j.- f <ï>(t)l.2(t)cosix(a — t)dt,

et les deux termes du second membre s'évanouissent, d'après le théorème III, § VIII, pour [i. croissant indéfiniment. L'on procédera de même pour les parties restantes de l'intégrale en question.

[7] (p. 265). On peut ici renvoyer aux travaux de P. du Bois-Reymond, qui ont, après Riemann, fait faire des progrès essentiels à la théorie des séries trigonométriques. Il y est démontré par des exemples qu'il existe des fonctions partout finies et continues, possédant une infinité de maxima et minima, et qui ne sont pas susceptibles de représentation par des séries trigonométriques.

[8] (p. 269). Par le symbole \ — ( — 1)®, l'on doit entendre une somme

d'unités positives et négatives, telle qu'à chaque diviseur pair de n correspond un terme négatif et à chaque diviseur impair de n un terme positif. On trouve ce développement (par un procédé qui n'est pas tout à fait à l'abri d'objections) en exprimant la fonction f(x) par la formule connue

. IIWKX

sin j

(nx)

, . v^ (nx) en portant cette expression dans la somme > et en intervertissant

l'ordre des sommations.

| il | 1 p. Wû). La valeur

le

ainsi que Genocchi le fait remarquer dans une Note relative à cet exemple (Intorno ad alcune série; Torino, 1870), ne fait pas partie des valeurs

pour lesquelles la série N sin(«! a?ir) est convergente. Du reste, pour

la série, contrairement à ce que dit Genocchi, n'est pas non plus convergente.

SUR