XI. Réduction de ce cas au précédent
Considération de certains cas particuliers.
XII. Fonctions qui n'ont pas un nombre infini de maxima et de minima. 262
XIII. Fonctions qui ont un nombre infini de maxima et de minima.... 265
NOTES
[1] (p. 237). Supposons que la fonction f(x) ne croisse pas dans l'intervalle A entre x et xt > x, et désignons par g la limite supérieure des valeurs que prend /(x -+- £) pour o < £ < A, c'est-à-dire une valeur qui n'est surpassée par aucune de ces valeurs fonctionnelles, mais qui peut être atteinte avec tout degré quelconque d'approximation; ceci posé, g — f(x -+- £) ne diminuera jamais pour \ croissant, mais devra néanmoins encore être infiniment petit, c'est-à-dire que l'on aura
Lim[g-— /(ay-j-É)] = o, g=f(x-+-o).
Le théorème qu'un système S de nombres réels, dont les individus, se présentant en nombre s fini ou infini, ne peuvent surpasser une valeur numérique finie, possède une limite supérieure, est, il est vrai, énoncé avec précision et démontré pour la première fois par Weierslrass (comparer O. Biermann, Théorie des Fonctions analytiques, §1G; Leipzig, Teubner). La démonstration, basée sur les intuitions de Dedekind relatives aux nombres irrationnels {Continuité et nombres irrationnels, Brunswick, 1872; Vieweg), est très simple. En effet, si l'on partage la suite des nombres réels en deux parties A et B, de telle sorte que chaque nombre a de A soit surpassé par des nombres du système S, et que chaque nombre b de B ne le soit pas, ces deux parties A et B sont séparées par un nombre existant g qui possède évidemment les attributs caractéristiques de la limite supérieure de S.
[2] (p. 242). Ici se place un fragment de note de la main de Riemann, que nous chercherons à exposer comme il suit, car cela est nécessaire pour compléter la démonstration que l'évanouissement de A avec d est aussi la
REPRÉSENTATION D'DNB FONCTION PAR LNE SÉRIE TRIGOXOMÉTRIQIE. 2^3
condition Affisante jpour la convergence de S. Il pourrait sembler, lorsque pour deux subdivisions différentes où les intervalle? S', o" sont plus petits que d, et où la différence, par suite, entre les valeurs maxima et niinima de la somme S (limites supérieure et inférieure) que nous désignerons pour les deux subdivisions par S' et S , est plus petite qu'une grandeur donnée t. il pourrait sembler, dis-je, que les sommes S' et S" elles-mêmes puissent différer d'une quantité finie.
Pour en reconnaître l'impossibilité, formons une troisième subdivision o à laquelle corresponde la somme S. en prenant ensemble les deux subdivisions 8' et o". Comme maintenant chaque élément o' est constitué par un nombre entier d'éléments o, alors, lorsque l'on considère une valeur quelconque de S, la somme des termes de S, correspondant à ces éléments 8, est située entre la plus grande et la plus petite valeur du terme de S' correspondant à l'élément 8', et, par suite aussi, la somme totale S sera située entre la plus grande et la plu< petite valeur de S"; par conséquent, S, S', S" ne peuvent différer entre eux au plus que de t.
[3] (p.24{>. Voici comment l'on démontre que toute fonction finie flx) qui ne croit pas entre les limites a et b. et que, par suite, toute fonction qui ne possède pas un nombre infini de maxima et de minima, est susceptible d'intégration.
Soient
a = Xi < Xi < x3t ..., <xn=b,
ol=xi — xi, o2 = a\3 — #2, ■■■, o„i = xn — Xn-l,
Di =/(*,)— f(x2), Di=f(x2)-f(x3), ....
D, - D2 -D3 -+-... vD,, =/(«)— /(6).
Puisque, d'après l'hypothèse, f{x) ne croît pas, les grandeurs D1; D2, ..., DB i sont les oscillations maxima dans les intervalles Si, 82, . . ., în-i, et toutes sont positives ou au moins aucune d'elles n'est négative. Si m est le nombre de ces intervalles où D est > s*, l'on a
nttf </(<*)-/(*)
Par conséquent, si tous les intervalles o sont plus petits que d, alors la grandeur totale des intervalles, où la plus grande oscillation est supérieure
a 7. est
< /w-/wVi
et sera, par conséquent, comme nous voulions le démontrer, infiniment petite en même temps que d.
274 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN. [4] (p. 254)- Les grandeurs B^±n employées ici ont pour expression
Bm,+,j = - cos([ji -\- n) (x — a) (a n sin/ia -t- bn cos na)
H — sin( [J. -t- n) (x — a) (atl cos na — ba sin na),
Bn 7i = - cos([j. — n)(x — a) (a„ sin«a -t- bn cosna)
sin( [x — n){x — a) (an cos na — bn sin na).
Pour compléter, il reste encore à démontrer que
[i.2 / G-f-C'ï + Ao — jcos;a(ir — a)\(x)clx
a aussi pour valeur zéro. On y arrive de la manière la plus simple en posant
C + C^ + Aj — cos u(x — a) = -r— ,
\ 2 / \X'2 dx2
3A0 n, . a?2\ N fr, . sinjx(# — «i
/ 3 An .r2\
B = / G — — - — H Cx -t- A0 — j cos[i.(ar — a) — i(C'-\-X0x)
et en employant deux fois successivement l'intégration par parties. Les intégrales telles que
Jcos|jl(^ — a)l"(x) dx, I sm[i(x — a)\"{x)dx
b Jb
s'évanouissent pour \x croissant indéfiniment; on peut le démontrer, soit d'après la méthode de Dirichlet, soit encore plus simplement au moyen du théorème de la moyenne de Du Bois-Reymond; par conséquent, lorsque cp(3?) désigne une fonction qui n'est jamais croissante ou jamais décroissante entre les limites b et c, et \ une valeur comprise entre b et c, l'on a
/ f(x)^(x)dx — o(b) j f(x)dx -h o(c) I f(x)dx.
[5] (p. a56). Les théorèmes exposés au § II demandent un éclaircissement. Puisque la fonction /(x) est supposée posséder une période 2-tt, la fonction
F(a? + aiO — F(a?) = <p(a?)
doit avoir cette propriété que
o(.r -~ a -i- (3) — o(x -+- ol — (3) — y(x — %-\-$)-±- y(x — a — (3)
sous les hypothèses faites dans le texte, devra tendre avec » et (ï vers la limite zéro. Par suite. y(x) est une fonction linéaire de x, et les constantes G', A0 peuvent donc être déterminées telles que
soit une fonction de x possédant la période itz.
Maintenant, relativement à la fonction F(x), l'on a encore fait cette hypothèse que, pour des limites quelconques b et c,
li- ! F(x) cos[i(x — a)\(x)dx
tend vers la limite zéro pour u. croissant indéfiniment, si X(a?) satisfait aux conditions posées dans le texte; d'où il s'ensuit que. sous les mêmes hypothèses,
(x2 / <P(x) cos p(x — a)l(x) dx
tend vers la limite zéro.
Soient maintenant
et supposons, ce qui est permis, que l'on ait, dans l'intervalle de — - à -t-ir,
\(x) = 1; il s'ensuit alors que
[x- I <i>(x) cos\i.(x — a ) À(.r) dx -+- jjl2 / <ï> (x) cos[i(x — a)l(x)dx
-+-[1-1 <£>(x) cos\x(x — a) dx
a aussi pour limite zéro. On peut maintenant, lorsque \x est un nombre entier n, en ayant égard à la périodicité de &(x), remjjlader cette somme par
n- I <&(x) cosn(x — a)Xi(x) dx -h n2 j <&(x) cosn(x — a) dx.
quand, dans l'intervalle de b -4- 21: à %, l'on a li(x) = l{x — ait), et quand, dans l'intervalle de tt à c, l'on a
XiO) = l(x).
de telle sorte que, entre les limites b -+- 2- et c, \\{x) satisfait aux hypothèses relatives à la fonction X(x).
Par conséquent, le premier terme de la précédente somme, pris séparément, a comme valeur limite zéro, et, par suite aussi, la valeur limite de
\x- I <&(x) cos }i(x — a) dx est égale à zéro. "■
[6] (p. 257). Ici, relativement à la fonction X(#), il semble que l'on devrait ajouter cette condition : qu'après l'intervalle 2tt elle se reproduit périodiquement (ce qui est compatible avec l'hypothèse ultérieure). En effet, l'intégrale en question, par exemple, ne tendrait pas vers zéro, si l'on posait
F(t)— C'(*) — A0 — = const. et X(t) = (x — ty.
Au contraire, en admettant la périodicité de A (a?), l'on prouvera facilement que l'intégrale s'évanouit, en opérant explicitement la différentiation
. 1 n -+- 1 sin x
dd
. x — / sin
en appliquant le théorème III, § VIII, et en employant un raisonnement analogue à celui de la Note [o].
Relativement aux Notes [5] et [6] qui, dans la première édition de Riemann, portaient les numéros (1) et (2), M. Ascoli a élevé diverses objections dans un travail Sur les Séries trigonométriques (Accademia dei Lincei, 1880). Nous laissons d'ailleurs ces Notes sans y rien changer; on pourrait cependant y ajouter encore ceci :
La démonstration du théorème, d'après lequel la fonction désignée par o(x) dans la Note [5] doit être linéaire (je renverrai à ce sujet à un travail de G. Cantor dans le Journal de Crelle, t. 72, p. i4i), présuppose d'ailleurs que la fonction f{x) existe pour toute valeur de x (et, par conséquent aussi, est finie). Mais les numéros I, II du § IX me semblenl, en général, tout à fait admissibles quand on ne fait qu'admettre cette existence, et alors il va de soi, comme le veut Ascoli, que la condition d'être transir2
formée, par l'addition d'une expression — G' (x) — A0 — > en une fonction
périodique fait aussi partie des conditions relatives à la fonction F(x). Si l'on abandonne cette hypothèse de l'existence générale de la fonction f(x), il peut y avoir une infinité de fonctions diverses F(x) qui diffèrent entre elles par des expressions qui ne sont pas purement linéaires. Le § IX, théor. III, conserve d'ailleurs encore son sens lorsque l'existence générale
de f(x) n'est pas présupposée, et lorsque, connue dans le § VIII, F(x) est définie par la série
Relativement à la Note [6], il faut ajouter qu'il suffit, puisque la fonction ).(£) ne se présente dans les formules du texte qu'entre l'intervalle — - à — -, non de présupposer la périodicité de X( t) et /.'( n, mais seulement d'admettre les formules ).(-) = X( — -).).'(-) = X'( — ~) et, par suite, d'admettre non la périodicité proprement dite, mais la possibilité du prolongement continu périodique.
Mais, puisque la fonction
<->t définie, page ij~>. par la série
Ai
et non pas, comme le suppose Ascoli, par
As
Ao ,,
— ■ t2 serait une con-
alors l'hypothèse en question que F(t) — C'(t)
stante différente de zéro est parfaitement admissible.
Je dois aussi exposer avec un peu plus de précision le procédé que, par analogie avec la Note [o], j'ai appliqué à la démonstration de l'évanouissement de l'intégrale
dd
dt*
\{t)dt.
Si l'on pratique la différentiation sous le signe, on obtient une expression à plusieurs termes, dont un terme, si l'on pose, pour abréger,
[jl, sera
sin u. (x — t) dt
ou. si l'on pose encore ~k(t) = ^i(t) sin et x = a -f- -,
<î>(t)l1(t)cos\j.(a — t) dt.
Choisissons maintenant b et c, de telle sorte que l'intervalle de b à c renferme l'intervalle de — - à tt, et déterminons dans le premier intervalle une fonction k(t), telle qu'entre — - et -+- tc l'on ait
mais telle que k(l) et k'(t ) s'évanouissent aux limites; déterminons ensuite
une fonction X2(0 dans l'intervalle de b ■+■ ait à c, telle qu'entre b -+■ 2it
et tt l'on ait
X2(0 = — l(t — aie),
et qu'entre tï et c l'on ait
Xs(*) — X(£),
ce qui, par conséquent, présuppose que l'on ait
