IL

Etant donné un concept dont les modes de détermination forment une variété continue, si l'on passe, suivant une manière déterminée, d'un mode de détermination à un autre, les modes de détermination parcourus formeront une variété étendue dans un seul sens, dont, le caractère essentiel est que, dans cette variété, on ne peut, en partant d'un point, s'avancer d'une manière continue

que dans deux directions : en avant et en arrière. Imaginons maintenant que cette variété se transporte à son tour sur une autre variété complètement distincte, et cela encore d'une manière déterminée, c'est-à-dire tellement que chacun de ses points se transporte en un point déterminé de l'autre variété; l'ensemble des modes de détermination ainsi obtenus formera une variété de deux dimensions. On obtiendra semblablement une variété de trois dimensions, si l'on conçoit qu'une variété de deux dimensions se transporte d'une manière déterminée sur une autre complètement distincte, et il est aisé de voir comment on peut poursuivre cette construction. Si, au lieu de considérer le concept comme déterminable, on considère son objet comme variable, on pourra désigner cette construction comme la composition d'une variabilité de n + i dimensions, au moyen d'une variabilité de /? dimensions et d'une variabilité d'une seule dimension.

§ III

Je vais maintenant montrer réciproquement comment une variabilité, dont le champ est donné, peut se décomposer en une variabilité d'une dimension et une variabilité d'un nombre de dimensions moindre. Concevons, pour cela, une portion variable d'une variété d'une dimension, comptée à partir d'un point fixe, de façon que ses valeurs soient comparables entre elles; supposons que cette portion ait, pour chaque point de la variété donnée, une valeur déterminée, changeant avec ce point d'une manière continue; ou, en d'autres termes, imaginons, à l'intérieur de la variété donnée, une fonction continue du lieu, fonction qui ne soit pas constante le long d'une portion de cette variété. Tout système de points, pour lequel la fonction a une valeur constante, forme alors une variété continue d'un moindre nombre de dimensions que la variété donnée. Ces variétés, lorsqu'on fait varier la fonction, se transforment d'une manière continue les unes dans les autres; on pourra donc admettre que l'une d'entre elles engendre les autres, et cela pourra avoir lieu, généralement parlant, de telle façon que chaque point de l'une se transporte en un point déter-

miné de l'autre. Les cas d'exception, dont l'étude est importante, peuvent être ici laissés de côté. Par là, la détermination de lieu dans une \ aiiété donnée se ramène à une détermination de grandeur, et à une détermination de lieu dans une variété d'un moindre nombre de dimensions. Or, il est aisé de faire voir que cette dernière variété an — i dimensions, lorsque la variété donnée ena«. En répétant n fois ce procédé, la détermination de lieu dans une variété de n dimensions se trouvera donc ramenée à n déterminations de grandeur, et ainsi la détermination de lieu dans une variété donnée, quand cela est possible, se réduit à un nombre fini de déterminations de quantité. Toutefois il y a aussi des variétés dans lesquelles la détermination de lieu exige, non plus un nombre fini, mais soit une série infinie, soit une variété continue de déterminations de grandeur. Telles sont, par exemple, les variétés formées par les déterminations possibles d'une fonction dans une région donnée, par les formes possibles d'une figure de l'espace, etc.

B. — Rapports métriques dont est susceptible une variété de n dimensions, dans l'hypothèse où les lignes possèdent une longueur, indépendamment de leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute autre ligne.

Après avoir construit le concept d'une variété de n dimensions, et trouvé pour caractère essentiel d'une telle variété cette propriété que la détermination de lieu peut s'y ramener à n détei'minations de grandeur, nous arrivons au second des problèmes posés plus haut, savoir à l'étude des rapports métriques dont une telle variété est susceptible, et des conditions suffisantes pour la détermination de ces rapports métriques. Ces rapports métriques ne peuvent être étudiés que dans des concepts de grandeur abstraits, et leur dépendance ne peut se représenter que par des formules. Dans certaines hypothèses, cependant, ils sont décomposables en rapports qui, pris séparément, sont susceptibles d'une représentation géométrique, et par là il devient possible d'exprimer géométriquement les résultats du calcul. Ainsi, pour arriver à un terrain solide, on ne peut, il est vrai, éviter dans les formules

les considérations abstraites, mais du moins les résultats du calcul pourront ensuite être représentés sous forme géométrique. Les fondements de ces deux parties de la question sont établis dans le célèbre Mémoire de M. Gauss : Disquisitiones générales circa superficies car vas.

Les déterminations métriques exigent l'indépendance entre les grandeurs et le lieu, ce qui peut se réaliser de plusieurs manières. L'hypothèse qui s'offre d'abord, et que je développerai ici, est celle dans laquelle la longueur des lignes est indépendante de leur position, et où par suite chaque ligne est mesurable au moyen de chaque autre. La détermination de lieu étant ramenée à des déterminations de grandeurs, et la position d'un point dans la variété donnée à n dimensions étant, par suite, exprimée au moyen de n grandeurs variables x{1 x2, x3: ..., x/n la détermination d'une ligne reviendra à ce que les quantités x soient données comme des fonctions d'une variable. Le problème consiste alors à établir une expression mathématique de la longueur d'une ligne, et à cet effet il faut considérer les quantités x comme exprimables en unités. Je ne traiterai ce problème que sous certaines restrictions, et je me bornerai d'abord aux lignes dans lesquelles les rapports entre les accroissements dx des variables x correspondantes varient d'une manière continue. On peut alors concevoir les lignes décomposées en éléments, dans l'étendue desquels les rapports des quantités dx puissent être regardés comme constants, et le problème revient alors à établir, pour chaque point, une expression générale de l'élément linéaire ds partant de ce point, expression qui contiendra ainsi les quantités .r et les quantités dx. J'admettrai, en second lieu, que la longueur de l'élément linéaire, abstraction faite des quantités du second ordre, reste invariable, lorsque tous les points de cet élément subissent un même déplacement infiniment petit, ce qui implique en même temps que, si toutes les quantités dx croissent dans un même rapport, l'élément linéaire varie également dans ce même rapport. Ces hypothèses

admises, l'élément linéaire pourra être une fonction homogène quelconque du premier degré des quantités dx, qui restera invariable lorsqu'on changera les signes de toutes les quantités dx, et dans laquelle les constantes arbitraires seront des fonctions contiaues des quantités x. Pour trouver les cas les plus simples, je chercherai d'abord une expression pour les variétés de n — i dimensions qui sont partout équidistantes de l'origine de l'élément linéaire; c'est-à-dire que je chercherai une fonction continue du lieu qui les distingue les unes des autres. Cette fonction devra ou croître ou décroître dans toutes les directions à partir de l'origine; j admettrai qu'elle croisse dans toutes les directions, et qu'ainsi elle ait un minimum à l'origine. Il faut alors, si ses quotients différentiels du premier et du second ordre sont finis, que la différentielle du premier ordre s'annule, et que celle du second ordre ne devienne jamais négative; j'admettrai qu'elle reste toujours positive. Cette expression différentielle du second ordre reste donc constante, lorsque ds reste constant, et croît dans le rapport des carrés, lorsque les quantités dx et par suite aussi ds varient toutes ensemble dans un même rapport; elle est donc = const. X ds2, et par conséquent ds = la racine carrée d'une fonction entière homogène du second degré, toujours positive, des quantités dx, dans laquelle les coefficients sont des fonctions continues des quantités x. Pour l'espace, si l'on exprime la position du point en coordonnées rectangulaires, on a ds = y/2 (dx)'1 ; l'espace est donc compris dans ce cas le plus simple de tous. Le cas le plus simple après celui-là comprendrait les variétés dans lesquelles l'élément linéaire serait exprimé par la racine quatrième d'une expression différentielle du quatrième degré. L'étude de cette classe plus générale n'exigerait pas des principes essentiellement différents, mais elle prendrait un temps assez considérable, et ne contribuerait pas beaucoup, relativement, à éclaircir la théorie de l'espace, d'autant plus que les résultats ne pourraient s'exprimer géométriquement. Je me bornerai donc aux variétés dans lesquelles l'élément linéaire est exprimé par la racine carrée d'une expression différentielle du second degré. Une telle expression peut être transformée en une autre semblable, en remplaçant les n variables indépendantes par des fonctions de n nouvelles variables indépendantes. Mais on ne pourra pas, par ce moyen,

transformer une expression quelconque en une autre expression quelconque; car l'expression contient n — — ■ coefficients, qui sont

des fonctions arbitraires des variables indépendantes; or, par l'introduction de nouvelles variables, on ne pourra satisfaire qu'à n relations, et par suite on ne pourra égaler que n des coefficients à des quantités données. Les n coefficients restants

sont alors complètement déterminés par la nature même de la variété qu'il s'agit de représenter, et ainsi la détermination de

ses rapports métriques exige n fonctions du lieu. Les variétés dans lesquelles l'élément linéaire peut, comme dans le plan et dans l'espace, se ramener à la forme y/S (dx)-, ne forment donc qu'un cas particulier des variétés que nous étudions ici; elles méritent un nom spécial, et j'appellerai, en conséquence, les variétés dans lesquelles le carré de l'élément linéaire peut se ramener à une somme de carrés de différentielles complètes, variétés planes. Pour pouvoir maintenant passer en revue les diversités essentielles de toutes les variétés susceptibles d'être représentées sous la forme considérée, il est nécessaire de laisser de côté les diversités provenant du mode de représentation, et l'on y parvient en choisissant les grandeurs variables d'après un principe déterminé.

A cet effet, imaginons que, à partir d'un point donné, on ait construit le système des lignes de plus courte distance qui passent par ce point; la position d'un point indéterminé pourra être fixée alors au moyen de la direction initiale de la ligne de plus courte distance sur laquelle il se trouve, et de sa distance comptée sur cette ligne à partir de l'origine et, par conséquent, elle pourra s'exprimer au moyen des rapports dx° des quantités dx sur cette ligne de plus courte distance, et au moyen de la longueur s de cette ligne. Introduisons maintenant, au lieu de dx°, des expressions linéaires da, formées avec ces quantités, et telles que la valeur initiale du carré de l'élément soit égale à la somme des

carrés île ces expressions, de telle sorte que les variables indépendantes soient la grandeur 5 et les rapports des quantités dcc; et

remplaçons enfin les dx par des quantités x{. .r., rn qui leur

soient proportionnelles, et dont la somme des carrés soit = s-. Si l'on introduit ces grandeurs, alors, pour des valeurs infiniment petites des x, le carré de l'élément linéaire sex*a — ï <7.r- ; le terme de l'ordre suivant dans ce carré sera égal à une fonction homogène

du second degré des n — - grandeurs (xt dx2 — x2dxt),

(xtdx3 — x3dxK . ..., c'est-à-dire qu'il sera un infiniment petit du quatrième ordre; de telle sorte que l'on obtienl une grandeur finie en divisant ce terme par le carré du triangle infiniment petit dont les sommets correspondent aux systèmes de valeurs

(0,0,0 1 ./■, , X2, .'':;,.. .), (//'• 1 , dx2, dx3, .. .) des variables.

Ce terme conserve la même valeur, tant que les quantités x et dx sont contenues dans les mêmes formes linéaires binaires, ou tant que les deux lignes de plus courte dislance, depuis les valeurs o jusqu'aux valeurs x el depuis les valeurs o jusqu'aux valeurs dx. restent dans le même élément superficiel, et il ne dépend, par conséquent, que du heu et de la direction de ce! élément. Ce terme est évidemment = o, lorsque la variété représentée est plane, c'est-à-dire lorsque le carré de l'élément linéaire est réductible à Hdx2, et il peut, par conséquent, être considéré comme la mesure de la quantité dont la variété s'écarte de la planarité ( ' ) en ce point et dans cette direction superficielle. En le multipliant par — |, il devient égal à la quantité que Gauss a appelée la mesure de courbure d'une surface. Pour déterminer les rapports métriques dune variété à 11 dimensions, susceptible d'une représentation sous la forme supposée, on a trouvé tout à

l'heure que n fonctions du lieu sont nécessaires; si donc on

donne, en chaque point, la mesure de la courbure suivant n

directions superficielles, on pourra déterminer par leur moyen les rapports métriques de la variété, pourvu seulement qu'entre cevaleurs il n'existe pas des relations identiques, relations qui, effectivement, n'existent pas en général. Les rapports métriques de

(') Ebenheit dans l'original. — (J. Houel. )

ces variétés, où l'élément linéaire est représenté par la racine carrée d'une expression différentielle du second degré, peuvent ainsi s'exprimer d'une manière tout à fait indépendante du choix des grandeurs variables. On peut encore, dans ce but, suivre une marche toute semblable dans le cas des variétés où l'élément linéaire s'exprime moins simplement, par exemple, au moyen de la racine quatrième d'une expression différentielle du quatrième degré. Alors l'élément linéaire ne serait plus, en général, réductible à la forme de la racine carrée d'une somme de carrés d'expressions différentielles, et par conséquent, dans l'expression du carré de l'élément linéaire, l'écart de la planarité serait un infiniment petit du deuxième ordre, tandis que, dans les variétés considérées précédemment, cet écart était un infiniment petit du quatrième ordre. Cette propriété de ces dernières variétés peut bien être nommée planarité dans les parties infinitésimales. Mais la propriété de ces variétés, la plus importante pour notre objet actuel, et la seule en vue de laquelle nous avons étudié ici ces variétés, est celle qui consiste en ce que les rapports des variétés de deux dimensions peuvent se représenter géométriquement par des surfaces, et que ceux des variétés d'un plus grand nombre de dimensions peuvent se ramener à ceux des surfaces qu'elles renferment. Cela demande encore une courte explication.

§ III

Dans la manière de concevoir les surfaces, aux rapports métriques intrinsèques, dans lesquels on n'a à considérer que les longueurs des chemins tracés sur ces surfaces, se mêle toujours l'idée de leur position relativement aux points placés en dehors d'elles. Mais on peut faire abstraction des rapports extérieurs, lorsqu'on fait subir à ces surfaces des changements tels que les longueurs des lignes qui v sont situées restent invariables, c'està-dire lorsqu'on les suppose flexibles sans extension, et que l'on considère comme de même espèce toutes les surfaces ainsi obtenues. Ainsi, par exemple, des surfaces cylindriques ou coniques quelconques seront regardées comme équivalentes à un plan,

HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDEMENT A LA UÉOMÉTRIE. agi

parce quelles peuvent s'y appliquer par simple flexion, leurs rapport-; métriques intrinsèques demeurant invariables, et toutes les propositions qui concernent ces rapports, c'est-à-dire toute la planimétrie, continuant à subsister. Elles sont, au contraire, 5S intiellement non équivalentes à la sphère, qui ne peut passe transformer sans extension en un plan. D'après la recherche précédente, les relations métriques intrinsèques, dans une grandeur à deux dimensions, lorsque l'élément linéaire peut s'exprimer par la racine carrée d'une expression différentielle du second degré, comme cela arrive dans les surfaces, sont caractérisées en chaque point par la mesure de courbure. On peut donner à cette quantité, dans le cas des surfaces, une interprétation sensible aux \eu\, en établissant quel est le produit des deux courbures de la surface au point considéré, ou encore, que son produit par un triangle infiniment petit, formé de lignes de plus courte distance, est égal à la moitié de l'excès de la somme des angles de ce triangle, évalués en parties du rayon, sur deux angles droits. La première définition supposerait ce théorème, que le produit des deux rayons de courbure reste invariable lorsque la surface subit une simple flexion; la seconde supposerait que, pour le même lieu, l'excès de la somme des angles d'un triangle infiniment petit sur- deux angles droits est proportionnel à l'aire du triangle. Pour donner une représentation saisissable à la mesure de courbure d'une variété de /i dimensions en un point donné et suivant une direction superficielle donnée passant par ce point, il faut partir de ce qu'une ligne de plus courte distance, partant d'un point, est complètement déterminée, quand on donne sa direction initiale. D'après rela, on obtient une surface déterminée en prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, toutes les directions initiales parlant du point donné et situées sur l'élément superficiel donné, et cette surface a, au point donné, une mesure de courbure déterminée, qui est en même temps la mesure de courbure de la variété de n dimensions au point donné et suivant la direction superficielle donnée.

Avant de passer aux applications à l'espace, il faut encore présenter quelques considérations sur les variétés planes en général, c'est-à-dire sur les variétés dans lesquelles le carré de l'élément linéaire peut être représenté par une somme de carrés de différentielles exactes.

Dans une variété plane de n dimensions, la mesure de courbure en chaque point et dans chaque direction est nulle; or, d'après la discussion précédente, il suffit, pour déterminer les rapports métriques, de savoir qu'en chaque point elle est nulle suivanl

n directions superficielles, dont les mesures de courbure

sont indépendantes entre elles. Les variétés dont la mesure de courbure est partout =0 peuvent être considérées comme un cas particulier des variétés dont la mesure de courbure est partout constante. Le caractère commun de ces variétés, dont la mesure de courbure est constante, peut aussi s'exprimer en disant que les figures peuvent s'y mouvoir sans subir d'extension. Car il est évident que les figures ne pourraient y être susceptibles de translations et de rotations arbitraires, si la mesure de courbure n'était la même en chaque point et dans toutes les directions. Mais, d'autre part, les rapports métriques de la variété sont complètement déterminés par la mesure de courbure; donc les rapports métriques autour d'un point et dans toutes les directions sont exactement les mêmes qu'autour d'un autre point, et par suite on peut, à partir de ce point, exécuter les mêmes constructions, d'où il s'ensuit que, dans les variétés où la mesure de courbure est constante, on peut donner aux figures une position arbitraire quelconque. Les rapports métriques de ces variétés dépendent seulement de la valeur de la mesure de courbure, et, quant à la ' représentation analytique, nous remarquerons que, si l'on désigne cette valeur par x, on pourra donner à l'expression de l'élément linéaire la forme

' y 2 dx*.

oc

i+7l xl\

Pour éclaircir ce qui précède par un exemple géométrique, considérons 1rs surfaces de mesure de courbure constante. Il est aisé tle voir que les surfaces dont la mesure de courbure est constanteet positive peuvenl toujours s'appliquer sur une sphère dont le rayon est égal à l'unité divisée par la racine carrée de la mesure de courbure; mais, pour embrasser d'un coup d'oeil la variété tout entière de ces surfaces, donnons à Tune d'elles la forme d'une sphère, et aux autres la forme de surfaces de révolution la louchant suivant l'équateur. Les surfaces de plus grande mesure de courbure que cette sphère toucheront alors la sphère intérieurement et prendront une forme semblable à la partie extérieure (lune surface annulaire, la plus éloignée de Taxe de cette surface. Elles seraient applicables sur des zones de sphères de rayon moindre, mais recouvriraient ces zones plus d'une fois. Les surfaces de moindre mesure de courbure positive s'obtiendront en découpant, sur des surfaces sphériques de plus grand rayon, un fuseau limité par deux demi-grands cercles, et unissant entre elles les lignes de section. La surface de mesure de courbure nulle sera une surface cylindrique avant pour base l'équateur; les surfaces de mesure de courbure négative toucheront ce cylindre extérieurement et auront une forme semblable à celle de la partie intérieure d'une surface annulaire, tournée vers l'axe. Si l'on considère ces surfaces comme le lieu où peut se mouvoir un segment superficiel, de même que l'espace est le lieu où se meuvent les corps, le segment superficiel sera mobile sans extension sur toutes ces surfaces. Les surfaces à mesure de courbure positive pourront toujours recevoir une forme telle que les segments superficiels puissent, de plus, s'y mouvoir sans flexion, et cette forme sera celle d'une sphère; mais cela ne se peut plus dans le cas de la mesure de courbure négative. Outre cette propriété des segments superficiels d'être indépendants du lieu, la surface de mesure de courbure nulle possède encore la propriété que la direction est indépendante du lieu, propriété qui n'existe pas chez les autres surfaces.