A PLUS DE 111 PERIODES NE SAURAIT EXISTER

Extrait d'une Lettre de Riemann à M. Weierslrass (Journal de Crelle, t. 71!

(Œuvres de Riemann, ■" édition, page 29^.)

La démonstration de ce théorème, qui a dernièrement fait

l'objet de notre entretien, qu'une fonction uniforme de n variables à plus de 2/î périodes ne saurait, exister, je ne l'ai pas exposée d'une manière tout à fait claire dans le cours de notre conversation, et j'en ai seulement indiqué les idées de base. Je vous en fais donc part ici encore une fois.

Soit f une fonction 2 n-upleihent périodique de n variables x{ , .r.±. ..., x,nel — je puis faire usage de mes notations qui vous sont bien connues — soit a^ le module de périodicité de xv relatif à la -jLieme période. L'on sait que les grandeurs x peuvent se mettre sous la forme ( ' )

\i. — in

XV = ^J (t\i. £"•) [1=1

où v = i, 2, ..., n, de telle sorte que les grandeurs £ soient

(') Ce n'est pas toujours le cas; cela n'a lieu que lorsque les in équations qui déterminent les grandeurs \ sont indépendantes entre elles. Mais les exceptions sont faciles à traiter. — (Riemann.)

LETTRE DE li II MANN A WEIERSTRASS. OOI

réelles. Si Von fait maintenant prendre aux grandeurs^ les valeurs comprises entre oeti, une de ces valeurs limites étant exclue, le domaine de grandeurs 2/z-uplement étendu ainsi formé jouit de cette propriété que chaque système de valeurs des n variables est congru à un seul et unique système de valeurs, à l'intérieur de ce domaine de grandeurs, pour les m systèmes de modules. Pour abréger le langage dans ce qui suit, je désignerai ce domaine sous le nom de système de grandeurs qui se reproduit périodiquement pour ces an systèmes de modules.

Maintenant, si la fonction possède encore un (2^ H- i)ième s\> lèine de modules, qui ne peut être composé au moyen des 2/1 premiers systèmes de modules, on peut alors ramener les systèmes de grandeurs, congrus à un système de grandeurs pour ce (2/i + i)ième système de modules, à des systèmes de grandeurs compris dans ce domaine et congrus au système de grandeurs précédent pour les in premiers systèmes de modules; delà sorte, on peut évidemment obtenir autant que l'on voudra de systèmes de grandeurs, compris dans ce domaine et congrus entre eux pour le (2/i+i)'cme système de modules, lorsque, parmi les systèmes de grandeurs congrus pour le (m -+- 1 )"",r système de modules, il n'en existe pas deux qui soient aussi congrus pour les in premiers systèmes de modules. En ce cas, entre les an+i systèmes de modules, auraient lieu n équations de la forme

les grandeurs ni désignant des entiers, et, par suite, comme je le ferai voir plus loin, les in -f- 1 systèmes de modules peuvent être composés à l'aide de in systèmes de modules.

Partageons maintenant, pour chacune des grandeurs ç, l'étendue de o à 1 en q parties égales, de telle sorte que le domaine qui se reproduit périodiquement pour les in premiers systèmes de modules soit décomposé en q-n domaines, en chacun desquels les grandeurs ç varient seulement de -• Evidemment alors, si l'on a des

systèmes de grandeurs, en nombre supérieur à <y2", qui sont congrus entre eux pour les in - 1 systèmes de modules et sont situés

dans ce domaine, il y en a nécessairement deux qui tombent dans la même subdivision du domaine, en sorte que les valeurs de la même grandeur ç, pour les deux systèmes en question, ne diffèrent entre elles jamais de plus de -• La fonction, par conséquent, reste alors invariable, quand aucune des grandeurs £ n'a une variation supérieure à —> et, par suite, comme q, lorsque la fonction est continue, peut être pris aussi grand que l'on veut, elle est une fonction d'expressions linéaires en nombre inférieur à /i, des grandeurs x .

Maintenant, il s'agit encore de démontrer que %n -+- i systèmes de modules, entre lesquels ont lieu les équations

[A=2rt-f- 1

peuvent être composés au moyen de in systèmes de modules.

Vax premier lieu, on peut aisément démontrer que pour un système de modules

2u almv-= 6i- [1=1

où les grandeurs m sont des nombres enliers sans diviseur commun, on peut toujours trouver in — i autres systèmes de modules b2,b3j ..., b2n, tels que la congruencc pour les systèmes de modules a est identique à la congruence pour les systèmes de modules b. Soit 9, le plus grand commun diviseur de m{ et m2l et soient a, (3 deux nombres entiers satisfaisant à l'équation

Si l'on pose

$ nix — a m.. = 0{.

a[ rri\ -+- a\ /»■> = c{ 0t <xa\ -+- fia', = b\n,

ai = >jCl — -JT~ °2rci a>— — xci -■- qT 2tt"

Par conséquent alors les systèmes de modules «j et a2 peuvent,

Il II R B D B R 1 EMA X N A « E I E 1! STRASS . 3o3

inversement, rire composes au moyen des systèmes de modules h2n et ct, et, par suite, la congruence pour ceux-ci est équivalente à la congruence pour ceux-là. On peut donc remplacer les systèmes de modules '/, et a2 par le> systèmes de modules c, et />-2/i- De la même manière, 02 désignant le plus grand commun diviseur de 0| et de m2, on peut remplacer les systèmes de module- C( et d- par le système de modules

el par un système de modules

bin i-

En répétait ce procédé on obtient évidemment le théorème à

dé titrer. Le contenu du domaine qui se reproduit périodiquement sera pour les nom eaux systèmes de modules b le même que pour les anciens.

V l'aide de ce théorème, dans le> n équations

un peut remplacer les in premiers systèmes de modules par ■>. /? nou-

\ eaux systèmes b{ , h., b.2fl, en sorte que ces équations prennent

la forme

],b\— qa\n+1 = o,

/' et (j étant des nombres entiers sans diyiseur commun. Si l'on désigne par y, o deux nombres entiers satisfaisant à l'équation

il est évident que les deux systèmes de modules bK eU/2«+i peuvent être remplacés par l'unique système de modules

Tous les systèmes de modules qui peuvent être composés au nn>\ en des ssslèmes de modules «,, a2, • .-, «2«-h peuvent aussi, par

3o^ DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

conséquent, être composés au moyen des in systèmes de modules

— ' h*, b3, . . . , b-2u et réciproquement.

Le contenu du domaine qui se reproduit périodiquement pour ces in systèmes de modules est seulement la gxeiae partie de celui relatif aux 2 n premiers systèmes de modules a. Si la fonction maintenant, outre ces systèmes de modules, en admet encore un qui leur est lié par des équations semblables à coefficients numériques entiers, on peut encore trouver in nouveaux systèmes de modules au moyen desquels on peut composer tous ces systèmes de modules, et le contenu du domaine qui se reproduit périodiquement sera ainsi de nouveau réduit à une partie aliquote. Lorsque ce domaine devient infiniment petit, la l'onction devient une fonction d'expressions linéaires, en nombre inférieur à n. des variables ; ce nombre sera, par exemple, n — 1 , ou n — 2, ou n — /», selon que une seule, ou deux, ou m dimensions de ce domaine de grandeurs deviennent respectivement infiniment petites. Mais, si ce fait ne doit pas avoir lien, l'opération, par suite, doit prendre terme, et l'on obtiendra alors, par conséquent, in systèmes de modules au moyen desquels peuvent être composés tous les systèmes de modules de la fonction.

Gottingue, le 26 octobre 1809.

SUR