LES SURFACES D'AIRE MINIMA

POUR UN CONTOUR DONNÉ o.

Œuvres de Riemann, 2" édit., p. 3oi.

I ne surface peut être représentée, au sens de la Géométrie analytique, en assignant les coordonnées rectangulaires ./•. y. : d'un point mobile sur la surface comme fonctions uniformes de deux grandeurs variables indépendantes p et q. Si p et <j prennent alors des valeurs constantes déterminées, à celte combinaison des valeurs de p et q correspond toujours un point unique de la surface. Les variables indépendantes /> et q peuvent être choisies d'une foule de manières. Pour une surface simplement connexe on procédera commodément comme il suit. Le long du contour total de l'encadrement on fera décroître la surface d'une bande dont la largeur est partout un infiniment petit du même ordre. En répétant indéfiniment ce procédé la surface décroîtra jusqu'à ce qu'elle se réduise à un point. Les courbes d'encadrement successives seront des lignes fermées revenant sur elles-

( ' ) Ce Mémoire est tiré d'un manuscrit de Riemann, qui date, comme l'a dit Riemann lui-même, de 1860 à 1861 environ. La rédaction de ce manuscrit, qui ne contient que les formules, sans aucun texte, me fut confiée par Riemann en avril 1866. J'en tirai le Mémoire que je communiquai le 6 janvier 1867 à la Société Royale des Sciences de Gœttingue et qui fut imprimé dans le treizième Volume des Mémoires de cette Société. Ce Mémoire e.~t reproduit ici pour la seconde fois après avoir été soigneusement revu.

Karl IIattexdorf.

3o6 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE R1EMANN.

mêmes, séparées dans leurs cours les unes des autres. On pourra les distinguer en attribuant à la grandeur/?, relativement à chacune d'elles, une valeur particulière constante qui augmente ou diminue d'un infiniment petit, selon que l'on passe de la courbe à la courbe voisine qui lui est respectivement circonscrite ou inscrite. Alors la fonction/? a une valeur constante maxima sur le contour de la surface et une valeur minima en ce point unique à l'intérieur de la surface, où cette dernière en décroissant continuellement finit par se rétrécir tout entière. On peut donc se représenter le passage d'un contour de la surface décroissante au contour suivant, en déplaçant chaque point de la courbe (p) en un point infiniment voisin déterminé de la courbe (/? + dp). Les chemins décrits individuellement par les différents points forment un second svstème de courbes qui, partant du point à valeur minima de /?, poursuivent leur cours à l'instar de ra3rons pour aboutir à l'encadrement. Sur chacune de ces courbes, on attribuera à q une valeur constante particulière, qui sera minima sur une courbe choisie arbitrairement comme courbe initiale, et celte valeur croîtra d'une manière continue en passant de chaque courbe du second système à la suivante, ces passages ayant lieu en suivant le cours d'une des courbes (p) dans un sens déterminé. Lorsque l'on passera de la dernière courbe (q) à la courbe initiale, q variera brusquement d'une constante finie.

Pour traiter d'une façon tout analogue une surface multiplement connexe, on peut auparavant la décomposer en une surface simplement connexe au moyen de sections transverses.

Ainsi, un point quelconque d'une surface peut être représenté comme l'intersection d'une courbe déterminée du système (p) avec une courbe déterminée du système (q). La normale en un point (p, q) de la surface suit son cours à partir de celle-ci en deux directions opposées, l'une positive, l'autre négative. Pour les distinguer, il nous faut choisir une détermination pour la situation relative* de la normale positive croissante, de p croissant et de q croissant. Si l'on ne fait pas d'autre convention, l'on peut, en se plaçant au point de vue des x positifs, supposer que l'on amène par le chemin le plus court l'axe des y positifs à coïncider avec celui des s positifs, en opérant une rotation de droite à gauche. Supposons ensuite que la direction de la normale positive crois-

SURFACES 1>'VIUE MINIMA POIR ON CONTOUR DONNÉ. 3oj

santé soit située, par rapport aux directions de p croissant et de q croissant, comme l'axe des x positifs est situé par rapport à ceux des y et r positifs. Le cùté de la surface du côté duquel est située la normale positive devra alors être nommé le côté positif de la surface.

Proposons-nous d'étendre au domaine de la surface une intégrale dont l'élément est égal à l'élément dp dq multiplié par un

déterminant fonctionnel, c'est-à-dire l'intégrale

(àj d# df dg .

] dq dp i P ' IJ '

que, pour abréger, nous écrirons ainsi :

II ■"■'-■•-

Supposons f et g introduites comme variables indépendantes, l'intégrale se transformera en

fjdfdg,

et 1 intégration pourra être effectuée par rapport à f ou par rapport à g. Mais l'introduction explicite de /'et g comme variables indépendantes présente des difficultés, ou du moins exige des discussions d'une longueur pénible lorsque la même combinaison de valeurs de/ et g se présente en plusieurs points de la surface ou le long d une ligne. Elle est tout à fait impossible lorsque f et g sont complexes.

11 est donc commode, pour effectuer l'intégration par rapport à f ou g, d'appliquer la méthode de Jacobi (Journal de Crelle, tome 27, p. 208), où p et q sont conservés comme variables indépendantes. Pour intégrer par rapport à f. on doit d'abord mettre le déterminant fonctionnel sous la forme

dp dq

3o8 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE R1EMANN.

et l'on obtient ainsi

àp ,

puisque l'intégrale est prise le long d'une ligne qui se ferme en revenant sur elle-même. Quant à l'intégrale

elle doit être prise dans le sens de p croissant, c'est-à-dire à partir du point minimum à l'intérieur jusqu'au contour, le long

d'une courbe (a). On obtient alors f —-■> c'est-à-dire la valeur

\ i / J Oq

que cette expression prend sur le contour, puisque pour la limite

inférieure de l'intégrale on a -f1 = o. ° aq

On a, par suite,

ffi dfdff) =ff^ dq =jfdg,

et l'intégrale simple du dernier membre doit être prise le long du contour dans le sens de q croissant. D'autre part, en employant les notations introduites, l'on a

(dfdg)= -{dgdf\ et, par suite,

ff(dfdg)=- ff{dgdf)= - fgdf,

l'intégrale simple du dernier membre devant être également prise le long du contour d'encadrement de la surface dans le sens de q croissant.

§ III

La surface dont les points sont déterminés par les systèmes de courbes (/?), (q) sera maintenant représentée sur une sphère de rayon égal à l'unité de la manière suivante : En un point (/>, q) de

SURFACES D'AIRE MINIMA FOI R UN CONTOUR DONNÉ. 3oO.

la surface d*)nt les coordonnées rectangulaires sont x, y, ;, élevons la normale positive et menons-lui une parallèle passant par le centre de la sphère. L'extrémité de cette parallèle au point où elle coupe la surface de la sphère est la représentation du point !./■. r. r ». Si le point (#, y, s) sur la surface à courbure continue décrit une ligne connexe. Lu représentation de celle-ci sur la sphère sera aussi une ligne connexe. De même, on obtient comme représentation d'une portion de surface une portion de surface, comme représentation de la surface entière une surface qui recouvre simplement ou multiplement la sphère ou une portion de la sphère.

Le point qui détermine sur la sphère la direction de l'axe des x positifs sera pris pour pôle, et l'on fera passer le méridien initial parle point qui correspond à l'axe desj- positifs.

La représentation du point (.r. y, z \ sex^a alors déterminée sur la sphère par sa distance polaire /• et par l'angle cp compris entre le méridien du point et le méridien initial. Le signe de cp sera choisi tel que le point correspondant à l'axe des z positifs ait pour coordonnées

§ iv.

On obtient par suite, pour l'équation différentielle de la surface,

(i) cosr dx — ?in r coscp dy — sinr sins dz = o.

Si y et s sont les variables indépendantes, on obtient pour /' et cp les équations

/dx .« /dx ,2 h\ày) + W dx

/dxY /dxy-

sin /• sin 'i =

/ I dx \ - / àx\l

3lO DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

où l'on doit prendre simultanément ou bien tous les signes supérieurs ou bien tous les signes inférieurs.

Un parallélogramme sur le côté positif de la surface, ayant pour contour les courbes (/?) et (p + dp), (q) el(q + dq), a pour projection sur le plan des yz un élément de surface dont l'aire est égale à la valeur absolue de (dydz). Le signe de ce déterminant fonctionnel est différent suivant que la normale positive au point (p, q) et l'axe des x positifs forment un angle aigu ou un angle obtus. Dans le premier cas, en effet, les projections de dp et de dq sur le plan des yz ont une situation relative toute pareille à celle qu'a l'axe positif des y par rapport à l'axe positif des z, dans le second cas c'est tout l'opposé. Parconséquent, dans le premiercas, le déterminant fonctionnel est positif, dans le second

il est négatif; quant à l'expression — — (dydz) elle est toujours

positive. Elle donne l'aire du parallélogramme infinitésimal sur la surface. Par conséquent, pour obtenir l'aire de la surface ellemême, on doit étendre l'intégrale double S = / / (dydz) à

la surface tout entière.

Cette aire doit-elle être un minimum, on devra écrire alors que la variation première de l'intégrale double est = o. On obtient ainsi

- ( dy dz ) — o .

expression où l'on doit prendre le radical affecté du signe supérieur ou bien du signe inférieur, selon que (dydz) est positif ou bien négatif. Le premier membre de cette équation peut s'écrire comme il suit :

( — sinr cosep ox) (dy dz |

— ( — sin/' sincp fix) (dy dz)

— / / ®x a~ (' — sinreoso) (dydz)

— Il Ôx — ( — sinr sincp) (dydz).

SURFACES D'AIRE HINIMA POUB l.N CONTOUR DONNÉ. OJ I

Les deux premières intégrales se réduisent à des intégrales simple- qui doivent être prises le long du contour de la surface dans Le sens de q croissant, c'est-à-dire à

/ o.r ( — sin /• cosœ dz - sin r sintp dy).

Cette expression a pour valeur o, puisque sur le contour ox =o. On a donc, pour condition du minimum,

z ' , \ rd(sin/- ci - e *'< sin r sine , , ,

j J °* [~ ~^—L Tz dydz) = o.

Celte condition sera remplie lorsque

(2) — sin r sin œ dy 4- sin r cos-^ dz = dx

est une différentielle exacte.

Les coordonnées /• et çp sur la sphère peuvent être remplacées par une grandeur complexe

r, = tan? - e'i' .

dont l'interprétation géométrique est facile à voir.

En effet, si l'on mène un plan tangent au pôle de la sphère, plan dont le côté positif est détourné de la sphère, et si du pôle antipode on mène une droite passant par le point (r, es), cette droite rencontrera le plan tangent en un point qui représente la grandeur complexe 2 y,. Au pôle correspond i\ — o, au pôle antipode r, = oc. Quant aux points qui fournissent les directions des axes des y positifs et des z positifs, on a respectivement

7) = -+- 1 et 7] = -f- i.

Si l'on introduit, en outre, les grandeurs complexes

ïj = tang - e-?', s = y — zi, s =y — zi,

3l2 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

les équations (i) et (2) sont alors transformées en les suivantes :

( I* ) ( 1 — -/-r/) dx -+■ t\ ds -+- 7] ds' = o,

(2*) (1 -+- ï)r/) afrt — 7/ak -+- 7) ^/.s' = o.

Ces équations peuvent être reliées ensemble par voie d'addition et soustraction. L'on posera

x h xi = 2X, x — xi = iX' ,

de sorte que l'on aura inversement

Notre problème se trouve alors exprimé analytique ment parles deux équations

( 3 1 ds - 7i d\ -\ -, dX' = o,

(4 ) rfs'H — c?X — ■ 7/ c/X' — o.

Si l'on regarde X et X' comme variables indépendantes, et si l'on établit les conditions pour que ds et ds' soient des différentielles exactes, on trouve

(771 Or'

ÔX'=°> dX = °-

Gela revient à dire que 7) ne dépend que de X et que 7)' ne dépend que de X', et qu'inversement X est fonction seulement de ~r\ et X' seulement de 7/.

Par conséquent, le problème est ramené à celui-ci :

Déterminer 7) comme fonction de la variable complexe X ou, inversement, X comme fonction de la variable complexe 7j, de telle sorte qu'on même temps les conditions relatives au contour soient satisfaites. Si l'on connaît 7) comme fonction de X, 7/ est connue par cela même', on n'aura, en effet, qu'à remplacer clans l'expression de 7) tout nombre complexe par son conjugué. On n'a plus alors qu'à intégrer les équations (3) et (4) pour obtenir les expressions de s et de s'. De celles-ci finalement l'on tire, par l'élimination de r, une équation entre .r, r, z\ c'est l'équation de la surface: minima.