XXIII

Il ^st donc évident qu on ^oit désespère;* absor lument de produire ce qu'on appelle un mouvemet perpétuel , s'il est vrai que toutes les forces

( log ) motrices qui existent dans la nature^ ne soient autre chose que des attractions, et que cette force ait pour propriété générale , cornrhe il le paroît , d'être toujours la même à distances égales, entre des col*ps donnés j c est-à-dire, d'être une fonction qui ne varie que dans le cas où la distance de ces corps varie elle-même^

LXIt

Une observation générale qui résulte de tout ce qui vient d être dit ^ c'est que cette espèce de

- quantité, à laquelle j'ai donné le nom de moment d'activité^ ]o\\e un très-grand rôle dans la théorie des machines en mouvement ; car c'est en général cette quantité qu'il faut économiser le plus qu'il est possible j pour tirer d'un agent tout l'effet dont il est capable.

S'agit-il d'élever un poids , de l'eau par exem* pie j à une . hauteur donnée 5 vous en élèverez d'autant plus dans un temps donné ^ non que vous aurez conspmmé une plus grande quantité de force , mais que vous aurez exercé un plu» grand moment d'activité (XLIV).

Qu'il soit question de faire tourner la ; meule d!un moulin , soit par le choc de l'eau , soit par

• le vent , soit par la force des animaux ^ Ce n'est pas à faire que le choc de Teau , de l'air , ou l'effort de l'animal soit le plus grand , que vous devez^ vous attacher ^ mais à faire consommer

à ces agents le plus grand moment dactîvité possible!

Veut-on faire un vuide quelconque dans l'air, de quelque manière qu'on s'y prenne , il faudra , pour y parvenir, consommer un moment (T activité aussi grand que celui qui seroit nécessaire pour élever à trente deux pieds de hauteur, un- volume d'eau égal au vuide qu'on veut occasionner.

- Est-ce un vuide dans une masse d'éau indéfinie ^omme la mer ; il faudra consommer pour cela le même moment d activité que si la mer étoit un vuide , le vdide qu'on veut faire un volume d*eau de mer 5 et qu'il fallût élever ce volume à là hauteur du niveau de la mer.

Est-ce dans un vase de figure donnée ^ qu*il faut produire un vuide? On ne peut visiblement y parvenir , sans faite monter le centre de gravité de la masse totale du fluide d'une quantité déterminée par la figure du vase ; il faudra donc consommer un moment d'activité égal à celui qui seroit nécessaire pour élever toute l'eau du vase d'une quantité égale à celle dont il faut que monte le centre de gravité du fluide.

Dans une machine en repos , où il n*y a d*autre force à vaincre que l'inertie des corps, voulez-vous y faire naître un mouvement quelcon- • que , par degrés insensibles , le moment d activité que vous aurez à consommer, sera égal à la demisomme des forces vives que vous y ferez naître f

(in)

et & il est seulement question de changer le mouvement quielle a déjà^ le moment d' activité à produire sefa seulement la quantité dont cette demisomme augmentera par le changement (XLV).

Enfin , supposons qu'on ait un système quelconque de corps , que c^s corps s attirent les uns les autres , en raison d'une fonction quelconque de leurs distances ; supposons même , si Ton veut, que cette loi ne soit pas la même pour toutes les parties du système, c'est-à-dire, que cette attraction suive quelle loi on voudra^ (pourvu qu'entre deux corps donnés, elle ne varie que lorsque la distance de ces corps varie elle-même), et qu'il soit question de faire passer le système d'une position quelconque donné à une autre; cela posé , quelle que soit la route qu'on fera prendre à chacun des corps, pour remplir cet obj^t , qu'on mette tous ce^ corps en mouvement à la fois , ou les uns après les autres , qu'on les conduise d'une place à l'autre, par un mouvement rectiligné ou curviligne , et varié d*une manièrfe quelconque, (pourvu qu'il n'arrive aucun choc ni changement brusque); qu'on emploie enfin quelles machines on voudra, même à ressort, pourvu que , dans ce cas , on remette à la fin les ressorts au m^me état de tension où on les a pris au premier instant j le moment dactwité qu'auront à consommer , pour produire cet effet , les agents extérieurs à employer mouvoir ce système , sera

toujouts le même , en supposant que le système soit en repos au premier instant du mouvement, et au dernier;

Et si outre cela il s agit de faire naître dans le système un mouvement quelconque, ou qu'\l soit déjà en mouvement au premier instant, et qu'il s'agisse de modifier ou changer ce mouvement ^ le moment d activité qu'auront à consommer les agents extérieurs j sera égal à celui qu'il faudroit consommer , s'il s'agissoit seulement de changer la position du système , sans lui imprimer de mouvement, (c'est-à-dire, considéré comme en repos au premier instant et au dernier) ; plusj la moitié de la quantité dont il faudra augmenter la somme des forces vivesj

Il importe donc fort peu , quant à la dépense ou momentum d'activité à consommer ^ que les forces employées soient grandes ou petites , qu'elles emploient telles ou telles machines, qu'elles agissent simultanément ou non ; ce moment d'activité est toujours égal au produit d'une certaine force, par une vitesse et par un temps, ou la somme dé plusieurs produits de cette nature ; et cette somme doit être toujours la même, de quelque itianiére qu'on s'y prenne : les agents ne gagneront donc jamais rien d'un côté , qu'ils ne le perdent de l'autre. ,

Pour conclusion , qu'en général on ait un systêrne quelconque de corps animés, de forces

motrices

motrices quelconques, et que plusieurs ageny extérieurs, comme des hommes ou des animaux , soient employés à mouvoir ce système en différentes manières quelconques , soit par eux-mêmes, soit par des machines: cela posé;

Quel que soit le changement occasioriné dans le système^ le moment d activité^ consommé pen^ dant un temps quelconque par les puissances extérieures j sera toujours égal à la moitié de la quantité dont la somme des forces vives aura augmenté pendant ce temps ^ dans le système des corps auxquels elles sont appliquées: moins la moitié de la quantité dont auroit augmenté cette . même somme de forces vives ^ si chacun des corps s* é toit mu librement sur la courbe quil a décrite ^ eii supposant qu alors il eût éprouvé à chaque^ point de cette courbe j la même force motrice^ que celle quil y éprouve réellement : pourvu toujours, que le mouvement change par degrés insensibles, et que si Ion emploie des machines à ressorts , on laisse ces ressorts dans le 4;nême état de tension où on les a pris.

LXIIt

Ces remarques'^ sur le moment d'activité me font naître Tidée dun principe d équilibre particulier au cas où les forces exercées dans Iç système, sont des attractions; j'ai cru que le

( 114 ) lecteur ne seroit pas fâché de le trouver icij voici en quoi il consiste:

Plusieurs corps soumis aux loix dune attraction exercée en raison dune fonction quelcohque des distances , soit par ces corps mêmes les uns sur les autres , soit par différents points fixes , étant appliqués à une machine quelconque; si ton fait passer cette machirie dune position quelconque donnée^ à celle de F équilibre^ le moment dactinté consommé dans ce passage par les forces attractives dont ces corps seront animés pendant ce mouvement y sera un maximum.

C*est - à - dire , que ce moment sera toujours . plus grand qu'il ne lauroit été, si, au lieu de fairie^ passer ce système à la position d'équilibre, on Teût contraint de prendre une route difFérente , et de passer dans une autre situation quelconque.

Par exemple, s'il s'agit de la gravité, qu*on peut regarder comme une attraction exercée vers un point infiniment éloigné , les forces attractives seront les poids appliqués à la machine; le moment d'activité qui sera exercé par ces forces, lorsqu'on fera changer de situation à cette machine , sera donc égal au poids total du système fnultiplié par la hauteur dont aura monté ou. descendu le centre de gravité pendant ce changement de position (XXXII): or, la situation d'équilibre e«t celle où, le centre de gravité est ^

( ii5 )

au point le plus haut ou le plus bas possible} donc ; la hauteur à laquelle doit monter le centTiÇ de gravité , ou dont il doit descendre pour passer dune situation quelconque donnée à celle de l'équilibre , est plus grande que pour passer ^ toute autre situation : donc, le momçnt d'activité cohgommé dans le passage , par les forces motrices, est aussi plus grand dans le premier cas que dam tout autre*

Si Tattraction étoit toujours constante cornm^ la gravité ordinaire, mai» qu'elle fût dirigée ver& un point fixe^ placé à une distance finie, on concluroit aisément du principe précédent, que dans le cas d'équilibré ^ la somme des moments des corps du système, relativement ^ ce point fixe, est un maximum , c^est-à-dire , que la somme des produits de chaque masse, par sa distance au point fixe , est moindre lorsqu'il y a équili-

I bre , que si le système se trouvoit dans une autre

j situation quelconque.

Si l'attraction vers le point fixe , au lieu d'être

constante , étoit proportionnelle aux distances de

ce corps, à ce point fixe, on Concluroit de même

que la somme des produits de chaque masse par

%le quarré de la distance à, ce point fixe, est mi

\ maximum»

' On sait que la somme des produits de chaque

masse, par le quarré de sa, distance à un poi^ lixe quelconq^e , est égale à la somme det

Ht:

( 116 > paroduits de chaque niasse , par le quarré de sa distance au centre de gravité; plus, au produit de la masse totale, par le quarré de la distance du centre de gravité à ce point fixe : ( c est une proposition de géométrie fort connue , et dont il est facile de trouver la preuve); ainsi dans le cas d'attraction que nous examinons, la ^oiuiiie de ces deux quantités, doit, 'dans le cas d'équilibre , être un maximum , c est-à-dire , que sa -différentielle est égale à zéro. Supposons donc, par exemple, que toutes les partiq[s du système ^«oyent liées entr elles, de manière quelles ne fessent qu'un même corps, et que ce <iorps soit suspendu par son centre de gravité , tellement que ce point soit f\xe ; il est clair que chacune des quantités^ dont on vient de parler , sera constante, c'est-à-dire, restera la même, quelque situation qu'on donne à œ corps, et que la dit féjrentielle de leur somme, sera, par conséquent., nulle; donc, il y aura équilibre : c'est-à-dire, que si toutes les parties d'un corps sont attirées *yers un point fixe, proportionnellement à leurs, ^distances à ce point, et qu'on suspende ce corps •par son centre de gravité , il restera en équilibre \ précisément comme dans le cas de la pesanteur ' ordinaire. Il ne faut cependant pas conclure 4e là , que dans une machine à laquelle seroient .appliqués plusieurs corps attirés vers un point jà^Qy jen raison des distances^ la position d'équilibre \

fut celle où le centre de gravité du système séroit au point le plus bas, c'est-à-dire, le plus, proche possible du point fixe; car celai n arrive que dans» le cas ou toutes les parties du système tiennent, ensemble et ne font qu'un seul corps ; au lieu que dans lé cas de la gravité naturelle j il n'est pas nécessaire , pour que le centre ' de gi;avité soit au point le plus bas, que les parties du . système soient liées les unes aux : autres. .

Si les corps étoient attirés vers le point fixe,' en raison inverse de leurs distances à ce point, le principe allégué ci -dessus feroit voir que la situation d'équilibre est alors celle où la somme des produits de chaque masse , par le logarithme de sa distance au point fixe, est un maximum.

En général , si les corps m du système sont attirés en raison d'une puissance 72, de leurs distances a:, à ce point, la situation d'équilibre sera celle où la quantité s m x^ + ^ sera un maximum , ou , plus grande que dans toute autre situation; c'est-à-dire, où la diflFérence de cette quanthé à ce qu'elle seroit , si le système étôit dans une situation infiniment voisine 5 est égak à zéro.

S'il y a dans le système plusieurs points fixes*, vers chacun desquels les corps m soient attirés en raison d'une puissance donnée de leurs distances à ce point ^ de sorte que a:, j^, 2, etc. étant

tes distances de m à ces différents points fixes, A x*^^ ByP 5 Cz î , etc. soient les forces centrales de m vers ce^ différents foyers , ce sera la quantité A i B ^ C

z « + ' + etc. qui seia^uji maopîmum dans lai position de Téquilibre. -

Et si outre cela , les corps s'attirent les uns les à^itres 5 en raison d une puissance quelconque donnée des distances , de sorte -que X exprimant la

distance de la molécule m à chacune des autres

molécules du système, FX' soit la force motoce, attractive de j% vers cette autre molécule , la situation d'équilibre, sera celle où la quantité F A B

r— -r s mX^ ^ ^+ -^-T 5 777 X » * I + -r-; S M

Qr + Q w+1 /; + !

y I» + 1 4 ^ S mz^* ^^ etc. est un maximum;

c'est-à-dire, plus grande que dans toute autre situation.

Il seroit aisé d'étendre encore oes conséquence^

^ à d autres hypothèses d attraction 5 mais la chose

iparpît inutile: ainsi je me bornerai à remarquer

qu'on peut, par un principe général à celui qu'on

vient de voir, établir qu^,

Quelle que soit la nature des puissances motrices appliquées à une machine^ ^ on la fait mouvoir de manière qu'elle passe par la position d'équili" l^re^^ r instant où elle arrivera dans cette situation y

(1,19) sera celui où le moment d'activité consommé pendant le mouvement^ par ces puissances motrices y sera le plus grand.

. C est- à -dire , que le moment d activité que les puissances proposées consomment pendant le mouvement, va toujours en augmentant, jusqu'à ce que la machine ait atteint la position d équilibre; après quoi, ce moment va en diminuant, à mesure que le système s'éloigne de cette position , lorsqu'il la dépassée 5 quelle que soit d ailleurs la route qu'on ait fait prendre à cette machine, pour l'amener à cette situation.

Supposons , par exemple , que chacune des puissances appliquées à la machine , soit donnée de grandeur, et qu'on connoipse de plus un des points de la direction qu'elle doit avoir, pour qu'il y ait équilibre ; je dis que cette situation d'équilibre est celle où la somme des produits de chacune de ces puissances données par la distance du point de la 'machine où on la suppose appliquée, au point fixe donné sur sa direction-, est la moindre possible (i); ce qui se tiçe aisément dvi principe précédent,

TT

(i) Il est à remarquer que dans tout ce qui vient d'être ditifliU sujet d'une machine considérée d^nç^ différentes positions , et de son passage de l'une à Tau* tre; il est^ ^is-je, ^ remarquer que ces positions sont toujours si^pposéçs telles , qu'en passe de l'une

Toates ces. choses sont' si faciles â prouver, après ce qui a été dit dans le cours de cette seconde partie , qu'il paroît inutile de s'y arrêter» Je finirai donc cet opuscule par quelques réflexions sur les loix fondamentales dont je suis parti pour établir la théorie qu'il contient.

Réflexions sur les loix fondamentales de.

réquilibre et du mouvement^

Parmi les philosophes qui s*oçcupent de la recherche des loix du mouvement, les uns font de la mécanique une science expérimentale , les autres , une science purement rationnelle 5 c'est-à-dire , que les premiers comparant les phénomènes de la nature, leç décomposent, pour ainsi dire, pour connoître ce qu'ils ont de commun, et les réduire ainsi à un petit nombre de faits principaux, qui servent en suite à expliquer tous les autres, et à prévoir ce qui doit arriver dans chaque circonstance ; les autres commencent par des hypothèses , puis raisonna^it

à l'autre par un mouvement qui soit à chaque instant de ceux que j'ai appelés géométriques \ autrement toutes ces propositions serolent sujettes aux mêmes défauts que nous avons cru (V) pouvoir reprocher au principe de Descartej , et ^ plusieurs s^utres.

conséqnemment à leurs siçpposîtions , parviennent à (Recouvrir les loix que suivroient les corps dans leurs mouvements , si leurs hypothèses étoient conformes à là nature, puis comparant leurs résultats avec les phénomènes, et trouvant qu'ils s'accordent, en concluent que leur hypothèse est exacte, c est-à-dire, que les corps suivent en effet les loix qu'ils n'avoient fait d'abord que supposer. ^

Les premiers de ces deux classes de philosophes, partent donc dans leurs recherches, des notions primitives que la nature a imprimées en nous, et des expériences qu'elle noius offre continuellement ; les autres partent de définitions et d'hypothèses: pour les premiers, les noms de corps, de puissancejs, d'équilibre, de mouvement, répondent à des idées premières^; ils ne peuvent ni ne doivent les définir 5 les ' autres au contraire ayant tout à tirer de leur propre fonds, sont obligés de définir ces termes avec exactitude , et d'expliquer clairement toutes leurs suppositions ; mais si cette méthode paroît plus élégante , elle est atissi bien plus difficile que l'autre ; car il n'y a rien' de si embarrassant dans la plupart des sciences rationnelles, et saf-tout dans celle-ci, que de poser d'abord d'exactes définitions sur lesquelles il ne reste aucune ambiguïté: ce seroit me jeter dans des discussions métaphysiques , biCT[ au dessus

de mes forces, que de vouloir approfondir toiites celles qu on a proposées jusqu'ici : je me contenterai d'examiner la première et la pjus simple. '

Qu est-rce qu'un corps? C'est, disent la plupart , une étendue impénétrable , c est - à - dire , qui ne peut en aucune manière être réduite à un espace) moindre : mais cette propriété n'estelle pas commune au corps et; à l'espace vuide? un pied cuie de vuide peut - il occuper un espace moindre? Il est clair que non. Supposons qu'un pied cube deàu, par exemple, soit enfermé dans un vase capable de contenir deux pieds cubes, et fermé de tout côté; qu'on agite, qu'on bouleverse ce yase tant qu'on voudra^ il restera toujours un pied cube d'eau et un pied cube de vuide: voilà deux espaces d'une nature différente, à la vérité, ntais tout aussi irréductibles l'un que l'autre,: ce n'est donc pas en cela que consiste la propriété caractéristique des corps. D'autres disent que cette propriété consiste dans la mobilité; l'espace indéfini et vuide, disent -ils, est immobile, tandis que les corps peuvent se transporter d'un lieu de cet espace à un autre: mais lorsque le corps ^ passe en B^ par exemple, l'espace vuide qui\étoit en ^ ^ na-t-il pas passé en ^? Il n'y a, ce me semble , pas plus de raison d'attribuer le mouvement au plein qui étoit en A , qu'au Vuide qui

étoit f n iff , le mouvement consiste en ce que lun de ces espaces a remplacé Vautre 5 et èe remplacement étant réciproque ,, la mobilité est une propriété qui n'appartient pas 'plus à lun qu a lautre. Sans sortir' de notre première supposition , lorsque j'agite le vase moitié vuide et moitié plein, le vuide h'est-il pas mu tout aussi bien que le fluide? Je plonge une boule de métal, creuse, dans une bouteille j la boule va^ au fond; ne^ voilà-t-il pas un vuide qui se meut dans un plein, tout de même que les corps se meuvent d^ns le vuide? L'espace plein ne différe donc de l'espace vuide, ni par la mobilité, ni par Tirrédilctibilité ; l'impénétrabilité qui distingua le premier du second, nest donc pas la même chose que cette irréductibilité; çest un je ne sais quoi qu'on ne peut définir , parce que c'est* une idée première.

Les deux Ipix fondamentales dont je suis parti (XI) ^ sont donc des vérités purement expérimentales ; et je les ai proposées comme tel-» les. Une explication détaillée de ces principes n'entroît pas dans le plan de cet 'ouvrage , et n'auroit peut - être servi qu'à embrouiller les choses : les sciences sont comnie un beau fleuve, dont le cours est facile à suivre , lorsqu'il a acquis^ une certaine régularité; mais si l'on veuf remonter à la source, on ne la trouve nulle part, parce qu'ellç est par-tout; elle est répandue

Cm)

en quelque sorte sur toute la sûrÊicç de la terre : de même si Ton veut remonter à 1 origine des sciences, on lie trouve, qu'obscurité, idées vagues, cercles vicieux; et l'pn se perd dans les idées primitives,