KÉ

SUR

LA MÉTAPHYSIQ U E

DU

CALCUt INFINITÉSIMAL.

JLl n'est aucune découverte qui ait produit stiiet d« cet dans les sciences mathématiques une révolu* '^^^ tion aussi heureuse et aussi prompte qUe celle » de l'analyse infiriitésimale f âucuiie n*â fôurnî '

des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connoîssance dès lois de la nature» JEn décomposant ^ pour ainsi dire , les corps jusques dans leurs élémens , elle semble en avoir indiqué la structure intérteure et l'organisation; mais conune tout

( lào ) ce qui est extrême échappe aux sens et à limagination , on n'a jamais pu se formel^ qu'une idée imparfaite de ces élémens, espèces d'êtres singuliers , qui , tantôt jouent le rôle de véritables quantités , tantôt doivent être traités comme absolument nuls , et semblent par leurs propriétés équivoques , tenir le milieu entre la grandeur et le' zéro, entre l'existence et le néant. (*)

Heureusement cette difficulté n'a point nui au progrès de la découverte : il est certaines idées primitives qui laissent toujours quelque nuage dans l'esprit j mais dont les premières conséquences une fois tirées , ouvrent un champ vaste et facile à parcourir.

O Je parle ici conformément aux idées vagues qu'on se fait communément des quantités infinitésimales ^ lorsqu'on n'a pas pris la pei«e d'en • examiner la. nature ; mais , dans le vrai, rien n'est plus simple que la notion de ces quantités. En elfet , dire d'une quantité qu'elle est infiniment petite , c'est précisément dire qu'elle est la différence de deux grandeurs qui ont pour limite une même troisième grandeur et rien de plus. L'idée d'une quantité infii nitésimale n'est donc pas plus difficile à saisir que celle d'une limite; mais elle .a de plus, comme tout le monde en convient , l'avantagé - ' de conduire à une théorie beaucoup plus simpUk

Telle a paru celle de l'infini , et plusieurl géomètres en ont fait le plus heureux usage > qui n'en avoient peut être point approfondi la notion; cependant les philosophes n*ont pu se contenter d une idée îsi vague ; ils ont » voulu remonter aux principes ; mais ils se sont trouvés eux-mêmes divisés dans leurs opinions , ou plutôt dans leur manière d envisa-* ger les objets. Mon but dans cet écrit est de rapprocher ces différeris points de vue , d'èiî montrer les rapports , et d en proposer de nouveaux ; je me croirai bien récompensé de mon travail si j'ai pu réussir à jeter quelques degrés de lumière, sur un sujet si intéressant.

ir.

La difficulté qu'on rencontre souvent à Origine qut exprimer . exactement par des équations les ^^ *^°''.*"* différentes conditions d'un problême, et à iiitésimai.e. ' résoudre ces équations , a pu faire naître les |)remières idées du calcul infinitésimal. Lors-» qu'il est trop difficile , en effet, de trouver la^ solution exacte d'une question , il est natu-« rel de chercher au moins à en approcher le ^lûs qu'il est possible, en négligeante tes quan-l étés qui embarrassent les combinaisons , s) l'on prévoit que ces quantités "négligées ne? j^uvent y à cause de leur peu d^ valeur.,

•la

produire qu'une erreur légère dans le résultat du calcul. C est ainsi , par exemple , que ne pouvant découvrir qu'avec peine les propriétés des Qourbes, on aura imaginé (Je les regarder comme des polygones d'un grand noml^re de côtés. En effet , si Ion conçoit , par exemple , un polygone régulier inscrit dans un cercle , il est visible que ces deux figures , quoique toujours différentes et ne pouvant jamais devenir identiques , se ressemblent cependant de plus en plus àinesure que le nombre des côtés du polygone augmente, que leurs périmètres, leurs surfaces, les solides formés par leurs révolutions autour d'un axe donné, les lignes analogues menées au dedans ou au dehors de ces figures , les angles formés par ces lignes, etc., sont, si non respectivement égaux, au moins d'autant plus approchans de l'égalité que ce nombre de côtés devient plus grande d'où il suit qu'en supposant ce nombre de côtés très-^grand en effet, on pourra sans erreur sensible attribuer au cercle circonscrit les propriétés qu'on aura trouvées appartenir au polygone inscrit.

En outre , chacun des côtés de ce poly- , gone diminue évidemment de grandeur à mesure que le nombre de ces côtéô augmente; et par conséquent, si l'on suppose que le polygone soit réellement composé d'un très-grand

nombre de côtés , on pourra dire aussi que chacun d eux est réellement trèsrpetit:

Cela posé, s'il se trouvoît par hazard dans le cours d'un calcul une circonstance paxti- / culière où l'on pût simplifier beaucoup les opérations en négligeant, par exempk, un de ces petits côtés par comparaison à une ligne donnée , c'est-à-dire , en employant dans le ' calcul cette ligne donnée au lieu d'une quantité qui sexoit égale à la somme faite de cette ligne et du petit côté en question , il e^t clair qu'on. pourroit le faire saris inconvénient, car l'erreur qui en résulteroit ne potir?ôît être qu'extrêmement petite , et ne riiéHtèrbit'pa» qu'on se -mît en peine pour en c^nnoître la valeur.

Par exemple , soit proposé de mener une taiigente au point donné M de U ciroonfét rence MBD. {Fig. i.)

- Soit C le centré du cercle yVI>GB' Taxe; supposons l'alKCÎssé DP=2.x*, 4'irfdoiKÉiée;co» «lâpondàn^e MP:5=î^^ lefsodt T Fl^ & wà-^ait*' gente- cherchée. . ^ .. > ' î*'^ '' . .Pour la trouver -^t icottsidéroni' le cercle comme un^polygone-diin très-grandmombret de côtés ; soit MN un de ces cotés , piolon-' geons-le jusqu'à l'axe; iba sera évidemment la

(134) tjflflgeï^te en question , puisque cette ligne ne pénétrera pas dans Tintérieur du polygone j.

^baissons de plus la perpendiculaire MO sur NQ, parallèle àMP, et nommons a le rayon du cercle : cela posé , nous aurons évidem- '