XXVII

Enfin , il est évident qu'on peut dire enr core quune grandeur infiniment petite nest autlre chose quune quantité non désignée , à laquelle on attribue a'abord une valeur quel^ conque arbitraire , et quon suppose ensuite décroître insensiblement jusqu à zéro. Ainsi, i$n général, lorsqu'on dit, soit Z, par exemple^

( i54 ) une quantité infiniment petite , c'est précisé-» ment la même chose que si Ton disoit, soit Z une quantité quelconque arbitraire (et par conséquent auxiliaire , car les quantités désignées ne peuvent être arbitraires)., et supposons en-suite que cette quantité aille en décroissant perpétuellement jusqu à zéro.

Une quantité est dite infiniment petite , relativement à une autre quantité , lorsque le rapport de la première à la seconde est une quantité infiniment petite, et réciproquement, la seconde est dite infinie ou infiniment grande relativement à la première.

Deux quantités sont dites différer infini^ ment peu ^ ou être infiniment peu différentes Tune de l'autre , lorsque le rapport de l'une à l'autre ne ^diffère de l'unité que d'une quantité infiniment petite , de manière que leur dernière raison soit une raison d'égalité j telles sont évidemment R S et M P.

On nomme calcul infinitésimal l'art qui enseigne à découvrir, par le secours des quantités que je viens de nommer infinitésimales^

les rapports ou relations quelconques qui existent entre les diverses^ parties d'un système quelconque de quantités proposées.

Ces quantités infinitésimales n étant toutes que des quantités auxiliaires, c est-à-dire, introduites seulement dans le calcul pour faciliter l'expression des conditions proposées, il est clair qu*il faut absolument les éliminer du calcul pour obtenir le résultat désiré , c est-àdire , les rapports cherchés ; ainsi on peut dire en quelque sorte que le calcul infinitésimal est un calcul non fini , ou qui n'est pas encore achevé , parce qu'en effet dés qu'on est parvenu à en éliminer les quantités auxiliaires et qui n'y entrent pas essentiellement, il cesse d'être infinitésimal, et ressemble en toiit au calcul algébrique ordinaire. (*)

Pour achever d'expliquer les principaux:

termes relatifs à la théorie de l'infini en général, il me reste à dire ce que j'entends par équqtion imparfaite.

(*) Chacun sait, en effet, qu'un calcul oùilen^ tre des quantités infinitésimales n'est censé fini, et que l'on ne compte sur l'exactitude du résultat , que du moment où toutes ces quantités \ infinitésimales sont entièrement éliminées.

' J'appelle équation imparfaite toute équation dont les deux membres sont des quantités inégales , mails infiniment peu différentes lune de l-autre, ou, ce qui revient au pqiême, .toute équatign dont les deux membres, quoi-, que inégaux , oyit pour dernière raison une raison d'égalité.

Ainsi , par exemple , les équations fausses

^ ■ MZ. MZ y ^ , ,Tv\

sont ce que j appelle équations imparfaites, puisque les quantités négligées dans les équation^ exactes d'où elles sont tirées sont des quantités infiniment petites; c'est donc sur la théorie de ces sortes d'équations qu'est fondée la solution de la question traitée ci-dessus et de ^utçs celles du même genre. C'est pourquoi je vais rechercher les principes de cette théorie qui est la base du calcul infinitésimal, ou , plutôt 5 qui n'est autre chose que le calcul infinitésimal lui-même,

t»RÈMiÉR théorème;

Si dans une équation Quelconque impar^ FHiicit»èsfbft. faite on substitue a la place de l'une quelcon^ damentauxci^

"^ . . ^ l'analyse idfi*

qut dès quantités qui y entrent , une autre nftésimaiti quantité qui eri diffère ihjîniriient peu^ ou dont le rQfpori a la première ait ï unité pour limité ou dernière pàléûf , F équation àui résultera de cette iràrisformation jte pourta être une équation faussé , cèèt-à-dire , quelle denew-dra ahsolumerit exacte , ou qu au moins elle detheurera ce que fat nommé équation infuparfaite^

,^ En effet , puisque par hypothèse on n'a ^fajit . que substituât à la plaice d'une quantité ' une autre quantité dont la dernière yaleur est la mêfne , et dont le rapport à la preniièrt a Tunité pour limité^il eàt claiJr ^lié èitté substitution n a rien pu changer aux dernières valeurs des membtés de Téquation proposée, ni à leur dei'nîère raison. Ùr cette demièro raison étoit , par hypothèse , Tùnîté avant la substitution ; donc elle la sera encore apréd ; donc réquatioti conservera le ca$B£tèté d« celles qtre j'ai nommées imparfait^, à moins qu'elle ne devienne rigoureusement exactf : ce qu'il falloit prouver. ' i

rœUXlÈME THÉORÈME.

xxxm.

Toute équation qui ne- contient que des quantités désignées ^ ne peut être une équation imparfaite.

En effet, par la définition des équations imparfaites , leurs membres sont inégaux ; mais différant infiniment peu lun de l'autre , leur rapport approche autant qu on veut du rapport d'égalité ; donc il entre dans cette équation quelque quantité qui ne fait point partie du système des quantités proposées*; mais par ITiypothèse , au contraire , Téquàtion proposée ne contient que des quantités désignées. 'Donc elle ne peut être ce que j'ai nornmié équation imparfaite : ce qu'il falloit prouver.