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'xxixvï. ',""' ',.

• Tels sont les prihcîpes généraux auxqiiéls e» quoi couse réduit la théorie du calcul mfiriité^imal/"'* ''*""?***

cettt suialyt«.

On voit par ces principes quey si-^yatit eîèprim'é par des équations iinparfkites l'es cdrfdîtîons d*un problême , on parvient ensuitfe par des transformations semblablêiî à^cèflé i^lH est iridiquée dans le théorème pretttier, oh parvient, dis-je , à éliminer de ces équation» toutes les quantités auxiliaires ou non-désîgnées 5 il faudra nécessairement qu*il se sôît ^péré dansle cours du calcul une compensation

d'erreurs-; et.qne ravaniagè;^ejfcé.cflc^î:dotisiste en, ce que les condition iii'siâti^ q.iîQsti(»t étant sou^nt fort diffidjes à exparkner.exacterf ment et pai: des équatipn^ rigam:e%ses, H^^^ k{uil seroit aisé de le fak^^iparde^çéçty étions imparfaites j il donne le moyen de tirer de ' tes équations iiiiparflités iîèsrineines résultats fet des rapports tout aussi certains que si les équations primitives eussent été véritablement dé la plus parfaite exactitKfde:, et cela ppr la simple élimination des^^antkés dont J^a.grç-sence occasionnoit ces erç^rs< ^

La maison de cela ^st simple i q^on ait a découvrir les relatioi>s;q^i,^f;ji§tent entre plut sietirs quantités proposées ; s'il est difficile de trouver diredeAient dès |qui]S.o8s qui exprî- Ihent ceà relations , il est naturel de recourir à queic^ues quantités intermédiaires qui leur setvent,dè .termes de çopaparaison ; par ce moyen an pourra obtenir, sinon les ^quat^oii^ meizias. cherchées y au moins d autres ^quar ^ons où les quantités proposées se trouveront inêlées avec ces quantités auxiliaires ; il ne sera donc plus question que d'éliminer .celles- ^i. M^is si en outre les valeurs de ces quantités anxiliaiires sont arbitraires et peuvent être supr posées aussi petites qu'on veut sans rien chanr ger aux quantités proposées , il est aisé de se^r tir que si dams les équations qui expriment

les*

les relations cherchées , les quantités arbitraires se trouvent mêlées avec les quantités proposées, chacune de ces équations pourra se décomposer en deux autres, dont lune ne contiendra que des quantités désignées > et lautre renfermera des arbitraires, à peu . prés de même qu'une équation qui contient des quantités réelles et des quantités imagihaites peut se décomposer en deux, Tune entre quantités réelles, l'autre entre quantités imaginaires. Or, comme on na besoin que de 1 equayon qui existe entre les quantités proposées , il est clair qu'on peut sans inconvénient, dans celles où elles se trouvent mêlées avec les arbitraires y négliger les quantités qui 4 embarrassent le calcul, lorsque les erreurs qui doivent en résulter ne peuvent tomber que sur l'équation entre arbitraires qu'elle renferme. Or c'est précisément .ce qui arrive dans le calcul infinitésimal, lorsqu'on traite comme nuUes'j en comparaison des quantités finies, celles que nous avons nommées infini- ' ment petites. ^

Afin de rendre cette explication plus sensible encore, reprenons l'exemple traité cidessus. Nous avons trouvé • (IX) ,

TP+T T^j^x^r-^, et :jj-^=^— -^^ ^- i

•^ RZ RZ Qû-7^Qx — ^^MZ

équations parfaitement exactes l'une et l'autre,

( 1^5 ) quelles que soient les valeurs de MZ'et de RZ ; tirant donc de la première de ces éqiia-

MZ

tions la valeur de-:^^, et la substituant

dans la seconde, j'ai

TP+T^T Qj^+RZ

^ y Qû — Qx— -M Z '

équation exacte et qui doit avoir lieu , quelle que soit la distance qu'on voudra mettre entre les lignes RS et MP,

Or, il est aisé de voir que je puis mettre cette équation sous la forme/suivante ;

CrP y\ n:'l ymZ+aKZ — xKZ \ y a—xj'^\ y (a-:v)(2a^2r)-MZy~^»

dans laquelle le premier terme ne contient que des quantités données ou déterminées par les conditions du problême, et dont le second contient des arbitraires , et peut être supposé aussi petit qu'on veut sans rien changer aux quantités qui sont contenues dans le premier terme , puisqu'on est maître de supposer R S aussi proche qu'on veut de M P.

Donc, suivant la théorie des indéterminées, chacun des termes de cette équation, pris séparément, doit être égal à zéro; c'est-àdire , que cette équation peut se décomposer eh- ces deux autres :

TP y__ rT j/MZ + qRZ— yRZ ,

desquelles la première ne contient que des quantités désignées, et la seconde contient des arbitraires. Mais nous n'avons besoin que de la première , puisque c'est celle qui nous donne la ^valeur cherchée de TP^ telle qup nous l'avons déjà trouvée ci-devant. Donc, quand même nous aurions commis des erreurs dans le cours du calcul, pourvu que ces erreurs ne fussent tombées que .sur la dernière équation, l'exactitude du jrésultat cherché n'en auroit point souffert; et c'est effectivement ce qui seroit afrivé si nous eussions ' , ' traité MZ, RZ et-T'T comme nulles pair comparaison aux quantités proposées û, x, y^ dans les équations primitives ; nous eussions à la vérité commis des erreurs dans l'expression des conditions du problême, maïs ces erreurs se fussent détruites d'elks-mêmes par compensation , et le résultat dont pous avons be3oin n'en eût été aucunement altéré.

Il est aisé d'appercevoir , d'après ce qui l'analyse vient d'être dit, que l'analyse infinitésimale i;;^^^^^^^^^^ n'est autrfp chose qu'une application , ou si chose qu'une l'on veut , une extension de la «léthode des ou^siTon^veut indéterminées ; car , suivant cette méthode , ""^ extension

. j. 1 , / r r • ! de U méthode

je dis que lorsqu on neglige^une quantité des indéter. infiniment petite, on ne fait, à propxemeat "'"*^***

La'

parler, que la sous -entendre et non la supposer nulle ; par exemple, lorsqu'au lieu des

MZ deux équations exactes TP+T'T=MPx:^-^

MZ . Qv+RZ , ,Tv\ ••

et ^^-7^=^^ — Trr7 trouvées (IX), j em-.

RZ <xa — Qx-^MZ "^ ^ -^

ploie les deux équations imparfaites TP=MPxf^,et^| = ^-^; je sais fort

bien que je commets une erreur et je les mets,

pour g.insî dire, mentalement sous cette forme

MZ ,,„ ^^ MZ V ,

KZ ^ KZ- a — 'X

<p' étant des quantités telles qu'il les faut pour

que ces équations aient lieu exactement: de

TP ymême dans 1 équation ^-^7:=—^=^^ — , résultante

^ MP a — x^

des deux équations imparfaites ci - dessus ,

je sous -entends la quantité ^", telle que

(TP y \ ' __ Z J + ç'^ z::^o soit une équation

exacte; mais je reconnois bientôt que cette dernière quantité (p" est égale à zéro , parce , que si elle n*étoit pas nulle , elle ne pourroit être qu'infiniment petite, tandis qa'il n'entre aucune quantité infinitésimale dans le premier terme; or cela est impossible, à moins que chacun 'de ces termes, pris séparément , ne soit égal à zéro ; d où je conclus qu on a

TP y

exactement rcp^ -^ — ; et partant, les quantités ^, j' etç'' ont été, non pas supprimées comine nulles, mais simplement sous-entendues pour simplifier le calcul. En effet, si X^ par exemple, est une quantité arbitraire qui puisse être rendue aussi petite qu'on voudra^ et qu'on ait une équation de cette forme,

^A + BX + CX* + etc.=:o; A , B , C , etc. étant indépendantes de X , cette équation ne peut . avoir lieu sans que Ton aitA=o, B = o, C=:o, etc. , c'est-àdire , sans que chaque terme pris séparément ne soit égal à zéro , quel que soit le nombro. de ces ternies. Or , par la même raison , si Ton a en général une équation de cette forme> P+Q=:o, telle que F soit une fonction des quantités données ou déterminées par les conditions du problême, et au contraire, Q une quantité qu'on soit maître de supposer aussi petite qu'on veut, on aura nécessairement P==o et,Q=;=Q; mais telle est pré-cisément la natures de l'équation trouvée ci-dessus ,

CrP ^ > i/^"^ ^MZ+flRZ--^RZ \ ^

Poîîc chacun des termes de cette équation , pris séparément , est égal à zéro ; donc pu auxoit pu négliger dans le cours du calcul les

( i66 ) ' quantités T'T, MZ, RZ, qui n'entrent point dans le premier de ces termes, sans altérer ce premier terme; donc l'analyse infinitésimale ne diffère de la méthode des indéterminées 5 qu'en ce que dans la première on traite corfime riuUes , ou plutôt on sousentend dans le cours du calcul des quajitités qui se détruiroiént toujours d'elles-mêmes dans le résultât/ si on les laissoit subsister; au lieu que dans la méthode des indéterminées , on attend la fin du calcul pour faire disparoîtré les quantités arbitraires qui doivent être éliminées. Cette dernière méthode pourroit donc suppléer assez facilement à l'analyse infinitésimale sans employer le secours des équations imparfaites , et sans commettre jamais aucune ei-reur dans le cours du calcul.

Il est eHcore un autre moyen de suppléer à l'analyse infinitésimale par le calcul algébrique ordinaire j-^ c'est la méthode dés limites ou dernières raisons. Car, qu€)ique cette analyse ^soit fondée entièrement sur les pro-» priétés dès limites et dernières raisons, elle diffère cependant de ce qu'on nomme proprement méthode des limites, en ce que dan» celle-ci oh ne fait point entrer séparé^ ment dans le calcul les quantités que nous

( i67 ) avons nommées infinitésimales, ni même leurs rapports, mais seulement les dernières valeurs de ces rapports, lesquelles étant des grandeurs finies , font , de cette^ méthode , moins un calcul particulier,, comme je viens de le dire , qu une simple application du calcul algébrique ordinaire.

Il s agit donc , en se bornant à introduire dans lalgébre ordinaire, non des quantités infinitésimales , mais les dernières raisons de ces quantités , de suppléer aux moyens que fournit lanalyse infinités^ale pour découvrir les propriétés, rapports et relations quelconques des grandeurs qui composent un système proposé,^ et voilà ce qu'on nomme proprement piéthode des limites,,.

Pour en expliquer la marche et en donner l'esprit, reprenons encore rekéi^ple t^-aité ci -devant, ,

. Il est clair, par ce qui a été dit (IX), que Explication

quoique -rg^ ne soit point égale ^ttiçû? cepen- **«* *^"«* ^'

dant la preriiiére de tes quantités différé * " ''^ 4'à^tant moins^e la ' seconde , que RS est

Ç^l,u$ proche de MP , è'est-ardire , <jue ^5.===

vrj^ est une équation imparfaite ; mais que (en désignant par L« l'expression xle limite

ou de dernière valeur ) L. -^r-^ = niTr ^^t

^ RZ MP

une équation^ parfaite , ou rigoureusement

exacte.

De même on prouvera que ^-'S'y^^T^ —

est aussi une équation parfaite, ou rigoureusement exacte ; égala|it donc ces deux va-

, , - MZ . '. TP V

leurs de L. -^-^ , il vient -^j^pr = ■—=' — , ou

R Z MP a — X

TP==-^^^ — 5 comme ci-dessus. Ainsi ce ne û — X ^ ,

sont plus dans ce nouveau calcul les quantités infiniment petites MZ et RZ qui y entrent

, ' • . A ^ ' MZ

séparément , nr même leur rapport ^re ,

mais seulement sa limite ou dernière valeur ' MZ *. • • ' .