XXXIX

î>Ctttc métho. Si cette méthode étoit touîours aussi facile

de-est plus 'dîf- , 1, t ■ ? • r • / • -1

ficiie à. mettre 3. mettre en usage que 1 analyse infinitésimale *^ ^p*^*^^* ordinaire , «lie pourroit parpjtre préférable 5 inHnitésimaie. car elle aujoit ravaatage^;dq^ Conduire .aux m^es résultats par une route directe et tbt^q^rs liiihineù^e , au lieu qi^ie celle-ci ne conduit au vrai qu après avoir fait parcourir, is'il est permis de parler ainsi,' le'pays .dôi erreurs..' • ^ « -^ j* • »

Mais il faut convenir que la méthode des limites est sujette à une difficulté considér- Table qui n a pas lieu dans l'analyse infinitésimale ordinaire ; c est que ne pouvant y séparer, comme dans celle-ci, les quantités infiniment petites Tune de l'autre , et -ces quantités se trouvant toujours liées deux à deux , on ne peut faire entrer dans les combinaisons les propriétés qui appartiennent à chacune d'elles en particulier, ni faire subir aux équations où elles se rencontrent toutes les transformations qui pourroient aider à les éliminer; et cette difficulté se feit bien moins sentir dans les opérations même du calcul , que dans les propositions et les raisonnemens qui préjJarent ou suppléent à ces opérations.

Il paroît , par ce ^e nous avons dit {II) origine ^e u sur l'origine qu^ peut .avoir eue l'analyse in- ^^"?,J^1"**3 finitésimale, que les quantités qu'on a ilom- quantités infitné«ft.infiïiiment petites, ont reçu cette/ dé- "ç^*"' ^^' nomination , parce qu'on : eroyoît éft «ffét ;dan$. les comiûencemens qu'il fallait , pour -le^ccés des .calculs où. l'on en fait us^ge, attribuer ; à.. cefk axbifti^es . des. valeurs qui fussent réellement moindres que tout ce qui peut tomber soiis les sens et' que tout ce que rimaginalûoïK f^ulÇ:t:oncevoia: 3 msàsaiknt

métaphysique plus réfléchie a fait voir que cela est inutile, parce que le succès du calcul vient, non de latténuation de ces quantités arbitraires, mais uniquement de la compensation des erreurs qu elles occasionnent dcUis ce calcul.

En effet, nous avons vu dans l'exemple traité que les procédés et les résultats du calcul étoient absolument les mêmes, quelque valeur qu'on attribuât aux quantités infiniment petites MZ, RZ, et que par conséquent le caractère des quantités de cette espèce ne consiste pas dans leur petitesse réelle , mais bien plutôt dans leur indétermination absolue, c'est -à- dire, dans la propriété qu'elles ont de .pester arbitraires pendant tout le calcul, et tellement indépendantes des quantités proposées, qu'on de^ meure toujoui^ maîti||^de les prendre aussi petites qu'on veut 8an« rien changer aux conditions du problêiiïe.

Les quantités infinitésifnales , comme j« .

l'ai déjà dit (XXIV) , ne 6ônt donc pas d«t êtres chiihérîqbes ^ mais^ de simples quantités variables caractérisées pair la nature de - leur limite^, qui este, piôW kê quantités infini^-

ment petites, et — , JBP^^ l^^ quantités infinîment grandes;* dvfjfetcr^âonc attribuer

( 171 ) successivement à ces indétermînées, de même qu a toutes les autres quantités indéfinies , diverses valeurs arbitraires , et parmi ces valeurs 5 on doit compter la dernière de toutes qui est o pour les quantités infiniment peti-

tes, et — pour les quantités infinies.

Cette observation donne lieu de distîA- ' Distinction

1»« /» • ^-1 / . • 1 « de l'infini ma-

mnni mathématique en deux espèces ; thématique en

savoir, Tinfini sensible ou assignable ^ et Tin- »"%» sensible

pt infini ah

fini absolu ou nïétaphysique^ lequel n'est autre soiu. chose que /la limite du premier.

Si donc on assigne à une quantité quelconque infiniment petite une valeur déterminée qui ne soit point o , cette valeur sera ce que j'appelle quantité i!nfiniment petite , sen^ sible ou assignable ^ et que je désignerai aussi parole nom d'infiniment petite ; ati lieu que si èettè valeur est la dernière de toutes , c'està^ire, si elle est absolument nulle, elle èera alors ce que j ^appelle quantité infiniment petite absolue éti "Métaphysique ^' et que je désignerai aussi p^arile nom de quantité àça^ noni^sante. . . • .

Atnsi, une qùatttîté évanouissante ^neât pas • ce qti'on appelle en général quantité iAfinirtient petite 5 mais seulement- là dertiîèrç,

valeur de cette qijantit^ ; ce n'est , dis -je y qu une valeur déterminée qu on peut attribuer comme toute aujre à cette grandeur, arbitraire qu'on nomme en général infiniment petite.

. ' XLIL

La considération de ces quantités évanouissantets seroit à peu -près inutile, si on se bornoit à' les traiter dans le calcul comme ^ des quantités simplement nuUfes ; car elles n ofFriroient plus alors que le rapport vague de o à o , qui .n*est pas plus égal à q qu a 3 * ou à une autre quantité quelconque; mais

il ne faut pas perdre de vue que ces quantités nulles ont ici des propriétés particulières comme dernières valeurs des quanti tés indéfiniment petites dont. elles sont limites, et qu on ne leur donne la dénomination particulière d évanouissantes que pour avertir que de tous les rapports et relations dont ellea sont susceptibles en qualité de .quantités nulles, on ne veut considérer et faire entrier "" dans, les combinaisons du calcul que ceUes qui leur sont assignées ; par la loi dç,ff0xiiûti * nuité , lorsque Ion imagine le systênjç des

quantités auxiliaires sapprpçhant par degrés / ^ insensibles du système des quantités , dési-

gnées: c'est ce que de grands géon^étres ont

cm pouvoir exprimer en disant que les évanouissantes étoîent des quantités considérées , non avant qu'elles s'évanouissent, non après qu'elles sont évanouies, mais à Tinstant même qu'elles s'évanouissent.

Dans le' cas traité ci-devant, par exemple, tant que R S ne coïncide point avec M P ,

, ^ . MZ . , TP

la fraction —— est plus grande que — ; ces

deux fractions ne deviennent égales qu'au moment où MZ et RZ se réduisent à zéro :

MZ \

il est vrai qu'alors ^-= est aussi bien égalfe

, . ,> TP . o

a toute autre quantité qu a — , puisque —

est une quantité absolurfîent arbitraire ; mais parmi les diverses valeurs qu'on peut attribuer à -7^^ , — est la seule qui soit assujettie

à la loi de continuité et déterminée par elle; car si l'on construisoit une courbe dont l'abscisse fût la quantité indéfiniment petite MZ,

et l'ordonnée proportionnelle à^^, celle qui

répondroit à l'abscisse nulle , seroit repré-

TP

sentée par —, et non par une quantité àrbi-

trairç : or, c'est ce qui distingue les quantités

(174) que je nomme évanouissaiites de celles qui sont simplement nulles. ^

Ainsi, quoiqu'en général on ait o=QXO ==:3xo=4Xo=etc. 5 on ne peut pas dire d*une quantité évanouissante telle que MZ, MZ=QMZ=3MZ=:4MZ = etc.; car la loi de continuité ne peut assigner enti'e MZ et MZ d'autre rapport que celui d'égalité, ni d autre relation que celle d'identité.

Nous avons vu qu'en introduisant dans le calcul des quantités indéfiniment petites, et en les négligeant par comparaison aux quantités finies, les équations devenoient imparfaites , et que lès erreurs auxquelles on donnoit lieu ne se compensoient que dans le résultat cherché. On peut maintenant éviter, si l'on veut , cette espèce d'inconvénient par le moyen des évanouissantes , qui , n'étant autre chose que les dernières valeurs des quantités indéfiniment petites correspondan- . tes, peuvent, comme- toutes autres valeurs, être attribuées à ces quantités indéfiniment petites; et qui, d'un autre côté, étant abso- Iment nulles, peuvent se négliger, lorsqu'elle? se trouvent ajoutées à quelques quantités effectives , sans que le calcul cesse d'être parfaitement rigoureux.

On peut donc envisager lanalyse infinitésimale sous deux points ds vue différens; en considérant les quantités infiniment petites ou comme dés quantités effectives , ou comme des quantités absolument nulles. Dans le prçiAier cas, l'analyse. infinitésimale n'est autre chose qu'un calcul d'erreurs compensées; et dans le second, c'est l'art de comparer des quantités évanouissantes entre elles et avec d'autres , pour tirer de ces comparaisons les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées.

Comme égales à zéro, ces quantités évanouissantes doivent se négliger dans le calcul , lorsqu'elles se trouvent ajoutées à quelque quantité effective ou qu'elles en sont retranchées ; mais elles n'en ont pas moins, comme on vient de le voir, des rapports trés-intéressans à connoître , rapports qui sont déterminés par la loi de continuité à laquelle est assujetti le système des quantités auxiliaires dans son changement. Or , pour saisir aisément cette loi de continuité, il est aisé de sentir qu'on est obligé de considérer les quantités en question à quelque distance du terme où elles s'évanoiiissent entièrement , sinon elles n*offriroient que le rapport indéfini de

{ 176) zéro à zéro ; mais cette distance est arbitraire et n a d'autre objet que de faire juger plus facilement des rapports qui existent entre ces quantités évanouissantes : ce sont ces rapports qu'on a en vue en regardant les quantités infiniment petites comme absolument nulles 5 et non pas ceux qui existent entre les quantités qui ne sont pas encore parvenues au terme de leur anéantissement/ Celles-ci, que j ai nommées indéfiniment petites 5^ ne sont point destinées à entrer ellesmêmes dans le calcul envisagé sous le point de vue dont il s'agit dans ce moment, mais employées seulement pour aider Timagina-r . tion 5 et indiquer la loi de continuité qui ' ^ détermine les rapports et les relations quelconques des quantités évanouissantes auxquelles elles répondent.

Ainsi, d après cette hypothèse, dans la proportion MZ : RZ : : TP : MP , les quantités représentés par MZ et RZ sont bien supposées absolument égales à zéro; mais comme c'est de leur rapport qu'on a besoin, il faut

TP

pour appercevoir son égalité avec ^r-r=,con»

sidérer les quantités indéfiniment petites qui répondent à ces quantités nulles , non afin de les introduire elles-mêmes dans le calcul, mais afin d y faire entrer sous la dénomination

de

Ci?7 ) de M 2 et de R Z ) les quantités évanouissantes qui en sont les dernières valeurs^

Ces expressions M Z , R Z représentent donc ici des quantités nulles ^ et on ne les emploie sous les formes MZ 5 RZ, plutôt que »ou8 la forme commune o ^ que parce que si

• on lès employoit en effet sous cette dernière forme , on ne pourroit plus distinguer , dans les opérations où elles se trouveroient mêlées^ leurs diverses origines ^ c'est-à-dire , quelles sont les diverses quantités indéfiniment petites qui leur répondent. Or, la considération^ au moins mentale 5 de celles-ci^ est nécessaire pour saisir la loi de continuité qui détermine le rapport cherché des quantités évanouissantes qu elles ont pour limites , et par conséquent il esi essentiel de ne pas les perdre de

' vue et de les caractériser par des expressions qui empêchent de les confondre*

Les quantités évanouîssantés qui font lô •ujet du calcul infinitésipial envisagé sous ce nouveau point de Vue , sôilt à la vérité des êtres de raison j mais cela n'empêche pas .qu'elles n'aient des propriétés mathématiques I et qu'on ne puisse lés comparer tout

( 178 ) aussi bien qu'on compare des quantités imaginaires qui n'existent pas davantage; car il est tout aussi vrai de dire, par exemple, que

6o = QO + 40 quev — û===v— ^Z>x V "^ •

Or , personne ne révoque en doute l'exactitude des résultats qu'on obtient par le calcul des imaginaires , quoiqu'elles ne soient que des formes algébriques et des hiéroglyphe»

de quantités absurdes ; à plus forte raison ne peut-on donner l'exclusion aux quantités évanouissantes qui sont au moins des limites de quantités effectives , et touchent pour ainsi dire à l'existence. Qu'importe en effet que ces quantités soient ou noli des êtres chimériques, si leurs rapports ne le sont pas, et que ces rapports soient la seule chose qui noua intéresse ? On est donc entièrement maître, en soumettant au calcul les quantités que noua g.vons nommées infinitésimales , de regarder ces quantités comme des quantités effectives^ ou comme absolument nulles ; et la différence qui se trouve entre ces deux manières d'envisager la question , consiste en ce que regardant ces quantités comme nulles , les propositions , équations et résultats quelconques , sont toujours exacts et rigoureux , mais se rapportent à des quantités qui sont des être» de raison, et expriment des relationi qui

(179) ' existent entre quantités qui n existent pas ellesmêmes: au lieu qu'en regardant les quantitéâ infiniment petites comme quelque chose d efjl fectif , les propositions , équations et résultats quelconques ont bien pour sujet de véritablés quantités; mais ces propositions, équations et résultats sont faux, ou plutôt ils sont imparfaits , et ne deviennent exacts à la fin que par la contpensation de leurs erreurs, compensation cependant qui est une suite né^ çessaire et inîaillible des opérations du calcul*

La métaphysique qui vient d être exposée fournit aisément des réponses à toutes les ob- * jections qui ont éte^aites contre 1 analyse infinitésimale dont plusieurs géomètres ont cru le principe fautif et capable d'induire en erreur j mais ils ont été accablés , si l'on peut s'exprimer ainsi , par la multitude des prodiges , et par Téclat des vérités qui sortoient ea foule de ce principe.

Ces objections peuvent se réduire à celleci : ou les quantités qu'on nomme infiniment petites sont absolument nulles , ou non ; caj il est ridicule de supposer quHl existe des êtres qui tiennent Iç milieu entre la quantité et te zéro. Or , si elles sont absolument nulles ^ leur comparaison ne xaèïiè à rien, puisque 1#

rapport de o à o n est pas plus a que 5 , ou toute autre quantité quelconque ; et si elles sont des quantité^ effectives , on ne peut sans erreur les traiter comme nulles, ainsi que le prescrivent les règles de l'analyse infinité- •imale.

La réponse est simple : bien loin de ne pouvoir en effet considérer' les quantités infiniment petites 5 ni comme quelque chose de réel 5 ni comme rien , on peut dire au contraire qu'on peut à volonté les regarder comme nulles ou comme de Véritables quantités; car ceux qui voudront les regarder comme nulles , peuvent répondre que ce qu'ils nomment quantités infiniment petites ne sont point des quantités nulles quelconques, mais des quantités nulles assignées par une loi de continuité qui en détermine la relation ; que parmi tous les rapports dont ces quantités sont susceptibles comme zéro, ils ne considèrent que ceux qui sont déterminés par cette loi de continuité ; et qu'enfin ces rapports ne sont point vagues et arbitraires , puisque cette loi de continuité n'assigne point , par exemple , plusieurs rapports différens aux différentielles de l'abscisse et de l'ordonnée d'une courbe lorsque ces différentielles s'évanouissent , mais^ un seul , qui est celui de 11 sous-tangente à l'ordonnée. D'un autre côté ^ ceux qui regardent

( i8i ) les quantités infiniment petites comme de vé^ ritables quantités , peuvent répondre que ce qu'ils appellent infiniment petit n'est qu'une grandeur arbitraire et indépendante des quantités proposées ; que dès-lors , sans la suppo* ser nulle, on peut cependant la traiter comme telle sans qu'il s'ensuive aucune erreur dans le résultat, puisque cette erreur , si elle avoit lieu, seroit arbitraire comme la quantité qui l'auroit occasionnée, Qr, il est évident qu'une pareille erreur ne peut exister qu'entre des quantités dont quelqu'une au moins soit ar* bitraire. Donc lorsqu'on est parvenu à un résultat qui n'en contient plus, et qui exprime une relation quelconque entre les quantités données et celles qui sont déterminées par les conditions du problême, on peut assurer que ce résultat est exact , et que par conséquent les erreurs qui auroient dû êt^-e commises en exprimant ces conditions ont pu se compenser et disparoître par une suite nécessaire et infaillible des opérations du calcul,

xLvin,

D'autres géomètres , embarrassés àppa-* remment par l'objection qu'on vient de discuter, se sont attachés simplement à prouver que la méthode des limites dont les procédés çoiît rigoureusement exacts d«^ns tou$le«points.

devolt nécessairement conduire aux mêmes résultats que l'analyse infinitésimale. Mais en convenant que le principe de cette méthode est très-1 umineux , on ne peut se dissimuler qu'ils ne font qu'éluder la, difficulté sans la résoudre ; que la méthode des limites ne mène aux résultats de l'analyse infinitési^ maie que par une route difficile et détournée; et qu'enfin cette méthode, loin d'être la même que celle du calcul de l'infini , n'est au contraire que l'art de s'en passer et d'y suppléer

par le calcul algébrique ordinaire ; en quoi l'on réusâiroit d une manière plus simple , à ce qu'il me semble, par la méthode des indé* terminéeis. Mais pourquoi adopteroît-on l'un^ de ces méthodes à l'exclusion des autres, puis* qu'elles peuvent se prêter un secours mutuel? Employons donc tout ensemble , et l'analyse infinitésimale proprement dite, et la méthode des limites, et celle des indéterminées, suivant que les circonstances l'indiquent , et ne négligeons aucim des moyens qui peuvent nottf conduire à la connoissance de la vérité , ou en simplifier la recherche.

Il me reste à mpntrer par quelques exemples l'application des principes généraux quô je viens d'expliquer \ et c'est ce que je vais feire en donnant urte idée des calculs différentiel et intégral , lesquels sont , à proprement

parler , l'analyse infinitésimale elle-même ié^ duite en pratique.

Si Ion attribue successivement â une même Principes des quantité variable deux valeuri infiniment peu if^^^i ^^f^l différentes Tune de lautre, la différence de la tégrai. seconde de ces deux valeurs à la première sera nommée différentielle de cette première valeur.

Soit , par exemple , A M N (f^g. Q ) une courbe relativement à laquelle on ait une question quelconque à résoudre, et telle que l'ordonnée M P soit une des iquantités dési- ^ gnées par cette question.- Je suppose de plus que pour faciliter la solution , Ton mène parallèlement à M P et à une, distance arbitraire de cette ordonnée , une ligne auxiliaire NQ 5 et qu'ensuite cette ligne se rapproche continuellement de M P jusqu'à ce qu'elle coïncide avec elle ; la ligne NO, ou NQ- — MP sera donc (XIX) une quantité infiniment petite. Or comme elle est la différence des deux valeurs N Q , M P , attribuées successivement à l'ordonnée , on est convenu de là désigner dans le discours par l'expression diminutive de différentielle de la variable M P, et de la représenter dans le calcul par cette même Târiable précédée de la Caractéristique (f:

( ih )

ainsi , en nommant y l'ordonnée M P , <?y signifiera la même chose que différentielle deMP,

Mais supposer, comme noua lavons fait, que N Q s'approche perpétuellement de M F, c'est supposer que A Q s'approche aussi perpétuellement de A F ; car la première de ces deux suppositions entraîne nécessairement la seconde ; donc en nommant ce l'abçcisse A P, I F Q ou M O sera la différentielle de x, et l'on auraMO=;=:rfa;enmême temps que NO=rfy,

Si Ton suppose de plusNQ ^=;=j^' et AQ~x\ on aura y'=^y + dy et x:;=:x^d3ç:; c'est-^àdire,' que les différentielles dy et dx ne sont autre chose que les accroissemejis des variables correspondantes 3/ et a:, ou les quantités dont elles augmentent lorsqu'elles deviennent y et x\

Maintenant soit attribuée à l'ordonnée une nouvelle valeur RS, telle que PQ et QS diffèrent infiniment peu l'une de Tautre, ou aient pour dernière raison une raison d'égalité; pour que cela soit, il faut évidemment, puisque N Q par la première hypothèse est déjà supposée s'approcher perpétuellement de MF, il faut, dis-je, que RS ^'approche aussi perpétuellement de h même ligne M P,

de manière qu^elle finisse comme NQ par coïncider avec elle ; autrement il est clair que Je rapport de^QS à PQ, lequel doit par hypothèse s approchei" sans cesse de l'unité, s'en éloigneroit: ainsi les rapports de N Q à MP, de RS à MP, de RS à NQ etdeQS àPQ, auront tous pour limite le rapport d'égalité. Il est visible de plus qu'à cause de la loi de continuité , le rapport de R Z à N O sera dans le même cas. Donc, suivant la notion générale que nous venons de donner ci-dessus des quantités différentielles, Q S doit être la différentielle de A Q, R Z celle de N Q, Q S— PQ ouNZ— -MO celledePQ, et enfin RZ— NO celle de NO 5 de même que NO ou NQ — MP •est celle de MP, Donc, conformément' à la convention Êiite au sujet de la manière d'exprimer les différentielles dans le calcul , nous devons avoir Q S = d x' , R Z = dy\ QS-^PQ=rf(MO), RZ— NO=:£/(NO), Mais nous avons déjà trouvé MO = rfx, HO = dy, donc Q S ^ N Q = rfrfx , RZ — NO =2 ddy'; c'est-à-dire , que les quantités ddx et ddy (qu'on écrit aussi de cette manière d^x^ d^y) seront les différentielles des différentielles de a: et j^, çt c'est ce que , pour abréger , on nomme encore différences secondes on différentielles du second or-^ dre; c'est-à-dire 5 que rfrf:^ est la différentielle

( i86 ) du second ordre ou la difFéïfencc seconde de a: , et ddy celle de y.

Or , puisque Q S et P Q sont supposées infiniment peu différentes Tune de l'autre, leur diflFérençe ddx est infiniment petite relativement à chacune d elles (XXVIII). Donc les différences du second ordre sont infiniment petites relativement aux différentielles premières ou du premier, ordre. (*)

On peut différentier pareillement à leur tour les différentielles du second ordre , et de cette différentiatiori résulteront les différentielles du troisième ordre ; de la différen- " tiation de celle-ci résulteront celles du quatrième ordre , et ainsi de suite : de manière

(*) Si au lieu de mener la houvelle ligne auxiliaire RS de manière que Ip lignes QS et PQ diffèrent infiniment peu Tune de Tautre , on la mène telle que QS soit précisément égale à PQ, c'està'dire, telle que AP, AQ, AS soient en progression arithmétique, on aura ddx = o, ou dx constant : ainsi on pe^t supposer l'une des différentielles constante; mais de ce que AP, AQ, AS sont en progression arithmétique, il ne s'ensuit pas que MP , NQ , RS , y soient aussi , à moins que la ligne A M N ne soit droite : ainsi , de ce que ddx seroit supposée égale à zéro , il ne s'cnsuivroit pas que Von eût au«si ddy = Ok

que dddy^ ou rPy, sera la différence troisième àe y; ddddy , ou d^y ^ la différentielle du quatrième ordre, etc. Or, d après ce que îious venons de dire sur la génération des différentielles du premier et du second ordre , il est aisé dé comprendre comment doit ^e faire celle, des ordres supérieurs ; ainsi je ne m y arrêterai pas; je dirai seulement que c'est en attribuant pour chaque nouvel ordre une nouvelle valeur auxiliaire à chacune des variables, telle que, non-seulement chacune de ée» nouvelle* valeurs diffère infiniment peu de celle qui la précède, mais que la même chose ait lieu entre leurs différentielles , les différentielles de leurs différentielles , et ainsi àe suite,

Dîfférentîer une quantité , c'est assignejf «a difïérentielle ; c'est-à-dire , que si X , par exemple, est une fonction quelconque de x^ la différ entier ce sera assigner la quantité dont cette fonction augmentera en supjKyâant qu# ir augmente de dx.

Intégrer ou sommer une différentielle , au contraire , c'est revenir de cette différentielle . à 1^ quantité qui l'a produite par sa différent tiâtion , et cette dernière quantité s'appelle intégrale ou somme àe la différentielle proposée : ainsi x , par exemple , est l'intégtal^

( i88 ) on la somme de dx , et inté^er ou sommer dx n est autre chose qu'assigner cette quantité X qui en est la somme ou l'intégrale.

Nous avons vu que la différentielle d'une quantité s'exprime dans le calcul par cette même quantité précédée de la caractéri$ti* que d; réciproquement, on est convenu d'ex-»

primer l'intégrale ou la somme d'une différentielle quelconque par cette même différentielle précédée de la caractéristique f ; c'est'* à-dire , quefdx , par exemple, signifie la même chose que somme de dx : ainû l'on a évidemment x zxizfdx^

On nomme calculs différentiel et intégral, l'art de ti^ouver les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées , par le secours de leurs différentielles. Le novti de calcul différentiel s'appliquant proprenicnt à l'art de rechercher les rapports* ou relations des quantités différentielles et de les éliminer ensuite par les règles ordinaires de l'algèbre , et celui de calcul intégral iVan d'intégrer ou d éliminer ces mêmes quantités différentielles par les procédés qui enseigiîent à revenir d'une différentielle à son intégrale.

Mon but ici n'est point d'écrire un traité de ces calculs ; mais seulement d'en indiquer

( i89 ) les règles fondamentales , et de montrer que ces règles ne sont autre chose qu miè application des principes généraux qui viennent d etxe exposés.

Proposons - nous donc d*abofd d*assîgner la différentielle de la somme x + j; + z + etc. de plusieurs variables.

Pair hypothèse x devient aï + rfa?, y devient y+dy^ etc. Donc la somme proposée devient X'k'dx+y+dy'^z+dz*^' etCy donc elle augmente de dx+ dy+dz + etc. , et cette augmentation est précisément ce que nous avons appelé différentielle.

On demande maintenant la dîlFérentîello ûe a+b + c + etc. +x+y + z+ etc. : a^ b^ ç^ etc. étant des constantes ^ et x^ y ^ z^ etc. des variables*

Par hypothèse , a rester, i restée, cres-^ tec, etd. 5 x devientx+rfar^jf devient j^ + ûi[y, etc. Donc la somme proposée devient a+ 6+ c^ etc. +x + rfar+etc.; donc elle augmente de c?a: + ^jf + ûf 2 + etc. et cette augmentation est la différentielle cherchée; donc cette différentielle est la même que s*il n'y avoit point de constantes dans la somxhe proposée.

( igo ) On demande la différentielle de ax.

Par hypothèse , a "reste û , et a; devient m + dx. Donc a x devient ax'k-ddx; donc il augmente de adx^ et cette augmentation est la différentielle cherchée.

On demande la différentielle de xy.

On voit par ce qui précède qu'elle est ydx+ydy + dxdy , c'est-à-dire , qu'on a d»xy =^ydx + ocdy + dx dy.

Mais j'observe, à 1 égard de cette équation, que dx etdy étant infiniment petits relativement kx ety^ le dernier terme dxdy est luimême infiniment petit relativement à chacun des autres , c'est-à-dire , que le quotient de ce dernier terme par chacun des autres est une quantité infiniment petite. Donc si on le néglige dans l'équation précédente , qui deviendra pour Iprs rf. xj/=:=: xdy '{^y d x\ cette équation sera ce que j'ai nommé une équation imparfaite. Mais puisque les équa-»

tions imparfaites peuvent (XXXI, XXXIV) s'employer comme des équatiom rigoureuses, sans qu'il s'ensuive aucune erreur dans le résultat cherché ^ il est évident que je puis faire Usage de cette dernière équation au lieu de la première f et comme elle est plus simple p

( 191 ) j'abrégerai et je faciliterai dans l'occasion par «on secours les opérations de mon calcul.

je dirai donc que la différentielle dune quantité qui est le produit de deux variable» est égale au produit de la première variable , par la diffél-entielle de là seconde , plus à celui de la seconde variable par la différentielle de la première ; et cette proposition sera de celles que j'ai nommées (XXXV) propositiijns imparfaites , c est-à-dîre , susceptibles d être traduites par une équation imparfaite ^ et ne pouvant comme elle , conduire qu a des résultats rigoureusement exacts. (*)

l^m^^mm^m^ ■■.■■■■ p ^ ■ M ^ Il 11 .1 ■- ■■ ■ I ■ ^ ■■ ■■ Il I II . ■■ ■■ Il ■■■■■■■ I ■ ^^— MW^— ^^1»

(*) Si de réquation imparfaite d.xyinx dy+ydx^ je voulois tirer une équation rigoureuse , je le pourrois d'abord en restituant au second membre le terme de dxdy qui lui manque; mais je le pourrois ^ussi de la manière suivante : je divisôrois tout par cf 2/ , par exemple, et j'aurois la

nouvelle équation imparfaite •^=:z/-y^+Ar;

et comme (XIX) une quantité auxiliaire diffère?, infiniment peu de sa limite , je puis , dans réquation précédente , mettre Zf/n. (-j^) à la place

de -^ et lim. i^r) ^^^ ^^ct de —^ ^ safl« que réquation cesse d'être imparfaite (XXXII). Or elle devient alors lim. (-^)=:^x Hm, (A + X ; mais toute limite est par la définition même

( iga )

On trouvera par les mêmes procédé»

que ci-dessus , qu'on a Téquation imparfaite d.xyz-=^ xydz*\roczdy*\'yzdx.

On trouvera de même Téquation impair -. . j X y dx --^ xdy

On trouvera de même Téquation imparfaite d. x'^ 2== mx^-^^ dx > etc.

Telles sont les principales règles du calcul différentiel'; passons maintenant à celles du calcul intégral qui est la méthode inverse.

i^ Puisque la différentielle de a; - est Va; , Tintégrale de dx sera x , c est-à-dire , qu'on zai2ifdx = x. Mais comme la différentielle de û+a? est également xdx (LV), il s'ensuit

que

(XVII) une quantité désignée;. Donc, quoique dx

et f/y soient auxiliaires, lim. ^\ et //m. '(-j^)

sôiit des quantités désignées ; dont tous les ter*

«nés de Téquâtion précédente Itm. (^'J=t=^x

lifn. (^ ~j + X , sont des quantités désignées ;

donc (XXXlV) cette équation est nécessaire^ ment et rigoureusement exacte.

que rintégrale de dx est aussi bien a+x qttc X seul, et qu'en général chaque différentielle a autant d'intégrales diverses qu'on veut lui en donner ; mais que toutes ces intégrales ne différent que d'une quantité constante. Il suffit donc d en déterminer une quelconque , et d'y ajouter une constante arbitraire pour représenter toutes les ^.utres: c'est-à-dire*, que toutes les intégrales possibles de rfa; sferont représentées par x+ A, A étant une constante arbitraire.

Q**- Puisque la différentielle de At+^'-f^+etd est rfa;+û^^ + rfj+ etc* , l'intégrale de cette différentielle sera x+j; + z+ etc. +A, A étant une constante arbitraire*

3^. Là différentielle de oî ^ étant xdy-^^ydaï (LVI) aussi bien que celle dé x^ + A , Tintégrale de xdy+ydx sera réciproquement a:y + A^ A étant tmé constante arbitraire.

4^. On trouvera de même que l'intégrale

- ydx — xdy ^ x .

Je ^-^ — ' ■ ' ■ ' ^ ■ - est — 4* A-

yy y

5^. On trouvera àe même t]ue l'intégrale de mx*»-* dx est x'^ + A , etc* ^

Telles sont les principales régies du calcul intégral J il nous reste à montrer par quelque» exemples particuliers l'application de ces règles et de celles du calcul différentiel - c'est

( 194 ) ce que nous allons faire le plus succinctement qu'il nous sera possible.