QUATRIÈME PROBLÊME

Trouver la surface d un segment parabolique.

Soit AMP ce segment ( Fîg. 6. ) ; si nous supposons que labscisse AP augmente d une quantité infiniment petite P Q ? ce segment augmentera en même tems de la quantité MNPQ; c est-à-dire, que PQ étant supposée la différentielle de ar, MNPQ sera la différentielle du segment cherché. Donc réciproque^ ment le segment cherché est l'intégrale de ^

( QOQ )

MNPQ, c'est-à-dire, qu on a AMP=/(MN PQ) ; mais si Ton abaisse MO perpendiculairement à NO , il est évident que la dernière raison de lespace MNO à l'espace MOPQ est o ; donc le premier de ces espaces est infiniment petit à regard du second ; donc on a l'équation imparfaite MNPQ=:MOPQ. Substituant donc la seconde de ces quantités à la première , dans Téquation exacte AMP =J* (MNPQ), on aura l'équation imparfaite AMP =/ (MOPQ), ou AU?=^fydx; mais l'équation de la courbe est , * en nommant P son paramètre, j;j/=Px, .d*ou l'on tire l'équation imparfaite dx= ry j ^^ mettant donc

pour dx, dans la première de ces équations imparfaites, sa valeur tirée de la seconde, on aura cette nouvelle équation imparfaite

AMP =:fUl^^ Mais (LVIII) on a/^^^^

= ^-^ ; donc AMP =^ p > équation qui ,

ne contenant plus que des quantités désignées , ne peut être que rigoureusement exacte: ce qu'il falloit trouver.

La même méthode s'applique évidemment à la quadrature de toute autre courbe, et par "des raisonnemens analogues, il est aisé de l'étendre à leur rectification et à la recherche des solides quelconques.

Ce petit nombre d exemples doit suffire Conciusiom pour faire comprendre quel est Tesprit de Tanalyse infinitésimale. En vain des adver^ saires diront-ils que c'est ruiner la certitude des mathématiques que dy admettre des

erreurs , comme on le fait , en employant des équations imparfaites; ces erreurs peuvent-elles avoir des conséquences dangereuses, puisqu'on a des 'moyens infaillibles pour les faire disparoître, et des signes certains pour connoître lorsqu'elles ont disparu? Renoncera -- 1 - on aux avantages immenses que procure ce calcul, de pgur de s'écarter un instant des procédés rigoureux de la géo- • métrie élémentaire, ou préférera -t- on à la route unie et facile par laquelle cette analyse nous mène aux découvertes , un sentier épineux où il est si difficile de ne point s'égarer? Tel est celui qu'offre la méthode ' des limites lorsqu'on veut l'employer exclusivement. Car ceux qui veulent proscrire la notion des quantités infinitésimales sont réduits, ou à la suppléer par l'algèbre commune , ce qui présente des difficultés sans nombre, ou à se servir continuellement des noms d'infini et d'infiniment petit en même tems qu'ils les dénigrent, si l'on peut s'exprimer ainsi, et

qu'ils traitent de chimère. Texistence des choses mêmes dont ils sont les hiéroglyphes.

On n'emploie, dit-on, ces termes que figurément ; mais je demande si un langage figuré et^abst^rus est celui qui convient à la simplicité des mathématiques, et sur-tout à cette rigueur dont on veut s'étayer pour condamner la théorie de Tinfini, Ces deux méthodes ne reviennent -elles pas au même, ou plutôt ne sont-elles pas la même méthode employée diversement? En un mot, ne sontce pas toujours les mêmes idées à rendre, les mêmes relations à exprimer? Pourquoi donc n< pas rendre ces idées, ne pas exprimer ces relations de la manière la plus claire et la plus simple?