INTRODUCTION

OUS ne manquons pas d'excellents traités Bur les machines : les-propriétés particulières à celles dont lusage est fréquent, à celles sur- tout qu on est convenu d'appeler «impies , ont été recherchées et approfondieâ avec toute la dag^cité possible; mais il me semble qu on ne s'est pas encore beaucoup attaché à développer celles de ces propriétés qui sont communes à toutes les ttiachinesi et qui ^ par cette rai$onj ne conviennent pas plus aux cordes qu*au leviejri i la vis> ou à toute autre machine, soit simple, soit composée*^

Ce n'e^t pas cependant que les géomèti-es aient négligé de s élever aux principes généraux d'équilibre et de mouvement j mais ce n*ést pour ainsi dire qu*en passant xjulls ont parlé de leur appli- 'cation à la théorie des machine» proprement dites :

et peut-être aussi n*y a-t-il encore aucun de ces "^principes qui joigne à une démonstration rigoureuse une assez grande généralité , pour pouvoir suffire seul et indépendamment de tout autre, à la solution des différentes questions qu'on peut proposer tant sur l'équilibre que sur le mouvement des machines, c'est-à-dire, pour réduire toutes les questions à une affaire de calcul et de géométrie; ce qui est le véritable objet de la mécanique.

Parmi les principes plus ou moins généraux . qui ont été jusqu'ici proposés, nous en rappellerons seulemen,t deux trés-célébres , et sur lesr quels nous afurons quelque? observations à feire.

Le premier est celui qui assigne pour loi gêné-raie de l'équilibre dans les machines à poids , que le centre de gravité du système est alors au point Je plus bas possible j mais quoique cet ancien principe soit fort simple et fort général, il ne paroît pa& qu'on lui ait donné toute l'attention qu'il mérite ; c'est sans doute , i**. parce qu'il est sujet à quelques expressions, comme tous ceux où il s'agit de maximum et de minimum 5 q*^. parce qu'il n'a rapport qu'à une espèce particulière de force, qui est la pesslnteur; 3*^ enfin parce qu'il p^uDÎt difficile d'en donner une démonstration générale et rigoureuse. Mais , 1^. nous allons faire

voir qu'en changeant un peu l'énoncé de ce pirîn* cipej on en peut faire une proposition trés-çxacte | trés-géométrique et vraie , sans exception ; q°. quoiqu'il n ait rapport qu a la pesanteur , cependant il est facile de l'appliquer à tous les cas imaginables: il n'y a pour cela qu'à substituer un poid$ à la place de chacune des puissances qui sont d'un genre différent ; ce qui est très-facile , par le moyen d'un fil passant sur une poulie de renvoi ; de «orte qii'alors il ne reste plus à ce principe que le défaut d'être indirect; 3**. enfin, quoiqu'on pe puisse le démontrer rigoureusement sans remonter jus* qu'aux premiers principes de la mécanique , il est' cependant facile d en rendre assez bien raison, pour qu'il ne soit pas possible d'en douter, quand même on n'en auroit pas d'autres preuves, comme nous allons le faire voir, en attendant la dé^ monstration exacte que nous tâcherons d en don-» ner dans la suite de cet Essai.

Imaginons donc une machine à laquelle il n'y ait d'autres forces appliquées que des poids 5 je la suppose d'ailleurs d'une forme arbitraire, mais qu'on ne lui ait imprimé aucun 'mouvement: cela posé , quelle que soit la disposition des corps du systêriie , il est clair que s'il y a équilibre , la somme des résistances des points fixes ou obstacles quelconques , estimées dans le sens vertical contarai;*e à la pesahteur , sera égale au poids total du système ; mais s'il naît un mouvement , une

(4) partie de la pesanteur sera erpployée à le produire^ et ce n est qu'avec le surplus, que les points fixes pourront se trouver chargés ; donc dans ce cas la somme des résistances^ verticales des points fixes, sera moindre au premier instant que le poids total du système : donc de ces deux forces combinées ( la pesanteur du système et la charge verticale des points fixes) il en résultera line seule force égale à leur différence ^ et qui poussera le système de haut en bas comme s'il étoit libre.: donc le centre de gravité descendra nécessairement avec 'une vitesse égale à cette différence divisée par la masse totale du système :' donc si le centre de gravité du système ne descend pas , il y aura nécessairement équilibre. Donc en général ,

Pour s'assurer que plusieurs poids appliqués à une machine quelconque doivent se faire mutuel» Jement équilibre , il suffit de prouver que si ton abandonne cette machine à elle-même^ le centre de gravité du systêrne ne descendra pas.

La conséquence immédiate »de ce principe vrai sans exception, est que si le centre de gravité du système est au point le plus bas possible, il y aura nécessairement équilibre^ cai:, suivant cette proposition , il suffit , • pour le prouver^ de faire voir que le centre de gravité ne

(5) descendra pas : or , /comment descendroit -^il , puisque par hypothèse il est au point le piu^ bas possible?

Pour donner encore une application de ce^ principe , je suppose qu'il s*agisse de trouver la, loi générale d'équilibre entre deux poids A c|t B appliqués à une machine quelconque^ je di»

donc qu'alors, en conséquence du principe pré-^ cèdent , il y aura équilibre entre ces deux poids A et B y sij en supposant que l'un des deux vienne à l'emporter, et la machine à prendre un petit mouvement , il arriyoit que l'un de ces corps montât pendant que l'autre descendroit^ et qu'en même t^ms ces -poids fussent en raison réciproque de leurs vîtçsses estii;nées dans le sens vertical; en effet, si l'on suppose^ qu'alors y4 descendît avec la vitesse verticale ^^ tandis que^ la vitesse de i?, aussi estimée dans le sens vertical, seroit r/, on aura, par hypothèse, 4; Bii u: V^ QVk A V =^ S Uj donc A V --^ B H

M ^ — n = o. Cela

p6â^ puisque les corps sont supposés ~ se mou*' voir, l'un de haut en bas, et Vautre de bastéii haut , il est évident que le premier memlKe de eette équation >esi. la vitesse verticale du centre de gravité du «ystêine; donc -ce, castre de gravité

(6) ne descendra pas : donc , par la proposition précédente 5 il doit y avoir équilibre.

Le second principe sur lequel nous nous sommes proposés de faire quelques observations , est la fameuse loi d'équilibre de Descartes ; elle revient à ce que deux puissances en équilibre sont toujours, en raison réciproque de leur vitesse, estimées dans le sens de ces forces, lorsqu'on suppose que Tune des deux vient à l'emporter infiniinent peu sûr l'autre , de manière qu'il en naisse tin pçtit mouvement.

Mais quoîcfue cette proposition soit très-belle et ^u^oiila regardé ordinairement comme le principe fondamental de l'équilibre dans les machines, elle est cependant infiniment moins générale que celle qui a ëté citée en premier lieu, car elle s'applique uniquement au cas où il y a seulement flêux puissances dans le système, et d'ailleurs elle se déduit très-facilement de ce qui vient detrô dit au sujet des ^ deux poids AeiB, puisqu'on ramené visiblemèrrt l'un de ces cas à l'autre , en sabstituantf pftx'des poulies de renvoi, des f^'àss à la' place des forées dont on cherche le rapport, •' De plus-, il est ^ remarquer que ce principe n^^xjwrime pas les conditions de l'équilibre entre deux puissances <) ^ussi complétemetlt que celui

qui â été cité ^n premier lieu ; car il ne donifie que le rapport des quantités de force qui se font équilibre , an lieu que celui-ci donne aussi en quelque sorte lé rapport de leurs directions : par exemple, dans le cas d'équilibre entre deux poids^ le principe de i^e^cûrre^ apprend seulement que les poids doivent être çn raison réciproque de leurs vitesses verticales ; mais il n'indique pas , comme le premier , que l'^m de Ces corps doit nécessairement monter pendant que l'autre descendra ; pour qu'un treuil , par exemple, à la roue et au cylindre duquel sont suspendus dei poids par des cordes, demeure en équilibre , il» ne suffit pas que le poids appliqué à Ic^ roue soit à celui du cylindre , comnàe le rayon du cylindre est au rayon de la roue;: il Êiut encore que ces poids tendent à faire tourner la machine en sens contraire l'un de l'autre, x'èst-à-dire qu'ils soient placés de différents côtés , par rapport à Taxe , sinon leurs efforts étalnt conspirants , mettront la machine en mouvement; il est done évident que ce qui rend le principe de Desx:arté$ incomplet, c'est qu'en déterminant le rapport des puissances , quant à leurs valeurs ou intensité*, il n'exprime pas que ces puissances doivent faire des efforts opposés , ni en quoi consiste c^tte opposition d'efforts 2^ il est clair en effet que pour l'équilibre il feut que l'une des forces résiste tandis que l'autre sollicite ; or , c'est ce qui n'arrive

ji5t«^an$ le" tF^l.qui vient d'être ^allégué pour exemple;, mais ^u'est*te- en général qui distingue les forces soUieitaiçites' des forces résistantes? cest, ce me semble , ce qui na pas encore. été déter-î mille* On verra dans cet Essai que la différence caractéristique de ces forces consiste dans Vangle qu elles forment avec les directions de leurs vîteeçes, de sotte ,que,le^ unes font toujours avec \ }e^s vitesses de§ ai>gl$s aigus , tandis que les au-tyfîfc fpnt» d^s .^ip.glfts obtus avec les leurs, :,': Enfin, un défaut -qu'il me i^roît qu'on peuç eriçqre reprocher au p;rineipe à^:Dç^cartes , ain4 qu'à, tous c-eu^t.où il. s'agit du petit mouvement qui MÎtroit da^^siesystême, si l'équilibre venoit À ê-tre troublé ^ c'est qu'ils n'indiquent pas la ma-, nièrQ de déterminei: çç petit mouvement ; or , $*il faut pouTC^lî, avoir- recours à quelque nou^veau principe méQ2MWi|i€ï , le premier n'eçt donc pas suffisant î et si pi^ peut le déterminer par pur^ géométrie., quelle en est la manière? C'est ce que ne dit pas .le principe: et qu'on ne dise p^p que la proportion indiquée pa^ le prii^cipe a toujours lieu , quel quepuis^se être Ije mouvement, po^urvu qu'il soit possible , c'est-tà-dire , cpmpar. iiblfe avec l'impénétrabilité desi çprpa j car ce seroit uae erreur ; et npus f|?rons voir dans la suite quç ces mpuvemens spnt assujzettig à certaines cpndir 4iom) en conséquence desquelles j'^i Gru.devoif leur donner le nom àa, mouvcmens géomitrique^^

On peut feire la même remarqué sur tous les principes où l'on proposeroit de considérer la machine dans deux états infiniment proches l'un de l'autre ; cat, pour déterminer quels sont ces deux états j c' est-à-dire , quel mouvement il faudroit que la machine prît pour passer de lun à Vautre , il faut 6u employer de ^louveaux principes mécaniqilee, conjointement avec celui qu on propose, ce.qni ren droit celui-ci insuffisant; ou la géométrie suffit, et dans. ce cas , c'est un défaut dans le principe , de ne pas faire connoître les conditions géométriques auxquelles ce mouvement est aî3sujetti, '

.. Les. deux loîx domt on vient de parler , sor^t hornébs ; l'une. et.vl autre aUi cas de l'équilibre : on passe aisément de ce cas à celui du mojuvementj pair le principe dô dynamique dû à M^d'Alemberti mais-^on eh aîauèsi tn?Uvé plusieurs autres qui S'appliquent immédiatpn^ent au cas d^ mouye-ment : tel est celui d?» :1a conservaLtion. des forces ^ vives d^ns le choc des corps parfaiit^i^^nt élasti^ ques , lequel est d autant plus général , qu'il s entend au cas même bu le thduvement passe brusque*- ^eA< d'un état à l'autre; mais il pajroît. qu'on n'a gi^èrea songea rusage qu'çn en pauvpit faire dan$ la théorie des machines prpprement cjitesj il est

cependant évident que cette loi doit avoir son analogue dans le choc des cotps durs ; et comme on prend ordinairement ceux-ci pour servir de termç de comparaison , ce principe transféré aux corps durs avec là modification qu exige la différence de leur nature , ne peut manquer d'être plus utile que la conservation même dont il s'agit ; nous ferons voir en effet qu on en déduit avec la plus grande facilité plusieurs vérités capitales, et particulièrement la conservation des forces vives dans qn système de corps durs dont le mouvement change par degrés insensibles ; prin* cipe dont Futilité dans la théorie des machines est si connue ; on verra en même tems par-là ilne relation intime entre ces deux conservations de forces vives ^ on en tire également le principe de Descartes ^ et même, en le généralisant, la loi d équilibre dans les machines à poids dont il a été question ci-dessus; ce principe enfin, après lui avoir donné Textensiorr dont il est susceptible , nous a paru renfermer toutes les lois de 1 equilr* bre et du mouvement , et nous n'avons pas cru pouvoir en adopter un meilleur pour servir de

base à notre théorie*