LIVRE SIXIÈME

deurs et que Ton découvre toutes les vérités. Or^ de toutes les sciences^ rarithmétique et Falgèbre principalement sont les seules qui nous apprennent à faire ces opérations avec adresse^ avec lumière et avec un ménagement admirable de la capacité de Tesprit. Ces deux sciences sont donc les seules qui donnent à l'esprit toute la perfection et toute l'étendue dont il est capable^ puisque c'est par elles seules que l'on découvre toutes les vérités qui se peuvent connaître avec une entière exactitude.

Car la géométrie ordinaire ne perfectionne pas tant Tesprit que l'imagination , et les vérités que Ton découvre par cette science ne sont pas toujours si évidentes que les géomètres s'imaginent. Ils pensent^ par exemple^ avoir exprimé la valeur de certaines grandeurs^ lorsqu'ils ont prouvé qu'elles sont égales à certaines lignes , qui sont les sous-tendues d'angles droits dont les côtés sont exactement connus, ou à d'autres qui sont déterminées par quelqu'une des sections coniques. Mais il est visible qu'ils se trompent; car ces soustendues, par exemple, sont elles-mêmes inconnues. L'on connaît plus exactement F8 ou y20 qu'une ligne que l'on s'imagine ou que l'on décrit sur le papier, pour servir de soustendue à un angle droit dont les côtés sont 1, ou dont un côté est 2 et Tautre 4. On sait au moins que FS approche fort de 3; et que 720 est environ 4 et A^, et l'on peut, par certaines règles, approcher toujours à Tintini de leur véritable grandeur ; et si Ton ne peut y arriver, c'est que l'esprit ne peut comprendre l'infini. Mais on n^a qu'une idée fort confuse de la grandeur des sous-tendues, et on est même obligé de recourir à FS ou F20 pour les exprimer. Ainsi, les constructions géométriques, dont on se sert pour exprimer les valeurs des quantités inconnuefs, ne sont pas si utiles à régler l'esprit et à découvrir les rapports ou les vérités que Ton cherche qu'à régler Fimagination. Mais comme l'on se plaît beaucoup plus à faire usage de son imagination que de son esprit, les mathématiciens ont d'ordinaire plus d'estime pour la géométrie que pour l'arithmétique et pour l'algèbre.

Pour faire parfaitement comprendre que l'arithmétique et l'algèbre sont ensemble la véritable logique qui sert à découvrir la vérité, et à donner à l'esprit toute l'étendue dont il est capable, il suffit de faire quelques réflexions sur les règles de ces sciences.

On \ieni de dire (|ue toutes les vérités ne sont que des rapports; que le plus simple et le mieux connu de tous les rapports est celui d'égalité ; qu'il est le commencement d'oii il faut mesurer les autres poui* avoir une idée de l'inégalité ; que la mesui'c dont on est obligé de se servir est l'unité^ et qu'il faut l'ajouter- ou Tôter autant de fois qu'il est nécessaire pour mesurer l'excès ou le défaut de l'inégalité de ces grandeurs.

De là il est clair que toutes les opérations qui peuvent servir à découvrir les rapports d'égalité ne sont que des additions et des soustractions : additions de grandeui's pour égaler des grandeurs, additions de rapports poin- égaler des l'apports, ou pour mettre les grandeurs en proportion; enfm additions de rapports de rapports pour égaler des rapports de rapports, ou pour mettre les gi'andeurs en pi-oportion composée.

Pour égaler 4 avec 2 ^ il n'y a qu'à ajouter 2 avec 2, ou retrancher 2 de A, ou enfm ajouter Funité à 2 et la retrancher de 4. Cela est clair.

Pour égaler le rapport ou la raison de 8 à 2 au rapport de 6 à 3, il ne faut pas ajouter 3 à 2 ou retrancher 3 de 8^, en sorte que Texcès d'un nombre à l'autre soit égal à 3^ qui est l'excès de 6 sur 3 : ce ne serait qu'ajouter et qu'égaler des grandeurs simples, l'excès de 8 sur 5 à celui de 6 sur 3. Il faut chercher d'abord la grandeur du rapport de 8 à 2;, ou ce que vaut-^; et l'on trouve en divisant 8 par 2 que Yexposcmt de ce rapport est 4, ou que -g- est égal à 4. 11 faut de même voir quelle est la grandeur du rapport de 6 à 3, et l'on trouve qu'elle est égale à 2. Ainsi l'on reconnaît que ces deux rapports-|- égal à 4, et-^î- égal à 2, ne sont différents que de 2. De sorte que poui- les égaler on peut , ou bien ajouter à -|- encore égal à deux , car l'on aura qui sera un rapport égal a-| ou bien l'eti ancher -y- égal à 2, de-| , car l'on aura -^qui sera un rapport égal à-|-; ou enfin ajouter l'unité à et la retrancher de car Ton aura -|- et qui sont des rapports égaux, car 9 est à 3 comme 6 est à 2.

Enfm, pour trouver la gi-andeur de l'inégalité entre les rappoi'ts (pii résultent, l'un de la raison composée ou du rapport de rapport de 12 à 3 et de 3 à i, et l'autre de la raison composée ou du rappoi-t de rappoi-t de 8 à 2 et de 2 à l , il faut suivre la môme voie. Pn^mièrement , la grandeur de la raison de 12 à 3 se marque par où 4 est V exposant de la raison

LÎVBE SIXIÈME.

de 12 à 3^ et 3 est l'exposant de 3 à 1, et l'exposant de la raison des exposants 4 et 3 est Secondement^ Fexposant de 8 à 2 est 4^ et de 2 à 1 est 2, et l'exposant des exposants 4 et 2 est 2 ; enfin l'inégalité entre les rapports qui l'ésuitent des rapports de rapports est la différence entre -|- et 2 , c'est-àdire Donc-|- ajouté au rapport des raisons 12 à 3 et 3 à 1^ ou retranché du rapport des autres raisons 8 à 2 et 2 à 1^ met en égalité ces rapports de rapports, et produit une proportion composée. Ainsi Ton peut se servir d'additions et de ' soustractions pour égaler les grandeurs et leurs rapports, tant simples que composés , et pour avoir une idée exacte de la grandeur de leur inégalité.

11 est vrai que l'on se sert de multiplicatmis et de divisions tant simples que composées, mais ce ne sont que des additions et des soustractions composées. Multiplier 4 par 3, c'est faire autant d'additions de 4 que 3 contient d'additions de l'unité , ou trouver un nombre qui ait même rapport à 4 qu'à 3 avec l'unité ; et diviser 12 par 4, c'est soustraire 4 de 12 autant de fois qu'il se peut, c'est-à-dire trouver un rapport à l'unité égal à celui de 12 à 4; car 3, qui en sera l'exposant, a même rapport à l'unité que 12 à 4. Les extractions des racines carrées, cubiques , etc., ne sont que des divisions par lesquelles on cherche une, deux ou trois moyennes proportionnelles.

11 est évident que l'esprit de l'homme est si petit, sa mémoire si peu fidèle, son imagination si peu étendue que, sans l'usage des chiffres et de l'écriture, et sans l'adresse dont on se sert dans Tarithmétique , il serait impossible de faire les opérations nécessaires pour connaitre l'inégalité des grandeurs et de leurs rapports. Lorsqu'il y aurait plusieurs nombres à ajouter ou à soustraire, ou, ce qui est la même chose, lorsque ces nombres sont grands, et qu'on ne les peut ajouter que par parties, on en oublierait toujours quelqu'une. 11 n'y a point d'imagination assez étendue pour ajouter ensemble les fractions un peu grandes , comme -fo^rr^ '^~^'fi^~' P^^^' soustraire l'une de l'autre.

Les multiplications, les divisions et les extractions de racines des nombres entiers sont infiniment plus embai rassantes que les simples additions ou soustractions; l'esprit seul, sans le secours de l'arithmétique, est trop petit et trop faible pour les faire, et il est inutile que je m'arrête ici à le faire voir.

Ce[)endant l'analyse ou l'algèbre est encore tout auti'c chose

DE L\ MÉTHODE. — Tl^ PARTIE.

que rarithmétiquc ; elle partage beaucoup moins la capacité de l'esprit , elle abrège les idées de la manière la plus simple et la plus facile qui se puisse concevoir. Ce qui se fait en beaucoup de temps par l'arithmétique se fait en un moment par Talgèbre^ sans que l'esprit se brouille par le changement de chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d'arithmétique ne découvre qu'une vérité ; une semblable opération d'algèbi'e en découvre une infinité. Enfin il y avait des choses qui se pouvaient savoir, et qu'il était nécessaire de savoir, dont on ne pouvait avoir la connaissance par l'usage de l'arithmétique seule; mais je ne crois pas qu'il y ait rien qui soit utile, et que les hommes puissent savoir avec exactitude, dont ils ne puissent avoir la connaissance par l'arithmétique et par l'algèbre. De sorte que ces deux sciences sont le fondement de toutes les autres, et donnent les vrais moyens d'acquérir toutes les sciences exactes, parce qu'on ne peut ménager davantage la capacité de Fesprit que l'on le fait par l'arithmétique, et principalement par l'algèbre.

DEUXIÈME PAHTÏE.