CHAPITRE IX

De!quclquesdéfaut s qui se rencontrent d'ordinaire dans la méthode des géomètres.

Nous avons vu ce que la méthode des géomètres a de bon, que nous avons réduit à cinq règles qu'on ne peut trop avoir dans l'es-

prit ; et il faut avouer qu'il n'y a rien de plus admirable que d'avoir découvert tant de choses si cachées, et les avoir démontrées par des raisons si fermes et si invincibles, en se servant de si peu de règles : de sorte qu'entre tous les philosophes ils ont seuls cet avantage d'avoir banni de leur école et de leurs livres la contestation et la dispute.

Néanmoins, si l'on veut juger des choses sans préoccupation, comme on ne peut leur ôter la gloire d'avoir suivi une voie beaucoup plus assurée que tous les autres pour trouver la vérité, on ne peut nier aussi qu'ils ne soient tombés en quelques défauts qui ne les détournent pas de leur fin, mais qui font seulement qu'ils n'y arrivent pas par la voie la plus droite et la plus commode ; c'est ce , que je tâcherai de montrer, en tirant d'Euclide même les exemples de ces défauts.

DÉFAUT I. Avoir plus de soin de la certitude que de l'évidence, et de convaincre Vesprit que de Véclairer.

Les géomètres sont louables de n'avoir rien voulu avancer que de convaincant; mais il semble qu'ils n'ont pas assez pris garde qu'il ne suffit pas, pour avoir une parfaite science de quelque vérité d'être convaincu que cela est vrai, si de plus on ne pénètre, par des raisons prises de la nature de la chose même, pourquoi cela est vrai; car, jusqu'à ce que nous soyons arrivés à ce point-là, notre esprit n'est point pleinement satisfait, et cherche encore une plus grande connaissance que celle qu'il a : ce qui est une marque qu'il n'a point encore la vraie science. On peut dire que ce défaut est la source de presque tous les autres que nous remarquerons, et ainsi il n'est pas nécessaire de l'expliquer davantage, parce que nous le ferons assez dans la suite.

DÉFAUT IL Prouver des choses qui n'ont pas besoin de preuves.

Les géomètres avouent qu'il ne faut pas s'arrêter à vouloir prouver ce qui est clair de soi-même. Ils le font néanmoins souvent , parce que, s'étant plus attachés à convaincre l'esprit qu'à l'éclairer, comme nous venons de dire, ils croient qu'ils le convaincront mieux en trouvant quelque preuve des choses même les plus évidentes, qu'en les proposant simplement, et laissant à l'esprit d'en reconnaître l'évidence.

C'est ce qui a porté Euclide à prouver que les deux côtés d'un triangle pris ensemble sont plus grands qu'un seul *06, quoique cela soit évident par la seule notion de la ligne droite, qui est la plus

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courte longueur qui puisse se donner entre deux points, et la mesure naturelle de la distance d'un point à un point, ce qu'elle ne serait pas, si elle n'était aus-^i la plus courte de toutes les lignes qui puissent être tirées d'un point à un point.

C'est ce qui l'a encore porté à ne pas faire une demande, mais un problème qui doit être démontré, de tirer une ligne égale à une ligne donnée, quoique cela soit aussi facile et plus facile que de faire un cercle ayant un rayon donné.

Ce défaut est venu, sans doute, de n'avoir pas considéré que toute la certitude et l'évidence de nos connaissances dans les sciences naturelles vient de ce principe : Qu'on peut assurer d'une chose, tout ce qui est contenu dans soji idée claire et distincte. D'où il s'ensuit que si nous n'avons besoin, pour connaître qu'un attribut est renfermé dans une idée, que de la simple considération de l'idée, sans y en mêler d'autres, cela doit passer pour évident et pour clair, comme nous avons déjà dit plus haut.

Je sais bien qu'il y a do certains attributs qui se voient plus facilement dans les idées que les autres ; mais je crois qu'il suffit qu'ils puissent s'y voir clairement avec une médiocre attention, et que nul homme; qui aura l'esprit bien fait n'en puisse douter sérieusement, pour regarder les propositions qui se tirent ainsi de la simple considération des idées, comme des principes qui n'ont point besoin de preuves, mais au plus d'explication et d'un peu de discours. Ainsi, je soutiens qu'on ne peut faire un peu d'attention sur l'idée d'une ligne droite, qu'on ne conçoive non-seulement que sa position ne dépend que de deux points (ce qu'Euclide a pris pour une de ses demandes), mais qu'on ne comprenne aussi sans peine et très clairement que si une ligne droite en coupe une autre et qu'il y ait deux points dans la coupante, dont chacun soit également distant de deux })oints de la coupée, il n'y aura aucun autre point de la coupante qui ne soit également distant de ces deux points de la coupée : d'oii il sera aisé déjuger quand une ligne sera perpendiculaire à une autre, sans se servir d'angle ni de triangle, dont on ne doit traiter qu'après avoir établi beaucoup de choses qu'on ne saurait démontrer que par les perpendiculaires.

Il est aussi à remarquer que d'excellents géomètres emploient pour principes des propositions moins claires que celles-là ; comme lorsque Archimède a établi ses plis belles démonstrations sur cet axiome : Que si deux lignes sur le mcmc plan ont les extrémUés coDnuuncs, et soid courbées on creuses vers lu même part, celle qui vat contonie sera moindre que celle qui la amllcnL

J'avoue que ce défaut de prouver ce qui n*a pas besoin de preuves ne paraît pas grand , et qu'il ne l'est pas aussi en soi ; mais il l'est beaucoup dans les suites, parce que c'est de là que naît ordinairement le renversement de l'ordre naturel dont nous parlerons plus bas; cette envie de prouver ce qui devait être supposé comme clair et évident de soi-même, ayant souvent obligé les géomètres de traiter des choses pour servir de preuve à ce qu'ils n'auraient point dû prouver, qui ne devraient être traitées qu'après, selon l'ordre de la nature.

DÉFAUT III. Démonstration par Vimpossible.

Ces sortes de démonstrations qui montrent qu'une chos? est telle, non par ses principes, mais par quelque absurdité qui s'ensuivrait si elle était autrement, sont très ordinaires dans Euclide. Cependant il est visible qu'elles peuvent convaincre l'esprit, mais qu'elles ne l'éclairent point ; ce qui doit être le principal fruit de la science : car notre esprit n'est point satisfait, s'il ne sait non-seulement que la chose est, mais pourquoi elle est ; ce qui ne s'apprend point par une démonstration qui réduit à l'impossible.

Ce n'est pas que ces démonstrations soient tout-à-fait à rejeter; car on peut quelquefois s'en servir pour prouver des négatives qui ne sont proprement que des corollaires d'autres propositions, ou claires d'elles-mêmes, ou démontrées auparavant par une autre voie; et alors cette sorte de démonstration, en réduisant à l'impossible, tient plutôt lieu d'explication que d'une démonstration nouvelle.

Enfin, on peut dire que ces démonstrations ne sont recevables que quand on n'en peut donner d'autres ; et que c'est une faute de s'en servir pour prouver ce qui peut se prouver positivement : or, il y a beaucoup de propositions dans Eùclide qu'il ne prouve que par cette voie, qui peuvent se prouver autrement sans beaucoup de difficulté.

DÉFAUT IV. Démonstrations tirées par des voies trop éloignées.

Ce défaut est très commun parmi les géomètres. Ils ne se mettent , pas en peine d où les preuves qu'ils apportent sont prises, pourvu qu'elles soient convaincantes ; et cependant ce n'est que prouver] les choses très imparfaitement, que de les prouver par des voies étrangères, d'où elles ne dépendent point selon leur nature.

C'est ce qu'on comprendra mieux par quelques exemples. Euclide, liv. I, propos. 5, prouve qu'un triangle isocèle a les deux angles sur.