QUATRIÈME PARTIE

la base égaux en prolongeant également les côtés du triangle, et faisant de nouveaux triangles qu'il com[)are les uns avec les autres.

Mais il n'est pas incroyable qu'une chose aussi facile à prouver que l'égalité de ces angles, ait besoin de tant d'artifice pour être prouvée? comme s'il y avait rien de plus ridicule que de s'imaginer que cette égalité dépendît de ces triangles étrangers; au lieu qu'en suivant le vrai ordre, il y a plusieurs voies très faciles, très courtes et très naturelles pour prouver cette même égalité.

La 47^ du livre I, où il est prouvé que le carré de la base qui soutient un angle droit est égal aux deux carrés des côtés, est une des plus estimées propositions d'Euclide ; et néanmoins il est assez clair que la manière dont elle y est prouvée n'est point naturelle, puisque l'égalité de ces carrés ne dépend point de l'égalité des triangles qu'on prend pour moyen de cette démonstration, mais de la proportion des lignes, qu'il est aisé de démontrer sans se servir d'aucune autre ligne que de la perpendiculaire du sommet de l'angle droit sur la base.

Tout Euclide est plein de ces démonstrations par des voies étrangères.

DÉFAUT V. N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature.

C'est ici le plus grand défaut des géomètres. Ils se sont imaginé qu'il n'y avait presque aucun ordre à garder, sinon que les premières propositions pussent servir à démontrer les suivantes ; et ainsi, sans se mettre en peine des règles de la véritable méthode, qui est de commencer toujours par les choses les plus simples et les plus générales, pour passer ensuite aux plus composées et aux plus particulières, ils brouillent toutes choses, et traitent pêle-mêle les lignes et les surfaces, les triangles et les carrés, prouvent, par des figures, les propriétés des lignes simples, et font une infinité d'autres renversements qui défigurent cette belle science.

Les éléments d'Euclide sont tout pleins de ce défaut. Après avoir traité de l'étendue dans les quatre premiers livres, il traite généralement des proportions de toutes sortes de grandeurs dans le cinquième. Il reprend l'étendue dans le sixième, et traite des nombres dans les septième, huitième et neuvième, pour recommencer au dixième à parler de l'étendue. Voilà pour le désordre général ; mais il est rempli d'une infinité d'autres particuliers. Il commence le premier livre par la construction d'un triangle équilatère; et vingt-deux propositions après, il donne le moyen général de faire tout triangle de trois lignes droites données, pourvu que les deux

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soient plus grandes qu'une seule ; ce qui emporte la construction

particulière d'un triangle équilatère sur une ligne donnée.

Il ne prouve rien des lignes perpendiculaires et des parallèles que par des triangles. 11 mêle la dimension des surfaces à celles des lignes.

Il prouve, livre I, proposition IG, que le côté d'un triangle étant prolongé, l'angle extérieur est plus grand que l'un ou l'autre des opposés intérieurement; et seize propositions plus bas, il prouve que cet angle extérieur est égal aux deux opposés.

Il faudrait transcrire tout Euclide pour donner tous les exemples qu'on pourrait apporter de ce désordre.

DÉFAUT VI. Ne point se servir de divisions et de partitions.

C'est encore un autre défaut dans la méthode des géomètres, de ne point se servir de divisions et de partitions. Ce n'est pas qu'ils ne marquent toutes les espèces de genres qu'ils traitent ; mais c'est simplement en définissant les termes, et mettant toutes les définitions de suite, sans marquer qu'un genre a tant d'espèces, et qu'il ne peut pas en avoir davantage, parce que l'idée générale du genre ne peut recevoir que tant de différences, ce qui donne beaucoup de lumière pour pénétrer la nature du genre et des espèces.

Par exemple, on trouvera dans le l®'" livre d'Euclide les définitions de toutes les espèces de triangles : mais qui doute que ce ne fût une chose bien plus claire de dire ainsi?

Le triangle peut se diviser selon les côtés, ou selon les angles.

Car les côtés sont :

Itous égaux, et il s'appelle Équilatère.

deux seulement égaux, et il s'appelle Isocèle.

tous trois inégaux, et il s'appelle - Scalène.

Les angles sont :

ou ou

j tous deux aigus, et il s'appelle Oxygone. l deux seulement aigus, et alors le 3® est

j droit, et il s'appehe Rectangle

i obtus, et il s'appelle Amblygone.

Il est même beaucoup mieux de ne donner cette division du triangle, qu'après avoir expliqué et démontré toutes les propriétés du triangle en général ; d'où l'on aura appris qu'il faut nécessairement que deux angles au moins du triangle soient aigus, parce qye les trois ensemble ne Sçiuraient valoir plus de deux droits.

quatrii:me partie. m

Ce défaut retombe dans celui de l'orflre, qui ne voudrait pas qu'on traitât ni même qu'on définît les espèces qu'après avoir bien connu le genre, surtout quand il y a beaucoup de choses à diro du genre, qui peut être expliqué sans parler des espèces.