REGLE XIV
La même règle doit ètte appnqnée à >rétendiie réeOe des corps, et U fiiut la représenter toot entière ft rimagiiiaUoo par des figures nues ; de la sorte eUe sera beaucoup mieux comprise par rinteDigenoe.
Pour nous servir aussi du secours de l'imagination, il faut noter que, toutes les fois qu'on dé» duit quelque chose d'inconnu de quelque autre chose déjà connue, on ne trouve pas pour cela une nouvelle espèce d'être; seulement la connoissance que nous possédions auparavant s'étend au point de nous faire apercevoir que la dioie cherchée participe d'une manière ou d'autre de la nature des choses que renferme la proposition. Par exemple, si quelqu'un est aveugle de naissance, il ne faut pas espérer que jamais aucun argument lui donnera sur les couleurs les idées vraies que nous avons reçues des sens. Mais si quelqu'un a vu quelquefois les couleurs i6n4»«
Àoa
a«aus
mentaldfl, et qull n'ait jamais va les coulaiirt |qtarmédîaires et mixtes, il peut se faire qu'au moyeu d'une sorte de déductiou il se représente celles Eiéme qu'il n'a pas vues, d*apfès leur res^ aemblance avec les autres. De la même maniÀre, sll existe dans Taimant une sorte d*ôtre qui ne soit semblablp à rien de ce que notre intelligence a epfxire perçu, il ne faut pas espérer le connottre jamais au moyen du raisonnement, car il IH>U3 feudroit ou de nouveaux sens, ou une intelligeace divine. Hais tout ce que peut faire à cet égard l'esprit humain, nous croirons Tavoir fait ai nous percevons bien distinctement le mélange (}'étres ou de natures déjà connues qui produit les «ito^s effets que Taimant. Quelle que soit la diffSpftfiffe dii sujet, c'est par la même idée que l'on CQunoît t0us ces êtres déjà connus : l'étendue, la Qgiire, le mouvement, et autres semblables qu'il est inutila d'énumérer ici ; et nous n'imaginons pa4 autrement la figure d'une couronne si elle est d'argent que si elle est d'or. Cette idée générale i^e passe d*un sujet i un autre qu'au moyen d'une simple comparaison, par laquelle nous affirmons qMo l'objet cherché est, sous tel ou tel rapport, aamblable, identique ou égal à la chose donnée, tellement que dans tout raisonnement ce n'est Kue par la comparaison que nous connoissons précipément la vérité. Ainsi, par exemple, daps ce raisonnement : Tout A est B, tout Ç est C ; donc que tout A est G, on compare ensemble la chose Âerchée et la chose donnée, c'est-à-dire A et C, sous ce rapport que toutes les deux sont B. Mais comme» ainsi que nous l'avons souvent dit, les formes du syllogisme n'aident en rien pour perçevpir la vérité des choses, le lecteur fera bien de les rejeter entièrement, et de se persuader que toute oonnoissance qui ne s'acquiert pas par l'intuition pure et simple d'un objet individuel s'acqi|iert par la comparaispn de deux ou plusieurs objets entre eux. Presque toute l'industrie de la raison humaine consiste à préparer cette opération. En effet, quand elle est claire et simple, il n'est besoin d'aucun secours de l'art, piais seu- Uuppept de^ lumières paturelles, pour percevoir 1^ vérité qu'elle nous découvre. Il faut noter que If» comparaisons ne sont dites simples et claires qi|§ . topt^s les fois que la chose cherchée et la ^ose (ippné^ participept également d'une certaine qature; que toutes 1^ autres comparaisons n'ont besoin de préparatipn que parce qu^ cette pâture commune ne se trouve pas également dans les dcu( termes, mais selpn certains rapports ou certaines proportions dans lesquelles elle est enveloppée ; et que la principale partie de l'industiie humaine ne consiste qu'à réduire ces pro- Pdftipps à up f^ipt Hfm,Yè^9i\i^ ^otr« cp qui
est cherché et quelque chose de connu soit ni» clairement.
Notons ensuite que rien ne peut être ramené à cette égalité, sinon les choses qui comportent te plus ou le moins, et que toutes ces choses soot comprises sous le nom de grandeurs. Pe la sorte, une Ibis que, d'après la règle précédente, nous avons abstrait de tout sujet les termes d'une difficulté, nous comprenons que nous n'avons plus à nous occuper que de grandeurs en général.
Mais pour ipiaglner ici encore quelque chose, et nous servir non plus de l'iotelligence pure, mais de l'intelligence aidée des figures qui sont peintes dans Timagination, notons enfin que rieji pe se dit des gran4eurs en général qui pe se puisse rappprter à une grancl^Uf queloQpqoe ea particulier.
. D'où il est facile 4a conclure qu'il nous sera très utile de transporter ce qui se dit des grandeurs en général à l'espèce de grandeur qui se représentera le plus facilement et le plusdisUoctement dans notre imagination.
Or cette grandeur est l'étendue ré^le d'uD corps, abstraite de toute autre chose qup ce qui & figure; cela résulte de ce que nous avons dit à la règle douzièa^e, où il a été démontré que l'imaglDa* tion elle-même avec les idées qui existept en elle n'est autre chose que le véritable cofps réel étendu et figuré ; ce qui est en outre évident par soi-mêpie, ppisque dans aucup autre sujet les différences de proportions ne se soient plus distipcteipent. Car bien qu'une chose puisse élue dite plus ou moins blanche qu'une autre, un soo plus ou moins aigu, etc., cependant nous ne pouvons défipir exapt^q[)ent fi cet excédant est eu proportion dou))l6 ou triple, sinon par une certaine analogie à l'étendue du corps figuré. Qu'il reste donc certaip et assuré que les questious parfait^mept (|étprp)ipées pe contiennent guèro d'autre difficulté que celle qpi consiste à découvrir la mesure proportionnelle de l'inégalili, et que toutes les choses dans lesquelles on trouve précisément cette difficulté peuvent facilement et doivent ê(re séparées 4e tout aptre sujet, puis rapportées à l'étendue et aux figures, dont â cause de cela nous allpns traiter exclusivement jusqu'à )a règle cinquième.
Nous désirerions ipi un lecteur qui n'eût de goût que pour les études mathématiques et g^métriques, qupiqpe j'aimasse mieux qu'il ne s'en fut pas encore occupé que de les avoir apprises d'après la méthode vulgaire; car les règles qu» je vais donner sont d'un usage plus facile pour apprendre les sciences, à l'étude disquelles elles suffisent pleinement, que ppur toute autre espèce 4p auesUop } et leur iitiUt^ ^t sj grande pour ^
POUR LA DIRECTION DE L'ESPRIT
quérir une science plu? haqte que je pe cralps pas de dire que cette partie de notre méthode Q*a pas été ioventée pour résoudre des problèmes mathématiques, mais pIutAt qu*il pe faut en quelque sorte apprendre les mathématiques que pour 8*exerper à la pratique de cette méthode, f^ ne supposerai r^^n de ces sciences qui ne ^oit connu par soi-même et à la portée de tout le monde; mais la connoissance que les autres en ont ordiQa]reme^t, bien qu*elle ne soit altérée par aucune erreur éyidente, est cependant obscurcie par un grand nombre de principes équivoque? et mal conçus, que ça et là, par la suite, ^ous tâeberoos de corriger.
Par étendue nous entendonsf tqut ce qui a longueur, largeur et profondeur, ne recherchant pas si cest un corps véritable ou seulement qn. espace. Il n*est pas besoin, ce me semble, 4*une plqs grande explication, puisqqe rien n*e$t plus focilement perçu par notre imagination. Cependant les savants se servent souvent de distinctions si subtiles quHs éteignent les lun^ières naturelles, et qu'ils trouvent des ténèbres piéme (lans les choses que les paysaqs n'Ignoreqt jamais ; nous devons les avertir que par étendue nous ne désignons pas ici quelque chose de distinct ni de itparé du sujet, et qu*en généra) nous ne reconnoissons pas les êtres philosophiques de cette sorte que notre imagination ne peut réellep^ent perceTOir. Car encore bien que quelqu'un puisse se persuader, par exemple, que, supposé réduit à rien tout ce qui est étendu dans la nature, il n*est pas inadmissible que retendue elle-même existe par elle seule, toujours est-il que pour cette conception il ne se servira pas d'une idée corporelle, iDaisde sa seule intelligence portant un faux jugement. Et il le reconnoitra lui-même s'il réfléchit attentivement à cette imag^ même de réteiidMe qu'il s'efforcera de se représenter alors dans Yïnugiuation. Il reiparqnera, en eiïet, qu'il ne TapersoH p<|S dégagée de tout sujet» mais qu-H nmagioe tout autrement qu'il ne la juge; en lofte que c^ êtres abstraits (qpelle que soit Topi- Dlon qu'ait riptelligence sur la vérité de la chose) ne se forment jamais dans l'imagination séparés de tput sujet.
Mais cpipoie désormais nous ne ferpns plus rien i^ns le secpur^ (|e Timagination, il est important de distinguer avec soin sous quelle idée la signi- ^ioa de chaque mot doit être présentée à notre iotelllgence, C'^'st pourquoi nous noMS proposons d'eiaminef ces trpis manières de parler : l'étendtte occupf le lie^, U corps a de Vélendue, et attendue n'est pas le corps, La première n^ontre comment l'étendue se prend pour pe qui a de l'é- ^"f j » ^et| i^ WQÇoi^ entièfm^l ]^ p^pifl
chose quand je dis : l'étendiê^ oecup$ k Ki^t qa^ si je disois : ce qui a ds l'étendue occupa ù iie^^ Et cependant il ne suit pas d^ là qu'il vaille mïmu^^ pour éviter l'équivpque, se servir de ces n^i ce qui a de l'étendue, ear ils n^exprliperoiem pa» ^ussi nettement pe aue nous concevons, c'e^t-idire qu'un sujet quelconque occupe le iie^, parce que lui, le sujet, a de l'étendue; peut-^re toéum quelqu'un entendroit-ii seulenàent par la que ce quia de Vétendue fst un sv^^t çtcçugant U lieUf tout comme si je disois qu'un ttrt mimé occupe le lieu» Telle est la raison pour tfqnelle Qous avons dit que nous traiterions ici de Vétendue plutêt que de pe qui a de l'étendti^, quQiqufl nous pensions qnp l'étendue ne doive pas êtrf^ comprise autrement que ce qui <( de l'étendue. Passons maintepfiqt a ces paroles : un cotips a 4i l'étendu^: bieq que npus comprenions que dami cette phrase él^Ufi signifie autre chose qu^. cQirp.9 cependant Rpus pe formons pas danspo(r(( imagination deux idées distinctes, rupfi d*uD corps et Vautre de ('étendue, mais une seule, celle d*U9 corps qui ft de l'étendue. Au fond c'esf comme ai je disois ; un cofps a de Vétendue, ou plu têt ce qu\ « ({fi \'éte^d^e a de y étendue; cela e^t particulier a to|i( être qui n'e^st^ que dans uu autre fit qui na peut être compris sans un sujet; tl en e^t Atjtrpm^t pour les êtres qui se distinguent réellement d^s sujets. Si je dis, par exemple : Pierre a de^ richesses, l'idée de Pierre est entièrement différente de celle ie richesse; de même si je ^i$:Paul est f[iche,}e m*lmmiQe tout autre chose que si je disois, le riche est riehe^ Faute d'apercevoir cette différeuce, |a plupart pensept i tort que rétendue contient quelque chose de distinct dp ce qui a de l'étendup, comme les richesses de Paul sont autre chose que Paul. Enfin, si l'on dit : retendue n'est pas un corpe^ le mot étendue se prend toyt nutrpment que d* dessus, et dans ce derpier sens aucune idée particulière ne lui correqM>nd dans rimagination ; mais cette énonciatiop part tout entière de l'intelligence pure, qui seule a la foculté de distinguer séparément les êtres abstraits de cette espèce. C'est là, pour la plupart, une occasion d*erreur ; car ne remarquant pas que l'éfendue ainsi prisa ne peut être conçue par l'imagination, ils s*en font upe véritable idée; et pomme cette idée implique nécesii' rement la (sonception du corps, s'ils disent qoo l'éteqdue ainsi coofue D*est pu un corps, ils s'embarrassent h leur insu dans ceit« proposition q|ie la mime chose est un corps en méfne temps qu'elle n'en est pqs un. Il est trk important de bien distinguer les énonciations dans lesquelles iespiots étendue, figure t nombre, eutrf¥^t ¥a9** Bmli ^M<é, pt aiatm asoskliblea,
RÈGLES
ont une signification si rigoureuse qu'ils excluent qoelfiue ciiose dont en réalité ils ne sont pas distincts; comme lorsqu'on dit: Vétendue ou la figure n'est pas un corps, le nombre n'est pas , la chose comptée, la surface est la limiie éCun corps, la ligne est la limite de la surface^ le point est la limite de la ligne, l'unité n'est pas une quantité, etc. , toutes ces propositions et autres semblables doiTent être entièrement écartées de Timagination, quelque vraies qu'elles soient. C'est pourquoi nous n'en traiterons pas dans la suite. H faut noter avec soin que dans toutes les autres propositions où ces noms, bien que retenant la même signification et étant de même employés abstraction faite de tout sujet, n'excluent cependant ou ne nient rien d'une chose dont ils ne sont réellement pas distincts, nous pouvons et devons nous servir du secours de l'imagination, parce qu'alors, quoique l'intelligence ne fasse précisément attention qu'à ce qui est désigné par le mot, l'imagination doit se représenter une idée vraie de la chose, afin que Tintelligence puisse au besoin tourner son attention vers les autres conditions qui ne sont pas exprimées par le mot, et ne croire jamais inconsidérément qu'elles ont été exclues. Ainsi, par exemple, s'il est question de nombres, imaginons quelque sujet mesurable par plusieurs unités , et quoique notre intelligence ne réfléchisse d'abord qu'à la pluralité de ce sujet, prenons garde néanmoins qu'elle ne finisse par tirer quelque conclusion qui fasse supposer que la chose comptée a été exclue de notre conception, comme font ceux qui attribuent aux nombres des propriétés merveilleuses, pures folies auxquelles certes Ils n'ajouteroient pas tant de foi s'ils ne concevoient pas le nombre comme distinct de la chose comptée. De même, si nous traitons de la figure, pensons qu'il s'agit d'un sujet qui a de l'étendue, et que nous ne concevons qu'en tant que figuré ; si c'est d'un corps, pensons que nous l'examinons en tant que long, large et profond ; si d'une surface, concevons-la en tant que longue et large, omission faite de la profondeur, mais sans la nier; si d'une ligne, en tant que longue seulement ; si d'un point, en tant qu'il est un être, omission faite de tout autre caractère. Quoique je développe ici tout cela fort amplement, néanmoins l'esprit des mortels est tellement rempli de préjugés que je crains encore qu'un très petit nombre seulement soit en ce point à l'abri de toute erreur, et qu'on ne trouve l'explication de ma pensée trop courte, malgré la longueur du discours. En effet, l'arithmétique et la géométrie elles-mêmes, les plus cwtaines de toutes les sciences, nous trompent cependant à cet égard. Qoel est le calculateur qui ne pense non-seulement
que les nombres sont abstraits de tout sujet par l'intelligence, mais encore qu'il faut les en distinguer réellement par l'imagination ? Quel est le géomètre qui ne mêle à l'évidence de sod objet des principes contradictoires, quand il juge que les lignes n'ont pas de largeur et les surfaces de profondeur, et que cependant il les compose les unes à l'aide des autres, sans remarquer que cette ligne dont il conçoit que le mouvement produit une surface est un véritable corps, et que celle qui n'a pas de largeur n'est qu'un mode da corps, etc? Mais pour ne pas trop nous arrêter sur ces observations, il sera plus court d'exposer de quelle manière nous supposons que notre objet doit être conçu , pour démontrer le plus facilement qu'il nous sera possible tout ce qu*il y a de vrai à cet égard dans l'arithmétique et la géométrie.
Nous nous occupons donc Ici d'un objet qui a de l'étendue, ne considérant en lui rien autre chose que l'étendue elle-même, et nous abstenant à dessein du mot quantité, parce qu'il y a des philosophes si subtils qu'ils établissent aussi une distinction entre la quantité et retendue. Mais nous supposons que toutes les questions ont été amenées au point que l'unique objet en soit de rechercher une certaine iteodue, en la comparant à une certaine autre déjà connue. En effet, comme ici nous ne nous attendons pas à la connoissance d'un nouvel être, mais que nous voulons seulement ramener les proportions, quelque embrouillées qu'elles soient, à ce point que l'inconnu soit trouvé égal à quelque chose de connu, il est certain que toutes ies différences de proportions qui existent dans d'autres sujets peuvent aussi se trouver entre deux ou plusieurs étendues ; et dès lors il nous suffit, pour atteindre notre but, de considérer dans l'étendue ellemême les éléments qui peuvent nous aider à exposer les différences des proportions, éléments qui se présentent seulement au nombre de trois: la dimension, l'unité et la figure.
Par dimension nous n*entendons rien autre chose que le mode et la raison d'après laquelle un sujet quelconque est jugé mesurable ; en sorte que, non-seulement la longueur, la largeur et la profondeur sont des dimensions du corps, mais en outre la pesanteur est la dimension suivant laquelle les sujets sont pesés ; la vitesse est la dimension du mouvement , et ainsi d'une infinité d'autres modes semblables. Car la division même en plusieurs parties égales, qu'elle soit réelle ou seulement Intellectuelle, est à proprement parler une dimension suivant laquelle nous comptons les choses ; et le mode qui constitue le nombre est proprement une espèce de ii'
POUR V LA DIRECTION DE L'ESPRIT
neosiOD, quoiqo*!! y ait quelque dhreniti dans la sigDificatioD do mot. En effet, si nous coDsidérofls les parties relativement au tout, on dit alors que Dous comptons; si, au contraire, nous cooudéroas le tout en tant que divisé en parties , nous le mesurons ; par exemple, nous mesurons les nècles par les années, par les jours, par les beares et par les moments ; mais si nous comptons les moments, les jours, les années, nous finissoDS par compléter la somme des siècles.
Be là il résulte évidemment qu*il peut y avoir dans un même sujet une infinité de dimensions différentes, et qu'elles n'ajoutent rien aux choses oo elles se trouvent, mais qu'elles doivent être considérées de la même manière, soit qu'elles aient un fondement réel dans les sujets euxmêmes, soit que notre esprit les aK inventées. Cest en effet quelque chose de réel que la pelanteur des corps, ou la vitesse du mouvement, on la division du siècle en années et eu jours; mais la division du jour en heures et en minutes n'a rien de réel, etc. Cependant toutes ces choses sont identiques, si on les considère seulement sons le rapport de la dimension, comme on doit le faire ici et dans les sciences mathématiques. Car il appartient plutêt aux physiciens d'examiner si les dimensions inventées par l'esprit ont un fondement réel.
Cette considération jette un grand jour sur la géométrie, parce que la plupart conçoivent à tort dans cette science trois espèces de quantité : la ligne, la sin'face et le corps. En effet, il a déjà été dit que la ligne et la surface ne sont pas perceptibles à la conception, en tant que vraiment distinctes des corps, ou l'une de l'autre. Mais si on les considère simplement en tant qu'abstraites par Tintelligence, alors ce ne sont pas plus des mpices différentes de quantité que l'animal et Têtre vivant ne sont dans l'homme différentes espèces de substance. Notons en passant que les trois dimensions des corps, la longueur, la largeur et la profondeur, ne diffèrent entre elles 91e de Dom ; rien n'empêche en effet que dans un solide donné on ne choisisse pour la longueur, pour la largeur, ou par la profondeur, l'une ou l'autre de ces trois étendues indifféremment. Et quoiqu'elles aient seules un fondement réel dans toute chose qui a de l'étendue, en tant qu'ayant simplement de l'étendue , cependant nous ne les avons pas plus en vue ici qu'une infinité d'autres qui sont des fictions de l'intelligence, ou qui de plus ont un fondement réel dans les choses. Ainsi, pir exemple, si on veut mesurer exactement un triangle, il faut en connoitre trois éléments, savoir ; les trois c&tés, ou deux cêtés et un angle, ^ deux angles et l'aire^ etc. Pe même 11 faut
connoitre cinq choses dans un trapèze, six dans un tétraèdre, etc., etc., toutes choses qui peu* vent s'appeler des dimensions. Mais afin de choisir ici celles qui aident le plus notre imagination, n'embrassons jamais à la fois plus d'une ou deux de celles qui y sont représentées, quand même nous verrions que dans la proposition qui nous occupe il en existe d'autres. Car le propre de l'art est de les diviser le plus possible pour diriger notre attention sur un très petit nombre i la fois, et cependant sur toutes successivement.
L'unité est cette nature de laquelle, comme je l'ai dit plus haut, doivent participer également toutes les choses que l'on compare entre elles. Et si dans une question de cette sorte 11 n'y a pas déjà quelque unité déterminée, nous pouvons prendre, au lieu d'elle, soit une des grandeurs déjà données, soit quelque autre, et elle sera la mesure commune de toutes les autres; et nous comprenons qu'il y a en elle autant de dimensions que dans les extrêmes eux-mêmes qui doivent être comparés entre eux; et nous la concevons ou simplement, comme quelque chose qui a de l'étendue, abstraction faite de tout autre caractère ( et alors elle sera la même chose que le point des géomètres lorsqu'ils composent la ligne par le mouvement du point ), ou conmie une ligne, ou comme un carré.
En ce qui concerne les figures, il a déjà été montré plus haut comment c'est par elles seules qu'on peut se former des idées de toutes choses. Il nous reste à déclarer présentement que, de leur mille espèces diverses, nous n'emploierons ici que celles qui expriment le plus facilement toutes les différences des rapports et des proportions. Or 11 n'est que deux sortes de choses que l'on compare entre elles, les quantités et les grandeurs ; et nous avons aussi pour les représenter à notre intelligence deux espèces de figures ; ainsi, par exemple, les points • qui désignent un nombre detrian* ,*/,gles, ou l'arbre généalogique etc., sont des figures destinées i représenter des quantités ; malt les figures continues et non divi-
Le père, lefil8,UiUle.
sées, telles qu'un triangle/^ ou un carré Q , etc. , représentent des grandeurs.
Et maintenant, avant d'exposer quelles sont de toutes ces figures celles que nous allons employer ici, disons que tous les rapporte qui peuvent exister entre les êtres de même espèce doivent se réduire à deux chefs : l'ordre et la mesure. Disons en outre qu'il ne faut pas peu d'habileté pour découvrir l'ordre, ainsi qu'on peut le voir dans toutes les parties de cette méthode qui n'enseigne presque rien autre chose, tandis qu'il n'y a pas ia moindre difficulté à connottre l'ordre une fois
^mim
trooy<, 0t qve notre esprit peut bdlement, d V
près la rigle septième, parcourir chacune des parttetf mises e^ ordre, parce que dans celte espèce de rappqrU les uns se f attaoheut <^|ii autres par eu^-mAmesi, ^f uo^ par riptermé^ijiire d'un troisièipe, çùmv^e^ il m^rive 4&ps les mesures dont, pour ce mQ(if> OQUS traitons exclusivement ici. Je reconnois ^R effet qqel es( l'ordre qui existe entre A et ^, sans considérer rien autre chose que Tun et l'aqtre extrême. Mais je ne reconnois pas quelle est la proportion de la grandeur entre deux et trois, i^ moins que je ne considère iin troisième terme, savoir Tunité, qui e^t t& Ines^re commune de cbficun des deux autres.
Pisons encore que les grandeurs continues peuyent, au moyen 4'URe i^nité d*emprunt, être toutes ptMrfois, Q\ touioiirs ao iROjp^ en partie, ra-r inenée§ à ^ pluralité, et que la pluralité 4e§ unités peq( être ensuite disposée 4$^us un prdre tel que 1^ difficulté qui consiste dauf la connofssanpQ de laipesur^ ne dépende plus <{ue de rinspecUp^ de Tordra, progrès Bflwr \^^^^^ l'w-t est d'wi) tri(| Ifaqd fteçoHn.
pi^nns enfin ^Re, de toutes les dimenslQns d<^ inqdeur continue, jj p'en est pas que Ton popcoive pjuç ^istinptenieDt qMe I4 Ipngueur et l^ largeur, çt qq*ll De faut p^ pprter son attention sur plu^ sieurs à la fois dans la même figqre, mais se^le-: ipent en comparer epserpble deux qui diffèrent Çntre elles; parce qpe sj Top a plus de deqx ditensions différeptes a comparer epsemble, l'art veut qu'on les parcoure supceesiyepent et qi^'pn B*eu observe que deux à la fojs.
De tout cela U est bcile de conolure qu'il |aiit ibst^aire les proportions, qon moins des figures giiâme 40ilt tr^itopt \^ g^o^nètres, s'il en estquesr tioPi que de toute autre piati^re, ^i que, pour Ç^ttO opération, |1 ne feut qon^ervef que les surr f^ees rectiii([nes et rectsngMlajres ou les ligqe^ droites que nouç eppelops SMS^i figures, parpfi qu'elles He npu§ servent pas moips que les surfaces à représenter un sujet qui a réellement de l*étepdue, comme il a été dit plus haut ; et enfin qu'il faut représenter par çe^ mêmes figures tentait des gran4curs continues, tantôt la pluralité, du le nombre, et que r§rt bumaip ne pe}|t nen Inventer de plus simple pour exposer toutes )es
4iffére9(ei 4os rapports,
n est mtlo aussi, ta plupart du temps, de tracer ces figures et d9 les présenter aux sens externes pour teuir plus ÊicUement paf ce moveo notre esprit atiaoUf.
là manière 4opt u {sut tracer ces lignes, poiir
leur flguve se réfléeUsse plus distinctement dani notre imagination, s'explique d'elle-même. Âiosi, en premier Ijeu, nous représenterons l'unité do trois manières : par un carré □, si noos la coosi* 4érons en tant que longue et large ; par une ligne
I , si nous ne la considérons qu'en tant que
loilgue; et eqfin, par un point •, si nous ne it considérons qu'en tant que servant 4 compoier U| pluralité. Mais de quelque manière qu'on li représente et qu'on la conçoive, nous oompreo- 4rpns totyoprs qu'elle est un sujet qui a de l'étendue en tous sens et qui est susceptible d'usé infinité de dimensions. Ainsi encore, pour représenter aux yeux les termes d'une proposiiisD dans lesquels nous aurons i examiner i la foii deus grandeurs dififërentes, nous tracerooi oi reotangle dent les deux cAtés seront les gran* deurs proposées^ de cette manière si elles sont Inoommensurables^ avec fnnité , de cette autre
ou de celle-ci * I * , sj elle?
9ont cpfnipensurables, sans rien ajouter, i moini qu'il ne s'egisse 4 une pluralité d'unités. Si eofis nous n'examinons qu'une seule grandeur, nouer» nrésepteroi^s ie ligne par un reptangle j I
dont upe4t^sere la grandeur proposée, • *
et l'autre l'unité , de celte manière 1 T
ce qui se fait toutes les fois que lj>* "*
même ligne dojt être cqmperée avec une surface queloonqiiei on seulement par une longueur, de
eette panière , si on la copsidère
comme une loi^ueur înconimensurable, ou 46 cette manière f ^ • t, «i elle est une pluralité.
RÈGLE XVL
9^aii| aux (Uneoiiens qui ii*exigeB( pas raUcnUoB iowM^ de resprlt, bien qu'elles soient nécessaires pour la coodos'ton, ir vaut mieux les désigner par des figures très coortcs qu0 par des flgufes euUèrcs; de la aortt, en clfet, la wA |DOire ne poi^rra (i^Uff et la pensée ne fera pas forcée de eê partager pour retenir ces dlmensioos, taudis qu'elle s'ap» pliquera à la redierclie des autres.
▲a reste, oomme neos avons dit que, parmi les innoBibrables dimensions qui peuvent se peindre dans notre imagination, il ne fiiut en considérer plus de deux i la fois par un seul et mtoos regard ou par une seule et môme intuition, U ^ important de retenir toutes les autres, de telle sorte qu'elles se présentent facilement i notre ee« prit toutes les fois que nous en aurons beioiD. C*est dans ce. but que la ménooire nous semble avoir été créée par la nature. Mais comme cette
(I) Le texte latlq porte commenturattUci, Bseï : incarne^ êuraMÊêê, L'erreur esî évidente ; la seule coi^pindsoD des ai-
sw* pulli P0V9 Is Ms tmNr 4n dM.
POUR LA DIMlCaiûN DE L'ESPRIT.
(acuité est sujette à faillir souyeDt, et pour D*Atre pas forcé d'employer quelque partie de notre attention i la renouveler pendant que nous som^ mes occupés à d'autres pensées, l*art a Ibrt à propos InTenté Tusage de récriture. A Talde de eette invention nous ne confierons plus rien i la mémoire ; mais abandonnant notre imagination libre et entière aux idées présentes, nous trace^ fOM sur le papier tout ce qu'il faudra retenir, et cela au moyeti de figures très courtes, afin qu'a* près avoir examiné chaque chose séparément, se^ loQ la règle neuvième j nous puissions, selon la règle onzième, les parcourir toutes par un mou* tement rapide de la pensée, et en embrasser i la Ibis le plus grand nombre possible.
AiDsi donc, tout cequMl faudra regarder comme Vunité pour la solution de la question , nous le désignerons pqr un signe unique que l'on peut représenter ad Hhiium; mais pour plus de fiiclcQité non? nous servirons de lettres minuscules a,6,(r, etc. pour exprimer les grandeurs déji oouDues, et de majuscule A,B,C pour les grandeurs inconnues , et souvent nous placerons les diiffres 1,2,3,4, etc. , soit ep tête de ces signes pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite pour exprimer le nombre des relations qii*ellfs contiennent. Ainsi , par exemple , si j'écris 2 0^, ce sera comme si je disais : le double de la grandeur représenté par a, laquelle contient trpis rapports, par ce moyen, non-seulement nous épargperons les mots, mâts, ce qui est le plus important, nous présenterons les termes de la difficulté tellement'simples et réduits&eux-mêmesque, ans rien omettre d'utile , nous ne laisserons en eux rien de superflu , rien qui occupe inutilement l'esprit quand il lui faudra embrasser plusieurs objets à la fols.
^ Pour mieux comprendre tout cela, 11 faut reaanruer d'abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités pu par un nombre quelconque, mais que pour nous, dans la question qui nous occupe, nous ne bisons pas moins abstraction des nombres que tout à l'heure des figures géométriques ou de toute antre chose ; ce que nous faisons non-seuleiDent pour éviter Tennui d'un calcul long et su- ])erflu , mais encore et surtout pour que celles des parties du sujet qui constituent la nature de là dIfBeulté demeurent toujours distinctes et ne soient pas enveloppées dans des nombres inutiles. Ainsi, par exemple, si Pon cherche la base d'un triaoj^lë rectangle dont les cétés donnés sont S et 12 , un calculateur dira qu'elle est v/ 225 OQ 15 ; mais nous, au lieu de 9 et 12, nous posen»Qs a et b^ et i^ous trouverons que la base <st y/ c^j^t^; et ces deux parties a et i qui
sont confuses dans le nombre resteront distinctes dans notre formule.
Il faut remarquer encore que par nombre det relations il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre continu , proportions que dans l'algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs figures , et dont on nomme la première racine , la seconde carré , la troisième cube , la quatrième doublecarré; termes qui, je Tavoue, m'ont trompé moi-même bien longtemps ; car il me sembloit qu'on ne pouvoit présenter à mon Imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et autres figures semblables; et avec leur secours je ne résolvois pas peu de difficultés; mais après beaucoup d'expériences je me sois en fia aperçu que cette manière de concevoir ne m^à'* voit rien fiiit découvrir que je n'eusse pu oon^ noitre bien plus facilement et bien plut distincte^ ment sans elle, et qu'on doit rejeter entièrement de telles dénominations, de peur qu'elles ne trou-s blent la conception , parce que la même grandeur» qu'on appelle cube ou double carré, ne doit ce^ penc(ant jamais, selon la règle précédente, être présentée à rimagination autrement ^ue comme une ligne ou comme une surface. Il faut donc en^ core noter surtout que la racine, le carré, le cube, etc., etc., ne sont rien autre chose que des grandeurs en proportion continue que l'on suppose toujours précédées de cette unité d*emprunt dont nous avons déjà pi^rlé plus haut. La première proportionnelle se rapporte immédiatement et par une seule r^latiop à cette unité; la seconde par l'interniédiaire de la première, et conséquemment par deux relations ; la troisième par l'intermédiaire de la première et de la seconde, et par trois relations , etc. Nous appellerons donc désormais première proportionnelle cette grandeur qu'on appelle racine en algèbre; seconde proportionnelle celle qu'on nomme carré, et ainsi des autres.
Remarquons enfin que, bien que nous abstrayons ici du nombre les termes de la difficulté pour en examiner la nature , cependant il arrive souvent qu'elle auroit pu être résolue plus simplement dans le nombre donné que dégagée de ce même nombre*, ce qui se fait par le double usage des nombres, ainsi qup pous iWps vu plus haut, pafce que les m^es e^pliqu^nt tantôt l ordre, tantêt la mesure. Conséquemment, après avoir cherché à résoudre la difficulté, abstraction fiiite des nombres, il fout la rapporter à ces nombres pourvoir si par hasard Ils ne nousfDurnlroleirt pas une solution plus simple. Ainsi, par exemple, après avoir vu que la base d'un triangle rectangle, dont les côtés sont a et 6, est ^a^ 4- b* et qu'il faut pour a^ pe^r 81, et pour ft> 144.
REGLES
nombres qui, additiODDJs, font 225, dont la raciae, c'est-à-dire la moyenne proportioiiDelle entre Tunlté et 225 est 15, nous oonnoîtrons par là que la base 15 est oommensurable avec les cÂtés 9 et 12, mais non généralement parce qu'elle est la base d*un triangle rectangle dont un cAlé est à Tantre comme 3 est à 4 ; tout cela nous le distinguons, nous qui voulons acquérir une connoissance évidente et distincte des choses, mais non les calculateurs qui se contentent de rencontrer la somme cherchée sans remarquer comment elle dépend des données; en cela cependant consiste toute la science.
Et maintenant, notons en général qu'il ne faut confier à la mémoire aucune des choses qui ne rédament pas une attentfon perpétuelle, si nous pouvons les déposer sur le papier, de peur que la tftche surperflue de nous les rappeler ne soustraie quelque partie de notre esprit à l'étude de l'objet présent. Il faut dresser un tableau pour y écrire d'abord les termes de la question, tels qu'ils auront été présentés la première fois; pulsla manière dont on les abstrait et les figures par lesquelles on les représente, afin qu'après avoir trouvé la solution dans les signes mêmes, nous puissions facilement, et sans le secours delà mémoire, l'appliquer au sujet particulier dont 11 s'agira. En effet, on ne peut abstraire une chose que d'une autre moins générale ; j'écrirai donc de cette manière : dans le triangle rectangle aie, on cherche la base a c, et j'abstrais la difficulté pour chercher en général la grandeur delà based'après la grandeur des cAtés ; ensuite, au lieu de a b, qui égale 9,' je pose a; an lieu de b c, qui égale 12, je pose b; et ainsi du reste.
Notons enfin que nous nous servirons encore de ces quatre règles dans la troisième partie de oe Traité, et que nous les prendrons dans une acception un peu plus large que nous ne l'avons fait UA, comme il sera dit en son lieu.
RÈGLE XVIL
Qd doit parcourir directement la difficulté proposée, en faiaant abstractien de ce qoe qoelqueft-aos de ces termes soot comms et les autres iocoDoui, et eo suivant par la irraie route leur mutuelie dépendance.
Les quatre règles précédentes ont enseigné comment les difficultés déterminées et parfaitement comprises doivent être abstraites de chaque' sujet et amenées à ce point que l'on n'ait plus que de certaines grandeurs à découvrir, à l'aide des rapports qu; les unissent de telle ou telle façon à d'autres grandeurs données. Bans les cinq règles {
suivantes nous exposerons comment ces difficoltés doivent être traitées, de manière qoe^ quel que soit le nombre des grandeurs inconnues qui se trouvent dans une seule proposition , elles soient toutes subordonnées les unes aux autres, et que, ce que la première est par rapport à l'unité, la seconde le soit par rapport à la première, la troisième par rapport à la deuxième, la quatrième par rapport a la troisième, et qu'en se suooédaBt de la sorte, si nombreuses qu'elles soient, elles îàsaeai une somme égale à quelque grandeur ooitnue ; et tout cela par une méthode si certaine que nous pouvons affirmer sûrement qu'aocos autre moyen n'auroit pu ramener ces grandesn à des termes plus simples.
Quant à présent, notons que, dans toute question à résoudre par déduction, il est une Yoie plane et directe qui est la plus facile de tootei pour arriver d'un terme à un autre, tandis qoe toutes les autres sont indirectes et plus difficiles. Pour comprendre cela il faut nous th^ peler ce qui a été dit à la règle onzième, où exposant quel est l'enchainement des propositioDs, nous avons montré que, si Ton compare chacune d'elles avec celle qui la précède et celle qui la suit, on aperçoit facilement comment la première et la dernière sont ainsi en rapport l'une avec l'autre, bien que nous ne déduisions pas aussi facilemeot des extrêmes les propositions intermédiaires. Maintenant donc, si nous considérons leur dépendance réciproque sans interrompre Tordre nulle part, pour inférer de là comment la dernière dépend de la première, oo sera parcourir directement la difficulté. Si au contraire, de ce que nous savons que la première et la dernière sont jointes entre elles d'une manière quelconque, nous voulions déduire quelles sont les intermédiaires qui les unissent, ce seroit suivre une marche indirecte et contraire à l'ordre naturel. Mais comme nous ne nous occupons ici que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut, les extrêmes étant connus, arriver par une marche inverse à la connoissance des intermédiaires, tout l'art cooslste alors à supposer connu ce qui est inconnu, et à pouvoir ainsi nous procurer un moyen facile et direct de résoudre les difficultés même les plus embarrassées; et rien n'empêche que cela n*ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cette partie, que dans toute question nous reconnoissons que les termes inconnus sont dans une telle dépendance des termes connus qu'ils sont parfaitement déterminés ^ eux ; en sorte que si nous réfléchissons aux clioses mêmes qui se présentent d'abord, mssMt que nous reconnoissons cette détermination, et si nous les comptons quoique inconnues paroi les
POUR LA DIRECTION DE L'ESPRIT
choses eoimoet, pour en déduire graduellement et par la vraie route le connu Inl-méme comme l'il étoit îDConnu, nous eiécuterons tout ce que cette règle prescrit. Quant aux exemples de ce que noos Tenons d'exposer, comme aussi de plusieurs aotres choses dont nous devons parler dans la nite, noos les réservons pour la règle vingt-quatrième; Ils y seront plus convenablement placés.
RÈGLE XVIIL
tar cela 0 D*est besoin que de quatre opérations : radditioo, tanusmicUoD, la multlpUcatloD et la division ; souvent même les deux dernières ne doivent pas être biles id, tant pour se rien compliquer Inutilement qae parce qu'elles peuvent être exécutées plus bcUement parla suite.
La multiplicité des règles provient souvent de l*impéritie des maîtres, et les choses que l'on peut rameoer à un seul principe général sont moins dairessi on les divise en plusieurs règles particulières. C'est pourquoi toutes les opérations dont il iaot se servir pour parcourir les questions, c'està-dire pour déduire certaines grandeurs d'autres grandeurs données, nous les réduisons ici i quatre diefii seulement ; l'explication de ces chefs eux-mimes démontrera comme leur nombre est suffisant.
En effet, si nous parvenons à la connoissance d'une grandeur parce que nous avons les parties dont elle se compose, c'est par l'addition ; si nous découvrons une partie parce que nous avons le tout et l'excédant du tout sur cette même partie, c'est par la soustraction. Il n'y a pas un plus grand nombre de moyens pour déduire une grandeur quelconque d*autres grandeurs prises absolument et dans lesquelles elle soit contenue d'une manière quelconque. Mais si une grandeur est internédlaire entre d'autres dont elle est entièrement différente, et qui ne la contiennent nullement, il ttt nécessaire de l'y rapporter par quelque point; et cette relation, si c'est directement qu'il la faut diercher, on la trouvera par une multiplication ; li c'est indirectement, par la division.
Pour mieux comprendre ces deux points, il but savoir que l'unité, dont nous avons déjà parlé, est ici la base et le fondement de tous les rapports, et que, dans une série de grandeurs en ivoportion continue, elle occupe le premier depé; que les grandeurs donnérâ occupent le second , et les grandeurs cherchées le troisième, le quatrième et les autres, si la proposition est di- Kcte^ sî elle est indirecte, la grandeur cherchée occupe le second degré et les autres degrés inter* ttédiaires, et la grandeur donnée le dernier. Car
si on dit : comme l'unité est i a on 5 donné, ainsi i ou 7 donné est à a b ou 35 cherché, alors a et 6 sont au second degré, et a (, qui en est le produit, est au troisième. De même si l'on ajoute: comme l'unité est à c ou 9, ainsi a ( ou 35 est i a 6 c ou 513 cherché ; alors a i c est au qua« trième degré, et il est le produit de deux multi* plications de a 6 et de c, qui sont au second degré, et ainsi du reste. De même : comme l'unité est è a 5, ainsi a 5 est à a* ou 25 ; et encore : comme l'unité est à 5, ainsi a* 25 est à a^ 125 ; et enfin, comme l'unité est à a 5, de même a* 125 est i a* ou 625, etc. En effet, la noultiplication ne se fait pas autrement, soit qu'on multiplie une grandeur par elle-même, soit qu'on la multiplie par une autre entièrement différente.
Et maintenant si l'on dit : comme l'unité est à a ou 5, diviseur donné, ainsi B ou r cherché est a a 6 ou 35 dividende donné, alors l'ordre est renversé ; c'est pourquoi B cherché ne peut se trouver qu'en divisant a b donné par a donné aussi. De même si l'on dit : comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A ou 5 cherché est à A^ ou 25 donné; ou encore : comme l'unité est a A ou 5 cherché, ainsi A* ou 25 cherché aussi esta a' ou 125 donné, et ainsi du reste. Nous embrassons toutes ces opérations sous le nom de division, quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parce que l'on trouve plus souvent en elles la grandeur cherchée, qui par conséquent contient plus de rapports. Car le sens de ces exemples est le même que si l'on disoit qu'il faut extraire la racine carrée de a* ou 25, ou le cube de a' ou 125, et ainsi du reste. Cette formule , usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des termes de la géométrie, à dire qu'il faut trouver la moyenne proportionnelle entre cette grandeur d'emprunt que nous appelons unité , et celle qui est désignée par a> ou les deux moyennes proportionnelles entre l'unité et a', et ainsi des autres.
De li il est facile de comprendre comment ces deux opérations suffisent pour trouver toutes les grandeurs qui doivent être déduites d'autres grandeurs, à l'aide d'un rapport quelconque. Cela bien entendu, il nous reste i exposer comment ces opérations doivent être ramenées i l'examen de l'imagination, et comment il faut les représenter aux yeux mêmes, pour ensuite en expliquer l'usage et la pratique.
Si nous avons i faire une division ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne, ou d'une grandeur qui a de l'étendue, et dans laquelle il ne faut considérer que la longueur ; car s'il faut ajouter la ligne ^ i la li-
Si&
RÈGLES PCfm LA DIÉÈCTldN ïtÉ VÉÈPkrF.
giie JL, nous joignons Tune à l'autre cîe cette maolère JiJ* , et nous obtenons pour produit ^' Si, au contraire, il faut extraire la plus petite de la plus grande, savoir J. de ^±, nous les appliquons l^une sur l'autre de cette manière JL et nous obtenons ainsi la partie de la plus à grande, c|ui ne |)eut être couverte par la plus petite, savoir ^ èans la raultipli^ cation, nous concevons aussi sous la forme de lignes les grandeur^ données; mais nous imaginons qu'elles forment un rectari-p"^ ^
gle : car si nous multiplions g. par ^ [
— t , nous les adaptons Tune à l'autre « angles
droits , de cette manière , 4
et nous obtenons le rectangle D'une autre part, s!
nous voulons multiplier a b par c, il
faut concevoir a b sous la forme d^une ligne de fcette manière 2£:et nous obtenons pour abc.
Enfin , dans la dîvl* sion où le diviseur est donné, nous nous re-
Î résentons la grandeur diviser sous là forme d'un rectangle, dont un cdté est diviseur et un autre quotient. Ainsi , nat eiemple, si Ton a le rectangle à diviser par ^ ; on en flle la largeur ^ , et il reste^ pour a quotient ; ou au contraire si on divise le même rectangle par 6, on ôtera la longueur^* et lé quotient sera ^ ,
Quant aux divisions ou le diviseur n'est pas donn^ , mais seulement désigné l)àr tih rapport quelconque, comme, par eiemple, lorsqu'où dit qu'il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc. , notons qu'il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont le première est l'unité et la dernière la grandeur â diviser. Il sera dit en son lied comment il faut trouver toutes les moyennes proportionnelles entre le dividende et l'unité. Il suffit d'avoir averti que nous supposons que dé telles op^râtionà ne sont pas encore acbevées ici, puisqu'elles doivent l'être par une action indirecte et réfléchie de 1*1magination , et que nous iié tfaltOds Itlàiiiténant que des questions à parcourif direcienient.
En ce qui concerne les autres dpérdtions, elie^
peuvent être faites très facilement de la niddlère (I) Teste l^Undo! n est «vkleat qu*U iàut lire Umgiktilo,
dont nous avons dit qu'il laut les eobcevoir. H reste cependant k exposer commet les termeieD doivent être prépares; car bien que noas soyoss libres, quand une difficulté §e présente pouria première fois, d^en concevoir les termes oomiDe des lignes ou comme des rectangles sans jamais leur attribuer d'autres figures , ainsi qu'il a été dit k la règle quatorzième , toiitèfois il arme souvent, dans le cours de l'opération, qu'un mtangle, après avôif' ItiprddUit pdr la multiplication de deux lignes, doit être bientôt codçq comme une ligne pour servir à une autre opération ; ou encore que le même rectangle, oa la ligne produite par une addition ou 2ine soustraction i doit être bientêt conçue comme on autre rectangle désigné au-desstis de ta ligne qui doitle diviser.
Il est donc important d'exposer ici Gomment tout rectangle peut être transformé eu une ligne, et réciproquement toute ii^ne ou même tout rectangle en un autre rectangle dont le eêté soit désigné. Gela est tr&s facile aux géomètres, pourm qu'ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous en composons avec quelque rectangle, comme ici, nous entendons toujours des Rectangles dont un cOté est la longueur que nous avoDS Ijrise pour unité. De la sorte, en effet, tout se réduit a cette proposition : Ëtant donné un leMgle, en construire un autre égal sur un S donné.
Quoique cette opération soit familière, mm k ceux qui commencent l'étude de la géométrie, je veux néanmoins l'exposer, de peur de paroitrs avoir omis quelque chose. (Le reste manque.)
