RÈGLE XVI

Quant aux riimriiMotis qui u'rxigrnl pas l'attention Immcdiatedc l'oprit, bien quelles soient necessaire* pour la courlusion, Il vaut mieux les d&igner par de* Ûgures 1res courtes que par des ligure* entière* ; de la sorte, eo efi?t, la tué moire im> pourra faillir, et la pea*dft ue sent pas forcée do se partager pour retenir cca dimensioua, tandis qu’elle s'appliquera à b recherche des autre*.

Au reste, comme nous avons dit que, parmi les innombrables dimensions qui peuvent se peindre dans notre imagination, il ne faut en considérer plus de deux à la fois par un seul et même rogard ou par une seule et même intuition, Il est important de retenir toutes les autres, de telle sorte qu’elles se présentent facilement à notre esprit toutes les fols que nous en aurons besoin. C’est dans ce but que la mémoire nous semble | avoir été créée par la nature. Mais comme cette

I r.p irxle h Mu purte rownensuralntr», lisez : inenmmen surabtk*. L’erreur 1*1 évidente ; ta seule comparaison des sï-

J g ucs sufiii pour ta taire loucher du doigt.

POUR LA DIRECTION DE L’ESPRIT

faculté est sujette à faillir souvent, et pour n’être pas forcé d’employer quelque partie de notre attention à la renouveler pendant que nous sommes occupés à d'autres pensées, l’art a fort à propos inventé l’usage de l’écriture. A l’aide de cotte invention nous ne couûeruus plus rien à la mémoire ; mais abandonnant notru imagination libre et entière aux idées présentes, nous tracerons sur le papier tout ce qu'il faudra retenir, et cela au moyeu de figures très courtes, afin qu'après avoir examiné chaque chose séparément, selon la règle neuvième, nous puissions, selon la règlo onzième, les parcourir toutes par un mouvement rapide de la pensée, et en embrasser à la fois le plus grand nombre possible.

Ainsi doue, tout ce qu'il faudra regarder comme l’unité pour la solution de la question, nous le désignerons par un signe unique que l’un peut représenter ad libitum; mais pour plus de faeï cilité nous nous servirons de lettres minuscules a,byCy etc. pour exprimer les gruudeurs déjà connues, et de majuscules A,B,C pour les grandeurs inconnues, et souvent nous placerons les chiffres 1,2, 3, 4, etc. , soit en tôle de ces signes pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite pour exprimer le nombre des relations qu'élira contiennent. Ainsi , par exemple , si j’écris 2 a3, ce sera comme si je disais : le double de la grandeur représenté par a, laquelle contient trois rapports. Parce moyeu, non-seulement nous épargnerons les mots, mais, ce qui est le plus important, nous présenterons les termes de la difficulté tellement simples et réduilsà eux-mêmes que, sans rien omettre d’utile, nous ne lai&serous en eux rien de superflu , rien qui occupe inutilement l'esprit quand il lui faudra embrasser plusieurs objets à la fois.

Pour mieux comprendre tout cela, il faut remarquer d’abord que les calculateurs ont coutume de désiguer chaque grandeur par plusieurs unités ou par un uombre quelconque, mais que pour nous, dans la questiou qui nous occupe, nous ne faisons pas moins abstraction des uombres que tout à l'heure des figures géométriques ou de toute autre chose ; ce que nous faisons nou-seulemeut pour éviter l’ennui d’un calcul long et superflu , mais encore et surtout pour que celles des parties du sujet qui constituent la nature de la difficulté demeurent toujours distinctes et ne soient pas enveloppées dans des nombres inutiles. Ainsi , par exemple, si Ton cherche la base d’ua triangle rectangle dout les côtés donnés sont 9 et 12 , uu calculateur dira quelle est t/ 225 ou 15 ; mais nous, au lieu de 9 et 12, nous poserous a et 6, et nous trouverons que la base est i/ b4; et ces deux parties a et b qui

sont confuses dans le nombre resteront distinctes dans notre formule.

11 faut remarquer encore que par nombre des relations il faut entendre les proportions qui io suivent en ordre continu , pro| criions que dans l’algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs figures , et dont on nomme la première racine , la seconde carré , la troisième cube , la quatrième doublecarré; termes qui, je l’avoue, m’ont trompé moi-même bien longtemps ; car il me sembloit qu’ou ne pouvoit présenter à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et autres figures semblables; et avec leur secours je ne résolvois pas peu de difficultés ; mais après beaucoup d'expériences je me suis enfin aperçu que cette manière de concevoir ne m’avoit rien fait découvrir que je n'eusse pu connoîlre bien plus facilement et bien plus distinctement saus elle, et qu’ou doit rejeter entièrement de telles dénominations, de peur qu’eilesne troubleu l la conception, parce que la même grandeur, qu’on appelle cube ou double carré, ue doit cependant jamais, selon la règle précédeute, être présentée à l'imagination autrement que comme uoe ligue ou comme une surface. Il faut donc encore noter surtout que la racine, Je carré, le cube, etc., etc., ne sont rien autre chose que des grandeurs en proportion continue que l’on suppose toujours précédées de cette unité d’emprunt dunt nous avons déjà parlé plus haut. La première proportionnelle se rapporte immédiatement et par une seule relation à cette unité; la seconde par l’intermédiaire de la première, et conséquemment par deux relations ; la troisième par l’intermédiaire de la première et de la seconde, et par (rois relations , etc. Nous appellerons donc désormais première proportionnelle cette grandeur qu’on appelle racine en algèbre ; seconde proportionnelle celle qu’on nomme carré, et aiusi des autres.

Hemarquons enfin que, bien que uous abstrayons ici du nombre les termes de la difficulté pour en examiuer la nature , cependant il arrive souvent qu’elle auroit pu être résolue plus simplement dans le nombre donné que dégagée de ce même nombre; ce qui se fait par le double usage des nombres, ainsi que nous l’avons vu plus haut, parce que les mêmes expliqueut tautêt l’ordre, tantôt la mesure. Couséquemment , après avoir cherché à résoudre la difficulté, abstraction faite des nombres, il faut la rap|H>rter à ces nombres pour voir si par hasard ils ne nousfourniroûut pas une solution plus simple. Ainsi, par exemple, après avoir vu que la hase d’un triangle rectangle, dont les cêtès sont o et b, est -j- b* et qu’il faut pour o2 poser 81, et pour b 2 f 44,

RÈGLES

nombres qui, additionnés, font 225, dont la racine, c’est-à-dire la moyenne proportionnelle entre l’unité et 225 est 15, nous connoîtrous par là que la base 15 est commensurable avec les côtés 9 et 12, mais non généralement parce qu’elle est la base d'uu triangle rectangle dont un côté est à l’autre comme 3 est à -4 ; tout cela nous le distinguons, nous qui voulons acquérir une connoissance évidente et distincte des choses, mais non les calculateurs qui sc contentent de rencontrer la somme cherchée sans remarquer comment elle dépend des données; en cela cependant consiste toute la science.

Et maiuteuaut, notons eu général qu’il ne faut eoniier à la mémoire aucune des choses qui ne réclament pas une attention perpétuelle, si nous pouvons les déposer sur le papier, de peur que la tâche surpcrlluc do nous les rappeler ne soustraie quelque partie de notre esprit à l'étude de l’objet présent. Il faut dresser un tableau pour y écrire d’abord les termes de la question, tels qu’ils auront été présentés la première fois; puis la manière dont on les abstrait et les figures par lesquelles on les représente, afin qu'après avoir trouvé la solution dans les signes mêmes, nous puissions facilement, et sans le secours de la mémoire, l’appliquer au sujet particulier dont il s’agira. Eu effet, on ne peut abstraire une chose que d’une autre moins générale ; j’écrirai donc de celle manière : dans le triangle rectanglo a b r, on cherche la base a e, et j’abstrais la difficulté pour chercher en général la graudeurdelabascd’aprèslagran- u| deur des côtés; ensuite, au lieu de a 6, qui égale 9, je pose a; au lieu de b c, qui égale 12, je pose 6; et ainsi du reste.

Notons enfin que nous nous servirons encore do ces quatre règles dans la troisième partie de ce Traité, et que nous les prendrons dans^une acception un peu plus large que nous ne l'avons fait ici, commo il sera dit en son lieu.