CHAP. VII. — DES PROPOSITIONS QU'ON NOMME MAXIMES OÙ AXIOMES

3 [. Pn. Il y à une espèce de propositions qui, sous le nom de maximes ou d'axiomes, passent pour les principes des sciences, et parce qu'elles sont évidentes par elles-mémes, on s'est contenté de les appeler innées, sans que personne ait jamais tàché, que je sache, de faire voir la raison et le fondement de leur extrême clarté, qui nous force pour ainsi dire à leur donner notre consentement. Il n'est pourtant pas inutile d'entrer dans cette recherche et de voir sicette grande évidence est particulière à ces seules propositions, comme aussi d'examiner jusque oü elles contribuent à nos autres connaissances.

Tu. Cette recherche est fort utile et méme importante. Mais il ne faut point vous figurer, Monsieur, qu'elle ait été entiérement négligée. Vous trouverez en cent lieux que les philosophes de

l'École ont dit que ces propositions sont évidentes ex terminis, aussitót qu'on en entend les termes ; desorte qu'ils étaient persuadés que la force de la conviction était fondée dans l'intelligence des termes, c'est-à-dire dans la liaison de leurs idées. Mais les géomètres ont bien fait davantage ; c'est qu'ils ont entrepris de les démontrer bien souvent. Proclus attribue déjà à Thalès de Millet (4), un des plus anciens géomètres connus, d'avoir voulu démontrer des propositions qu'Euclide a supposées depuis comme évidentes, On rapporte qu'Apollonius a démontré d'autres axiomes, et Proclus le fait aussi. Feu M. Roberval, déjà octogénaire ou environ, avait dessein de publier de nouveaux Éléments de géométrie, dont je crois vous avoir déjà parlé. Peut-être que les nouveaux Éléments de M. Arnauld (2), qui faisaient du bruit alors, y avaient contribué. ll en montra quelque chose dans l'Académie royale des sciences, et quelques-uns trouvèrent à redire que, supposant cet axiome que « si à des égaux on ajoute des grandeurs égales il en provient des égaux, » il démontrait cet autre qu'on juge de pareille évidence que, « si des égaux on óte des grandeurs égales, il en resté des égaux ». On disait qu'il devait les supposer tous deux, ou les démontrer tous deux. Mais je n'étais pas de cet avis, et je croyais que c'était toujours autant de gagné que d'avoir diminué le nombre des axiomes. Et l'addition sans doute est antérieure à la soustraction et plus simple. parce que les deux termes sont employés dans l'addition l'un comme l'autre, ce qui n'est pas dans’ la soustraction. M. Arnauld faisait le contraire de M. Roberval. Il supposait encore plus qu'Euclide. Pour ce qui est des maximes, on les prend quelquefois pour des propositions établies, soit qu'elles soient évidentes ou non. Cela pourra étre bon pourles commencants que la scrupulosité arréte; mais, quand il s'agit de l'etablissement de la science, c'est autre chose. C'est ainsi qu'on les prend souvent dans la morale et méme chez les logiciens dans leurs topiques, oit il y en a une bonne provision, mais dont une partie en contient d'assez

(1) THaLËs, fondateur de la philosophie grecque, né à Milet vers l'an 610 avant J.-C., mort à un âge trés avancé, n'a pas laissé d'ouvrages. et peut-être n'a t-il pas écrit. ll passe pour avoir le premier prédit une éclipse de soleil { Hérodote, 1, 74). — Voy. Diog. Luert, 1.1, c, xxiv. P. J.

(2) AnNAULD ,Ántoine;, appelé aussi le grand Arnauld, célèbre janséniste, né à Paris en 1612, mort à Liège en 1691, après une vie tres agitée. Ses principaux ouvrages philosophiques sont : La Logique, appelée Logique de Port-Royal, et à laquelle Nicole a collaboré ; /e Traité des Vraies etdes fausses idées, dirigé contre Mallebranche ; les Ubjections contre Descartes. Il a fait aussi des £/éments de géométrie auxquels Leibniz fait ici allusion. P. J.

PAUL JANET. — Leibuiz. I-94

vagues et obscures. Au reste, il y a longtemps que j'ai dit publiquement et en particulier qu’il serait importaut de démontrer tous nos axiomes secondaires dont on se sert ordinairement, en les réduisant aux axiomes primitifs ou immédiats et indémontrables,*qui sont ce que j'appelais dernièrement et ailleurs les identiques.

$2. Pit. La connaissance est évidente par elle-même lorsque la convenance ou disconvenance des idées est apercue immédiatement. 53. Mais il y a des vérités qu'on ne reconnait point pour axiomes qui ne sont pas moins évidentes par elles-mémes. Voyons si les quatre espèces de convenance dont nous avons parlé il n'y a pas longtemps (chap. 1, 8 3, et chap. ui, p. 7), savoir : l'identité, la connexion, la relation et l'existence réelle, nous en fournissent. 5 4. Quant à l'identité ou la diversité, nous avons autant de propositions évidentes que nous avons d'idées distinctes, car nous pouvons nier l'une de l'autre, comme en disant que l'homme n'est pas un cheval, que le rouge n'est pas bleu. De plus, il est aussi évident de dire: ce qui est, est, que de dire : un homme est un homme.

Tu. H est vrai et j'ai déjà remarqué qu'il est aussi évident de dire ecthétiquement en particulier : A est À, que de dire en général, on est ce qu'on est. Mais il n'est pas toujours sûr, comme j'ai déjà remarqué aussi, de nier les sujets des idées différentes l'une de l'autre ; comme si quelqu'un voulait dire : le trilatére (ou ce qui a trois côtés) n'est pas triangle, parce qu'en effet la trilatérité n'est pas triangularité ; /fem , si quelqu'un avait dit : que les perles de M. Slusius ‘dont je vous ai parlé il n'y a pas longtemps) ne sont pas des lignes de la parabole cubique, il se serait trompé, et cependant cela aurait paru évident à bien des gens. Feu M. Hardy (1), conseiller au Châtelet de Paris, excellent géomètre et orientaliste, et bien versé dans les anciens géométres, qui a publié le commentaire de Marinus :2; sur les Dalu d Euclide était tellement prévenu que la section oblique du cône qu'on appelle ellipse est différente de la section oblique du cylindre que Ja démonstration de Serenus (3) lui paraissait paralogistique, et je ne pus rien gagner sur lui par mes

1: Hsnvy, orientaliste, mathématicien et jurisconsulte, mort à Paris en 1678 à un âge très avance, a donné une traduction latine des Data d'Euclide, avec

le Commentaire de Marinus. P. J.

3. Mamxes, philosophe grec du ve siècle, disciple de Proclus, dont il nous a laisse la vie. R. J.

3. SERENUs, d'Antisso, géomètre grec, a écrit des livres sur les Sections coniques, P.J.

remontrances : aussi était-il à peu près de l'âge de M. Roberval, quand je le voyais, et moi j'étais fort jeune homme, différence qui ne pouvait pas me rendre fort persuasif à son egard, quoique d'ailleurs je fusse fort bien avec lui. Cet exemple peut faire voir en passant ce . que peut la prévention encore sur des habiles gens, car il l'était véritablement, et il est parlé de M. Hardy avec estime dans les lettres de M. Descartes. Mais je l'ai allégué seulement pour montrer combien, on se peut tromper en niant une idée de l'autre, quand on ne les a pas assez approfondies oü il en est besoin.

8 ». Pi, Par rapport à la connexion ou coexistence, nous avons fort peu de propositions évidentes par elles-mémes; il y en a pourtant, et il parait que c'est une proposition évidente par elle-même que deux corps ne sauraient être dans le méme lieu.

Tu. Beaucoup de chrétiens vous le disputent, comme j'ai déjà marqué, et méme Aristote et ceux qui aprés lui admettent des condensations réelles et exaetes, qui réduisent un méme corps entier dans un plus petit lieu que celui qu'il remplissait auparavant, et qui, comme feu M. Comenius i1) dans un petit livre expres, prétendent renverser (2) la philosophie moderne par l'expérience de l'arquebuse à vent, n'en doivent point convenir. 5i vous prenez le corps pour une masse impénétrable, votre énonciation sera vraie, parce qu'elle sera identique ou à peu prés; mais on vous niera que le corps réel soit tel. Àu moins dira-t-on que Dieu le pourrait faire autrement, de sorte qu'on admettra seulement cette impénétrabilité comme conforme à l'ordre naturel des choses que Dieu a établi et dont l'expérience nous a assurés, quoique d'ailleurs il faille avouer qu'elle est aussi trés conforme à la raison.

S 6. Pu. Quant aux relations des modes, les mathématiciens ont formé plusieurs axiomes sur la seule relation d'égalité, comme celui dont vous venez de parler « que si des choses égales on óte des choses égales, le reste est égal. » Mais il n'est pas moins évident, je pense, qu'un et un sont égaux à deux, et que, si de cinq doigts d'une main vous en ótez deux et encore deux autres de cinq de l'autre main, le nombre des doigts qui restera sera égal.

(1) CowENIUs, savant célèbre du xviie siècle, né à Comna, prés de Brunmen Moravie) en 1592, mort à Amsterdam en 1671, à surtout publié des ouvrages de pédagogie qu'il a réunis sous ce titre : Opera didactica. Le plus important est sou Spicilegium didacticum .

(2) GEHRARDT : réserver.

Tu. Qu'un etun font deux, ce n'est pas une vérité proprement, mais c'est la définition de deux, quoiqu'il y ait cela de vrai et d'évident que c'est la définition d'une chose possible. Pour ce qui est de l'axiome d'Euclide appliqué aux doigts de la main, je veux accorder qu'il est aussi aisé de concevoir ce que vous dites des doigts, que de le voir d'A et B ; mais pour ne pas faire souvent la méme chose, on le marque généraleinent, et aprés cela, il suffit de faire des subsomptions. Autrement, c'est comme si l'on préferait le calcul en nombres particuliers aux regles universelles: ce qui serait moins obtenir qu'on ne peut. Car il vaut mieux de résoudre ce problème général, « trouver deux nombres dont la somme fasse un nombre « donne, et dont la diflérence fasse aussi un nombre donné, » que de chercher seulement deux nombres, dont la somme fasse 10, et dont la différence fasse 6. Car si je procede dans ce second probleme à la mode de l'algebre numerique, mêlé de la spécieuse, le calcul sera tel : soit a + b — 10, et a — b — 6; dont, en ajoutant ensemble le côté droit au droit et le cóte gauche au gauche, je fais qu'il en vient & -l- b -- a — b — 104-6, c'est-à-dire (puisque + b et — b se détruisenti 2 a — 16, ou a — 8. Et en soustra\ant le côté droit du droit et le gauche du gauche (puisque ôter « — 5, et ajouter — « + 5) je fais qu'il en vient a +b—a—+ b — 10 —6, c'est-à-dire 2 ) — 4, ou b — 2. Ainsi j'aurai à la vérité les a. et à. que je demande, qui sont 8 et 2 qui satisfont à la question, c'est-à-dire dont la somme fait 10 et dont la différence fait 6 ; mais je n'ai pas par là la méthode générale pour quelques autres nombres qu'on voudra ou qu'on pourra mettre au lieu de 10 ou 6; methode que je pouvais pourtant trouver avec la mème facilité que ces deux nombres 8 et 2, en y mettant x et v au lieu des nombres 10 et 6. Car en procédant de méme qu'auparavant, il y aura « 4- b -- a — b —x-l- v, c'est-à-dire 2 « —.c-- v, ou & — ;,Z-|-v, et il y aura enceorea ]- b — «-]- b — x — v, c'est-àdire 2 b — x —v ou b -— 5, — v. Et ce calcul donne ce théorème où canon général, que « lorsqu'on demande deux nombres, dont la somme et la. différence sont données, on n'a quà prendre pour le plus grand des nombres demandés la moitié de la somme faite de la somme et la différence données, et pour le moindre des nombres demandés la moitié de la ditlérence entre la somme et la diflérence données. » On voit aussi que j'aurais pu me passer des lettres, si j'avais traité les nombres comme lettres, c'est-à-dire si au lieu de mettre 2 4 — 16, et 20 = # j'avais écrit 2a -—10 + 6et 2 b — 10 — 6,

CS

ce qui m'aurait donné a — 5, 10 +6 et b — z, 10 — 6. Ainsi dans le caleul particulier méme j'aurais eu le calcul général, prenant ces notes 10 et 6 pour des nombres généraux, comme si c'étaient des lettres x et v; afin d'avoir une vérité ou méthode plus générale, et prenant ces mêmes caracteres 10 et 6 encore pour les nombres qu'ils signifient ordinairement, j'aurais un exemple sensible et qui peut servir méme d'épreuve. Et comme Viete (1) a substitué les lettres aux nombres pour avoir plus de généralité, j'ai voulu réintroduire les caractères des nombres, puisqu'ils sont plus propres que les lettres dans la spécieuse méme. J'ai trouvé cela de beaucoup d'usage dans les grands calculs, pour éviter les erreurs, et méme pour v appliquer des épreuves, telles que l'abjection du novénaire au milieu du compte, sans en attendre le résultat, quand il n’y a que des nombres au lieu des lettres; ce qui se peut souvent, lorsqu'on se sert d'adresse dans les positions, en sorte que les suppositions se trouvent vraies dans le particulier, outre l'usage qu'il y a de voir des liaisons et ordres que les seules lettres ne sauraient toujours faire si bien déméler à l'esprit, comme j'ai montré ailleurs, ayant trouvé que la bonne caractéristique est une des plus grandes aides de l'esprit humain.

S 7. Pir.. Quant à l'existence réelle, que j'avais comptée pour la quatrième espeéce de convenance qu'on peut remarquer dans les idées, elle ne saurait fournir aucun axiome, car nous n'avons pas méme une connaissance démonstrative des êtres hors de nous, Dieu seul excepté.

Tu. On peut toujours dire que cette proposition, j'existe, est de la derniere évidence, étant une proposition qui ne saurait étre prouvée par aucune autre, ou bien une vérité immédiate. Et de dire : je pense, donc je suis, ce n'est pas prouver proprement l'existence par la pensée, puisque penser et être pensant, est la méme chose; et dire, je suis pensant, est déjà dire, je suis. Cependant vous pouvez exclure cette proposition du nombre des axiomes avec quelque raison, car c’est une proposition de fait fondée sur une expérience immediate, et ce n'est pas une proposition necessaire, dont on voit la nécessité dans la convenance immédiate des idées. Au contraire, il n’y a que Dieu qui voie comment ces deux termes, moi et l'exis-

(1) ViErE (François) (1510-1603,, grand géomètre français, — Ses Opera mathematica ont été recueillis et publiés en 1613 par Von Schooten, professeur à Leyde. P. J.

iiis.

o14 NOUVEAUX ESSAIS SUR L'ENTENDEMENT

tence, sont liés, c'est-à-dire pourquoi j'existe. Mais, si l'axiome se prend plus généralement pour une vérité immédiate ou non prouvable, on peut dire que cette proposition : je suis, est un axiome, et en tout cas on peut assurer que c'est une vérité primitive ou bien unum er primis cognitis inter terminos complexos, c'est-à-dire que c'est une des énonciations premières connues, ce qui s'entend dans l'ordre naturel de nos connaissances, car il se peut. qu'un homine n'ait jamais pensé à former expressément cette proposition, qui lui est pourtant innée.

S 8. Pu. J'avais toujours cru que les axiomes ont peu d'influence sur les autres parties de notre connaissance. Mais vous m'avez désabusé, puisque vous avez méme montré un usage important des identiques. Souffrez pourtant, Monsieur, que je vous représente encore ce que j'avais dans l'esprit sur cet article, car vos éclaircissements pourront servir encore à faire revenir d'autres de leur erreur. 3 8. Cest une régle eclebre dans les écoles, que tout raison nement vient des choses déja connues et aecordees, ex / prercognilis el preconcessis. Cette. règle semble faire regarder ces maximes comme des vérités connues à l'esprit avant les autres, et les autres parties de notre connaissance comme des vérités dépendantes des axiomes. 3 9. Je croyais avoir montré (liv. I, chap. 1) que ces axiomes ne sont pas les premiers connus, l'enfant connaissant bien plus tôt que la verge que je lui montre n'est pas le sucre qu'il a goûlé, que tout axiome qu'il vous plaira. Mais vous avez distingué entre les connaissances singulieres ou expériences des faits et entre les principes d'une connaissance universelle et nécessaire (et où je reconnais qu'il faut recourir aux axiomes) comme aussi entre l'ordre accidente] et naturel.

Tu. J'avais eneore ajouté que dans l'ordre naturel il est antérieur de dire qu'une chose est ee qu'elle est, que de dire qu'elle n'est pas une autre ; car il ne s'agit pas ici de l'histoire de nos decouvertes, qui est différente en différents hoinmes, mais de la liaison et de l'ordre naturel des vérités, qui est toujours le même. Mais votre remarque savoir que ee que l'enfant. voit n'est qu'un fait, mérite encore plus de réflexion; car les expériences des sens ne donnent point de vérites absolument certaines {comme vous l'aviez observé vous-même, Monsieur, il n'ya pas longtemps', ni qui soient exemptes de tout danger d'illusion. Car, s'il est permis de faire des fictions métaphysiquement possibles, le sucre se pourrait changer en verge d'une

manière imperceptible pour punir l'enfant s'il a été méchant, comme l'eau se change en vin chez nous la veille de Noël, s'il a été bien morigéné. Mais toujours la douleur, direz-vous, que la verge imprime, ne sera jamais le plaisir que donne le sucre. Je réponds que l'enfant s'avisera aussi tard d'en faire une proposition expresse que de remarquer cet axiome « qu'on ne saurait dire véritablement que ce qui est n'est pas en méme temps, » quoi quil puisse fort bien s'apercevoir de la différence du plaisir et de la douleur, aussi bien que la différence entre apercevoir et ne pas apercevoir.

3 10. Ta. Voici cependant quantité d'autres vérités qui sont autant évidentes par elles-mêmes que ces maximes. Par exemple, « qu'un et deux sont égaux à trois, » c'est une proposition aussi évidente que cet axiome qui dit que « le tout est égal à toutes ses parties prises ensemble ».

. Tu. Vous paraissez avoir oublié, Monsieur, comment je vous ai fait voir plus d'une fois que de dire « un et deux est trois », n’est que la définition du terme de trois ; de sorte que de dire « qu'un et deux est égal à trois », est autant que dire « qu'une chose est égale à elle-même ». Pour ce que est de cet axiome, « que le tout est égal à toutes ses parties prises ensemble », Euclide ne s'en sert point expressément. Aussi cet axiome a-t-il besoin de limitation, car il faut ajouter que ces parties ne doivent pas avoir elles-mémes de partie commune : car 7 et 8 sont parties de 12, mais elles composent plus que 12. Le buste ct le tronc pris ensemble sont plus que l'homme, en ce que le thorax est commun à tous les deux. Mais Euclide dit que le tout est plus grand que sa partie, ce qui n'est point sujet à caution. Et dire que le corps est plus grand que le tronc ne diffère de l'axiome d'Euclide qu'en ce que cet axiome se borne à ce qu'il faut précisément : mais, en l'exemplifiant et revétissant de corps, on fait que l'intelligible devient encore sensible, car dire : un tel tout est plus grand que sa partie telle, c'est en eflet la proposition qu'un tout est plus grand que sa partie, mais dont les traits sont chargés de quelque enluminure ou addition; c'est comme qui dit Al dit À. Ainsi il ne faut point opposer ici l'axiome et l'exemple comme de différentes vérités à cet égard, mais considérer l'axiome comme incorporé dans l'exemple et rendant l'exemple véritable. Autre chose est quand l'évidence ne se remarque pas dans l'exemple méme, et que l'affirmation de l'exemple est une conséquence et non seulement une subsomption de la proposition uni-

verselle, comme il peut arriver encore à l'égard des axiomes.

Pu. Notre habile auteur dit ici: Je voudrais bien demander à ces messieurs, qui prétendent que toute autre connaissance (qui n'est pas de fait) dépend des principes généraux innés et évidents par eux-mémes, de quel principe ils ont besoin pour prouver que deux et deux est quatre ? car on connait (selon lui) la vérité de ces sortes de propositions sans le secours d'aucune preuve. Qu'en dites-vous, Monsieur ?

Tu. Je dis que je vous attendais là bien préparé. Ce n'est pas une vérité tout à fait immédiate que deux et deux sont quatre; supposé que quatre signifie trois et un. On peut donc la démontrer et voici comment :

Définitions : 1; Deux est un et un.