dotations
RL'/. R axes d'ordre cj d'une même espèce;
R/?. inverses des précédents;
(RL^), la parenthèse indique que les R axes d'ordre q constituent
— axes doublés;
Cî(, centre de répétition principal d'ordre n.
Cas des systèmes sphéroédriques . — (Systèmes ayant des axes de même espèce, d'ordre supérieur à 2, formant entre eux des angles difl'érant de — ).
24*. Par rotation autour d'un axe du cloisonnement relatif à cet axe. et à l'axe le plus rapproché de même espèce, on constitue autour du premier axe un angle polyèdre régulier ayant q faces.
2o*. Les arêtes de ce polyèdre sont des axes d'ordre supérieur à 2, d'une autre espèce que les premiers considérés. (Appelons les axes de la première espèce les axes A et ceux de la seconde espèce les axes B.)
26*. L'angle polyèdre considéré n'est autre que la portion adhérente à l'axe A qu'il contient.
27*. La bissectrice de l'angle face du polyèdre est un axe binaire. (Appelons axes C les axes de cette espèce.)
28*. 11 ne peut exister plus de trois espèces d'axes, et il doit toujours y en avoir trois, dont une binaire G, et deux A et B d'ordre supérieur à 2.
Soient p axes d'ordre q de la première espèce, // d'ordre q' de la deuxième, p" d'ordre 2 de la troisième
n = pq =1 f) cj =^ p X 1.
20. On peut aussi bien diviser le système en p portions adhérentes aux axes A, ou en p' portions adhérentes aux axes B.
Les p premières peuvent se décomposer en q trièdres isoscèles, jouant le rôle de portions constitutives du système, de même la portion adhérente à un axe B peut se décomposer en q' trièdres isoscèles distincts des précédents, jouant également le rôle de portions constitutives.
30. Évaluant l'angle solide w d'une des portions constitutives, d'une part comme fraction de la sphère et d'autre part à l'aide des angles dièdres, on trouve
(2) o) = ^^ = ( - -F -; 2- (Mallard).
n \q q ij
Cet angle 10 ne devant pas être nul, on tire des inégalités -H — , > o, q^Z, qû^-,
des conditions de possibilité pour q et q' . r^es seuls cas possibles sont :
avec avec avec avec avec
Les deux derniers cas ne se distinguent pas des deux précédents. Dans les systèmes sphéroédriques, tous les axes sont d'ordre inférieur à 6 (Bravais).
3L En se servant des équations (2) et des équations (1) n= pq = pq; = p"x 2,
LES QUESTIONS d'oRDRE, 65
on arrive aux trois types siiixanls coinnie étant les seuls possibles :
1°' groupe.. . .
lî
2° groupe....
(ioL=)
3° groupe.. . .
Go
oo
{iiU),
(îoL=)
■ cr.
32*. Les axes binaires des trois groupes et tous les axes des deux derniers groupes doivent être des axes doublés. Les axes ternaires du premier groupe sont au contraire des axes simples et les axes des deux espèces d'axes ternaires de ce groupe sont inverses 1 un de l'autre.
33. Pour les trois types que nous venons de considérer, on peut toujours construire l'angle polyèdre régulier, jouant le rôle
de polyèdre adhérent à l'un des axes. Ce polyèdre d'angle solide — 'et d'angle dièdre ^ sera unique.
34*. Avec l'angle polyèdre précédent, on pourra toujours construire un système cohérent. Ce système sera unique.
Les trois types précédemment considérés existent donc et il n'existe qu'un système répondant à chacun d'eux.
Systèmes à axes principaux. — (Systèmes possédant un axe doublé, unique de son espèce.)
36. Les portions adhérentes à chacun des axes comprennent toutes les directions correspondant à un hémisphère.
37. Les autres axes du système ne peuvent se trouver que dans le plan normal au premier axe qui sépare les deux hémisphères.
38. Ces axes sont tous binaires, ils doivent être en nombre iq (q étant l'ordre de l'axe doublé).
Ces axes binaires sont de deux espèces, q de chaque espèce. C. 5
Les axes suceessifs forment eiilre eux des angles égaux et sont d'espèce difl'érente.
Notation générale (aL?), q\J-, qL'", Q'^.
luorsque q est pair, les axes binaires sont doublés; lorsque q est impair, ils sont simples, et un axe d'une espèce a pour inverse un axe de l'autre.
L'axe doublé peut être d'un ordre quelconque.
39. Systèmes à une seule direction d'axes. Systèmes possédant un axe unique et son inve/se. — Ce système, comprenant évidemment un seul type, peut exister, et Taxe peut être d'un ordre quelconque L?, If, C((.
40. Cas des axes d'ordre infini ou d' une infinité d'axes. — Lorsqu'il existe deux directions d'axe d'ordre infini [d'isotropie) ne constituant pas un axe doublé, toutes les droites sont des axes d'ordre infini de même espèce. C'est le cas des systèmes sphériques (ooL""), Cr.
il. Lorsqu'il existe un seul axe d'isotropie doublé, les autres axes qui peuvent et doivent exister sont des axes binaires en nombre infini, situés dans vin plan normal à l'axe d'isotropie (n" 19).
On est évidemment dans un cas particulier des systèmes à axes principaux (aL") (gcL-)Cr.
42. 11 peut encore exister un seul axe d'isotropie et son inverse d'une autre espèce. Cas particulier des systèmes à une seule direction d'axe, L°°, /", C^.
43*. 11 ne peut exister une infinité d'axes d'ordre fini supérieur
44*. J^orsqu'il existe une infinité d'axes d'ordre 2, le seul cas possible est celui des systèmes à un seul axe d'isotropie doublé (n"4J).
4o. Remarques générales. — La bissectrice de l'angle des
LES QUESTIONS DORDRE. 67
deux axes les plus rapprochés dune même espèce d'ordre supérieur à 2 est toujours un axe binaire ( n° 27 bis).
•46. Les ('quations (i) n = pq — p' cj' = p" X 2.
et
(2) co= — = 1 27: ou - = ;
sont générales pour tous les systèmes à plusieurs directions d'axes. On tire de ces équations les suivantes :
47. Réciproquement, à toutes les solutions du système d'équations indéterminées (i) et (2), ou encore du système équivalent (i) et (4), répondent des types d'axes se coupant en un même point.
Donc la recherche des différents cas de répétitions autour d'un point peut être ramenée à la résolution des équations indéterminées
(l) n = pq = p q
c'est-à-dire au problème suivant :
Trouver un nombre et deux de ses facteurs, tels cjue la somme des deux facteurs soit égale à la moitié du nombre plus deux.
48. La recherche des différents types de répétition autour dun point se confond aussi avec la recherche des différentes manières de diviser l'espace autour du point en angles polyèdres réguliers égaux (Bravais).
