Théorème. — Les points homologues, les droites homo
6o OEUVRES DE P. CURIE.
logues jouissent de propriétés identiques, et toute qualité d' un point ou d^ une droite entraîne la même qualité pour les points et les droites homologues.
Les centres de rose, les axes de rose, ont pour homologues des centres de rose, des axes de rose de même ordre et de même espèce (centres et axes homologues).
Si une droite constitue avec son inverse une droite doublée, toutes les droites homologues de la précédente constitueront avec leurs inverses des droites doublées ; donc, si l'on a p droites homologues, l'ensemble formera — droites doublées, et yo sera forcément pair.
7. Axes doublés. — Si une droite constitue un axe de répétition d'ordre </, son inverse constitue un axe de répétition également d'ordre q., mais en général dune autre espèce. Si les deux axes sont de même espèce, c'est cpie l'on a affaire à une droite doublée, les deux axes constituent alors un axe doublé. (Exemples : L'axe ternaire du tétraèdre régulier est un axe simple, et son inverse est un axe ternaire d'une autre espèce. L'axe ternaire du cube est un axe doublé.)
C'est cette notion d'un sens dans les droites homologues qui entraîne avec elle la considération des droites doublées et des axes doublés qui nous a conduit à l'énoncé d'un théorème fondamental qui avait échappé à Bravais. Ce théorème lie entre eux le nombre et l'ordre des axes de répétition se coupant en un même point ( n° 8). De plus, les énoncés de plusieurs théorèmes, de restrictifs qu'ils étaient, deviennent généraux.
HL — Marche suivie pour classer les répétitions d'un système autour d'un point.
Nous donnerons d'abord la suite très détaillée des propositions qui permettent d'établir cette classification. La démonstration des propositions précédées d'un astérisque (*) sera donnée sous les mêmes numéros bissés dans la quatrième partie. Les autres propositions ne nous ont j)as semblé nécessiter d'éclaircissements.
LES QUESTIONS D'oRDRE. 6i
8*. Si le système crordre n possède p axes d'ordre q de même espèce, passant par un même point, on aura nécessairement pq = n .
Pour un autre système d'axes (/?' dordre q') passant par le même point on aurait p' q' zz^ n, ...
(i) n= pq = p'q' = p"q"
9*. La portion du système adhérente à un axe (c'est-à-dire la portion contenant toutes les lignes passant par le centre, et plus ra|)prochées de cet axe que d'aucun autre de même espèce) est iileiitique pour chacun des p axes, et l'axe qu'elle contient est pour elle un axe d'ordre q.
10. Lorsqu'un système possède un axe d'ordre q, les divers déplacements indifférents autour de cet axe peuvent s'obtenir successivement à l'aide de rotations successives d'angle — (Bravais).
11. On peut diviser l'espace autour d'un axe d'ordre q, en q portions identiques entre elles, limitées par des plans faisant
entre eux successivement des angles égaux a
12. Lorsqu'un système possède p axes d'ordre q de même espèce, on peut diviser chaque portion adhérente à un axe en q portions identiques (n"*9 et 11).
Tout le système peut donc être décomposé en n portions identiques (angles polyèdres constitutifs, on portions constitutives); dans les divers déplacements inditférents du système, une des portions constitutives vient successivement prendre la place de toutes les autres, sans jamais coïncider deux fois avec la même.
13*. Les différents axes du système seront nécessairement sur le contour des portions constitutives (n° 12).
14. Le plan bissecteur ou cloisonnement relatif à deux axes (nous nommerons ainsi le plan normal au plan des deux axes et passant par leur bissectrice) divise le système en deux portions, chacune renfermant les points plus rapprochés de l'axe qu'elle contient que de l'autre axe.
62 OEUVRKS DE P. CURIE.
lo. Si l'on mène tous Jes cloisonnements relatifs à un même axe groupé successivement avec chacun des axes de même espèce, on aura constitué toutes les parois nécessaires à la délimitation de la portion adhérente à l'axe considéré.
16. Le déplacement d'un système, dont un point reste fixe, peut toujours se faire à l'aide d'une seule rotation d'un angle convenable effectuée autour d'un axe con\enablement choisi passant par le point (Euler).
17. Un type de répétition sera défini entièrement par les axes qu'il contient (n° 16).
18. Pour qu'une réunion d'axes, se coupant en un même point, constitue un type de répétition, il faut, et il suffit, qu'ayant construit cette réunion d'axes, on obtienne un ensemble cohérent, c'est-à-dire un ensemble dans lequel on puisse effectuer tous les déplacements indifférents que font prévoir les axes, sans nécessiter l'existence de nouveaux axes (n" 17).
19*. Dans le plan bissecteur ou cloisonnement, relatif à deux axes de même espèce et d'ordre q, doivent toujours se trouver au moins q directions d'axes, c'est-à-dire iq axes (n" 16).
20. Lorsqu'un même plan contient m axes d'ordre pair, les axes successifs doivent former entre eux des angles égaux valant
— ^ (Bravais).
21. La normale au plan de deux axes liinaires est toujours un axe doublé.
22*. Tous les cas de répétition se ramènent aux trois cas suivants :
1° Systèmes spliéroédi'iques. — Systèmes ayant des axes de même espèce d'ordre supérieur à 2, formant entre eux des angles différant de tî : c'est lo cas général.
LES QUESTIONS DORDHE. 63
2" Systèmes à axes principaux. — Systèmes possédant un axe doublé unique de son espèce.
3" S) sternes à une seule direction (V axes. — Systèmes possédant seulement un axe et son inverse d'une autre espèce.
4" Systèmes ayant des axes d'ordre infini ou une infinité d^ axes.
