LES RÉPÉTITIONS ET LÀ SYMÉTRIE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. C, p. SgS, séance du 2 juin i885.

Dans deux ]NoLes parues au Bu //et in de La Société minéra/ogique, j'ai Lraité à nouveau le prol)lème des répétitions et de la symétrie qui peuvent convenir à tout système limité.

Pour traiter le problème des répétitions, considérons un sens à chaque droite d'un système : le nombre des axes de répétition est alors doublé. Deux axes inverses, c'est-à-dire coïncidant entre eux, mais dirigés en sens inverses, peu^enl être d'espèces ditlerentes (cas des axes ternaires du tétraèdre régulier) ou de même espèce (cas des axes du cube). Deux axes inverses de même espèce constituent un axe doab/é.

Les conventions qui précèdent conduisent immédiatement à énoncer le théorème suivant :

Lorsque p/usieurs axes se coupent en un même point, ie produit du nombre d'axes de chaque espèce par L'ordre de Caxe correspondant est /e même pour chaque espèce daxe et est éga/ au noin/)re de répétitions autour du point de croisement des axes.

Soient /j, p' , //', . . . axes d'ordre çr, q' , q" , ... se coupant en un même point autour duquel se présentent n répétitions; on aura

(l) n^pcj ^ p'q'^ p"q" = ....

Exemp/e. — Le cube possède; (3 axes d'ordre 4(3 axes doublés),

I,ES RÉPÉTITIONS ET I.A SYMÉTRIE. Il5

8 axes d'ordre 3 et i 2 d'ordre a ; on a

€t 24 est l'ordre de ré[)élition du centre de figure du cube.

On peut encore compter le nombre de répétitions autour d'un point d'une autre manière indiquée par Bravais. Cette méthode conduit, en se servant de (i), à l'équation

où K. désigne le nombre d'espèces d'axes.

La résolution du système d'équations indéterminées (i) et (2) permet de dresser le Tableau du nombre et de l'ordre des axes dans» les divers systèmes limités possibles. Il reste ensuite à montrer géométriquement qu'un système et un seul répond à chacun d'eux.

Pour traiter les questions de symétrie, on commence par donner une définition aussi générale que possible de deux systèmes symétriques 1 un de l'autre et d'un système symétrique. On démontre ensuite que toute transformation symétrique peut être effectuée en prenant l'image du système par rapport à un certain plan^ puis en faisant tourner cette image d'un certain angle autour d'une normale au plan. Appelons transformations symét/iques indifférentes celles qui, dans un système symétrique, restituent le système. On établit que, dans une transformation symétrique indifi'érente, le plan de transformation est en général normal à un axe de répétition d'ordre q^ et l'angle dont on tourne limage est

égal à K (K. étant entier). Deux cas sont à considérer alors,

suivant que K est pair ou impair.

Si K est pair, on a simplement un plan de symétrie accompagné d'un axe de répétition normal d'ordre q. Nous dirons que nous avons affaire à un pian de symétrie directe à pôle d'ordre q^ voulant montrer par là qu'un pareil plan indique l'existence de q transformations symétriques indifférentes. Le pôle sera le point oiî l'axe vient percer le plan.

Si K est impair, la rotation de l'image sera un luultiple de l'angle de répétition plus la moitié de cet angle; on aura alors un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q. Les q transformations symétriques indifférentes indiquées par un pareil plan n'avaient

ii6

OEUVRES DK P. CURIE.

pas été considérées jusqu'ici; la dénomination à^alterne a été adoptée parce que les symétriques d un point alternent en position autour de Taxe avec ceux que l'on aurait obtenus par symétrie directe. Les plans normaux aux axes ternaires du cube, du rhomboèdre, sont des plans de symétrie alterne à pôle d'ordre 3. Les plans normaux aux axes binaires d'un tétraèdre régulier sont des plans de symétrie alterne à pôle d'ordre 2. Un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i signifie la même chose qu'un centre de symétrie.

La considération des plans de symétrie alterne est nécessaire à un double point de vue. Elle réalise une harmonie particulière dans les théorèmes en permettant de compter les transformations symétriques : on démontre, par exemple, qu'un système symétrique limité possédant n répétitions doit aussi posséder n transformations symétriques indifférentes distinctes.

Enfin, il existe une classe particulière de solides qui sont symétriques tout en n'ayant ni centre, ni plans de symétrie ; ils possèdent seulement un axe de répétition d'ordre q (avec q pair) et un plan de symétrie alterne normal à cet axe.

En appliquant les notions acquises sur la symétrie à chacun des neuf types de répétition connus, on arrive à vingt-quatre types généraux différents. Des considérations sur la constitution intime des cristaux nous ont montré que ces corps ne peuvent posséder et ne possèdent, en effet, comme plans de symétrie alterne cjue ceux du deuxième ordre ou du troisième ordre. On arrive ainsi à

Fis. I.

trouver que les formes extérieures des corps cristallisés peuvent affecter trente-deux modes distincts.

La figure ci-jointe représente une forme qui peut se rencontrer