LUIGI DE LA GRANGE TOURNIER

TOniNESE, ALl' ILLUSTniSSIMO SIGNOIt CONTE

CiIlLIO CARLO DA FAGNANO,

CONTENF.STE

UNA NUOVA SERIE PEn I DIFFERENZIALI ED INTEGHALI Dl QUALSIVOGLIA GBADO, CORRISPONDENTE ALl-A .NEWTONIANA PER LE POTESTÀ E LE RADIC.l.

(In Torino, MDCCLIV; ntila Stamporia reale. Con lie. de'Sui

Illustrissimo Signore,

Nella série, clie ho comuiiicata a V. S. Illustriss., ini lusiiiifava heii io d' avère ampianiente coniprese varie operazioni del caloolo si dillcrenziale che intégrale di qualunque grado; e col paragone di (|ii('lla colla tanto ceiebratissinia série Newtoniana per le potestà mi parcva in vero d' aver scoperta una corrispondenza non dispreg((Vole tra M calcolo délie infinité, e quello délie finite grandezze: ma poieliè in somma nnn allro, elle nnova comprensione, e riporto di calcoli notissimi [xt t|ut'llo qualunque rilrovamento si palesava, e nuUa realmente si disvelava, che nuova scienza ehiamarsi potesse, anzi che ofl'erirlo al puhlilico, clic oramai tutto nausea, e schifa, che non sia di somma importanza [ter le umane cognizioni, pensava trarne assai ampio frulto, ritenendolo |)ci

;i8i i.i:tteua w.v illustkissimo

me a inici privato usu, e atl agcvolare i^li sliidj délia luia affatto giovenili- elii, la qualo, aii/.ichè alla a somministiarc allriii, è piii'ilt'l lullo Itisognosa di riccvcrc da altii Iiimc, c scienza; ma i ccnni doUa degnevdlissiina Leltera di V. S. Illuslriss. mi sono iii hiogo di aiitorovolc coiiiaiidamcnlo; c poichi- a Loi piaco, cIic si piil)l)lii'lii la suddclla série, non diiliito di recar nialorado a veruno, obbedeiido a Lei, ed a Lei anzi uHereiidola, elie mollo piii di qiiello, elie essa abhia in se, puô darle di dignità eol siio raggiiardevulissimo giudi/io, se eome si c eompiaeiula di commendarla, tinelie era nelle mie mani, vorrà liguaidarla con egiial henignità ora, elie la ripongo nelle sue. Che se pur Ella lolleiasse, clic a Lei sola queslo mio pieeiolo ritrovato io presentassi, sarelibc di già compila interanieiUe l'otierla, senza ehe ora di vanlaggio esteiidermi dovessi in diehiararlo. (llie sa bene tullo il mondo letleraUi, eome e le soltilisue opère, cd i grandissimi applausi dalle piîi eelebii Aecademie licevuti ne Io altestano, cho a Lei basta il proporsi a snodare (lualuiuiue più liposlo areano délie Malemalicbe, per eomprenderne tosto in uno 0 la scioglimento, e le consegnenze. Ed altronde, queste, ehe a Lei oll'io, mie liflessioni, sono pur di lai iiatura, clie anelie a' iiigegni meno sublimi basla aceennarle, perche ad essi spontaneamente possano manit'eslarsi. ^la pure giaceliè Ella vuole, ehe io seriva ad ognuno, ehe di si faite materie abbia comunque vaghezza, penso, che lutii m'abusero délia pazienza di Lei, se più oitic mi diliingheiù, eome laie mira riehiede, e vuole. Dunque piimieramenle propongo le due série, la Newtoniana per le poteslà, e la mia per i diflerenziali, ed integrali, siceliè in una sola oeeliiata se ne comprenda ogni possibile rapporlo, e corrispondenza

a-~ b)" := a" Ij' -+- ma'"-'0'-+- m a"'-'b- -i-m- — a'"-'b' -h...,

„ „ „ , , im-i) , , ,

, y,. ^ __ x^r'-h mx"—')-' -t- m — .r°'-' )•=-!- m ., — x"'-'y'-\-....

Dunque :

1° Sicconie la prima série serve per elevare a qualunque polestà la

somma di due, e conseguenlemente di (|uantunque quantilà dale, fa-

SIGNOR CONTE DA FAGNANO. 58o

cendo 1' esponentc m egual al numéro del grado délia poteslà dala; cosi la seconda serve per differenziare in qualsivoglia grado un qualunque prodotto di due, e conseguentemenle di quantunque variabili, facendo nella stessa guisa 1' esponente m egual al numéro del diilcrcnzial proposto ;

2° Siccome la prima série vale simil mente per estrarre qualunque radiée dalla somma di due o quantunque quantità, facendo 1' esponente m eguale al numéro rotto del grado délia radice data; cosi la seconda serve per ridurre ad intégrale di qualunque grado un qualunque prodotto di due, o quantunque quantità finite, od infinitesime, facendo r esponente m eguale al numéro intero (ma preso negativamente^ del grado deir intégrale dato.

Finalmente, siccome nella prima série V esponente, ove resta eguale a zéro, fa che la quantità, cui esso appartiene, si debba intender elevata alla potestà nulla, e conseguentemenle eguale ad i; cosi nella seconda esso indica in tal quantità non avervi luogo ne difTerenziazione, ne integrazione, e perciô doversi essa lasciare tal quale si trova.

Onde, corne diceva nella stessa guisa appunto, che dell' uua ci serviamo per V elevazioni a potestà, ed estrazioni di qualunque radice, po- Iremo dell' altra valersi per le differenziazioni ed integrazioni di qualsivoglia grado.

Sia dunque da differenziarsi la quantità xy; m questo caso poiihè il differenzial cercato si è il primo, m sarà = i, e perù la série générale piglierà questa forma

cioè ridotta alla comune maniera di scrivere (che secondo 1' uso inlrodotto il numéro del grade délia differenziazione si applica alla Icttcra d, 0 pure si segna con altreltanti punti)

dx.y -+- x.dy.

Se in luogo del primo si voglia il secondo, o il terzo difTerenziale, sarà m = 2, od = 3, ed i ricercati dilTcrenziali, faite le soslituzioni in luogo VII. l\

586 LETTERA ALL' ILLLSTRISSIMO

(li m, saranno il secondo

x'y' + ix'y' 4- x'j-', 0(1 il tt'izo

x\)-' + 3^'.)' + 3ji-')-' -h x°j',

i qiiali corne sopra ridolti rciulono 1' uiio

d-x •)■ -1- 2 (Ix . (ly -H X . d-y, (' I" altro

d'x .y -1- ?,d^x. dy -f- Zdx. d^y + x . d\y,

veri (lilTerenziali délia quanlilà proposta, se si pigli anche il dx per fluente, e lo stesso s' intenda de' diirerenzjali di ([iialunquc siasi iilteriore grado.

E corne quesle operazioiii di dilTerenziare per (|uesta sciie nulla più hanno di diiricollà, clie quelle di elevare a polestà per la Newloniana, cosi nulla più difficile si è 1' integrare con qiieila di (|uel, clie lo sia r eslrar le radici per mezzo di questa.

Dchhasi per esempio, per aver la quadnUura indclinila di (jualsivoglia curva, ritrovar 1' intégrale delT elemento dell' avenydx. Si supponga nel canonc générale dx = œ; sarà, per quel che di sopra s' è dette, m = — i ; i quali valori in esso sostiluili, avrenio la série particolare

i/x''.)-° — dx~ '.y' -+- dx~'.y' — dx~Ky' -t- dx' .y' — ...

Ora dx~' dinola I' intégrale di dx, dx~- V intégral dell' intégrale di dx (cioè V intégrale di x), clie io chiamo intégral secondo di dx, e

segno iii (|ii('sla giiisa / d.v; dx~^ l' intégral Icrzo di r/c, cioè / dx, ecc.

.Ma

/dx =zx, / dx = — ;- 1 i dx := „ , . 1 J 2dx J 2..3dx-

e gcneralinente,

dx =