DU CALCUL INFINITÉSIMAL

(Mi.scrl/tiiieti Tauiineiisia, t. H, i76o-i7f)t.l

Pour s'en convaincre, il n'y a qu'à examiner le calcul qu'on fait d'après celte supposition pour trouver les asymptotes des lignes courbes. Ce calcul consiste à chercher d'abord des formules générales pour la position de toutes les tangentes de la courbe donnée, et à rejeter ensuite dans ces formules plusieurs termes qui sont regai'dés comme nuls

(*) Cette iSote de Lagrange se trouve placée en bjs des pages 1--1S d'un Mémoire du P. Gebdile, barnabite, inséré dans le lome II des Misccllanea Taurinensic, et ayant pour titre : De l'infini absolu considéré dans la grandeur. Nous reproduisons ci-après le passage (le ce Mémoire auquel se rapporlc la Note de Lagrange :

IMrOSSIBILITÉ DE l'iNFINI ABSOLU DÉUOXTBÉE GÊOMÉTRIOIEMENT.

.. Quatrième preuie tirée des asymptotes de l'hyperbole. — On m'objectera peut-être que de Irèsliabilos Géomètres conviennent avec M. do l'Hospital {Sections coniques. Article 108) que les asjmptoies peuvent être regardées comme des tangentes in/iiiies, qui touchent les hyperboles dans leurs extrémités, ce qui semble établir la possibilité de l'infini actuel.

. Je réponds que. dans le style des Géomètres, celte supposition ne signifie autre chose, sinon que dans le cours indéfini de l'hyperbole et de l'asymptote, celle-ci, approchant de plus en plus de l'hyperbole, la toucherait enfin si l'on pouvait parvenir au terme de ce prolongement infini, ou, pour mieux dire, si ce prolongement infini pouvait avoir un terme quelconque. Ce n'est qu'à cette condition qu'ils supposent que l'asymptote puisse être regardée comme une tangente infinie qui touche l'hyperbole, puisqu'ils disent que ce cas ne peut avoir lieu qu'à l'extrémité de l'hyperbole, comme l'énonce M. de l'Hospital.

» Mais en même temps ces Géomètres ne prétendent point réaliser cette supposition, ni en établir la possibilité. • {Xote de l'Éditeur.

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|);ir rapport à d'autres termes dont la valeur devient, par la supposition, intinimeiil plus grande : d'où l'on voit que ee ealeul n'est pas absolument rigoureux, et (ju'il ne peut par eonséquent donner un résultai exaet, à moins qu'on no regarde eomme peu exacte la suppo.-itiou sur laquelle on l'a établi, en sorte que l'erreur de l'bypotbèse détruise tout il fait eelle qu'on a commise dans le calcul.

A parler exactement, l'asymptote est une droite qui s'approche continuellement d'une courbe de manière que sa distance à la courbe puisse devenir moindre qu'aucune grandeur donnée, sans qu'elle soit jamais zéro absolu. Or celte condition rend fausse la supposition que l'asymptote soit une véritable tangente; mais on la redresse ensuite dans le calcul, en faisant, pour ainsi dire, disparailie le point d'alluuclienieiil. en sorte que la tangente cesse d'être tangente, et devienne seulement la limite des tangentes, savoir la limite de la courbe même, ce qui est eonforme i» la nature de l'asymptote.

Il en est ici comme dans la méthode des iniinimenl petits, où le calcul redresse aussi de lui-même les fausses hypothèses que l'on y fait. On imagine par exemple qu'une courbe soit un polygone d'une infinité de petits côtés, dont chacun étant prolongé devienne une tangente à la courbe. Cette supposition est réellement fausse, car le petit côté |)rolongé ne peut jamais être autre chose qu'une véritable sécante; mais l'erreur est détruite par une autre erreur (]u'on introduit dans le calcul en y négligeant comme nulles des (juantités qui, selon la supposition, ne sont qu'infiniment petites. C'est en quoi consiste, ce me semble, la niéta|)bysi(iue du calcul des infiniment petits, tel que l'a donnée 31. Leibnitz. La méthode de .M. Newton est an contraire tout à fait rigoureuse, soit dans les suppositions, soit dans les procédés du calcul; car il ne conçoit (|u'une sécante devienne tangente que lorsque les deux points il'inlersection viennent tomber liin sur l'autre, et alors il rejette de ses formules toutes les quantités que cette condition rend entièrement nulles. Cette méthode exige absolument qu'on regarde comme évanouissantes, c'est-à-dire comme nulles, les (juanlités dont on cherche les premières ou dtrnières raisons, et c'est ce qui rend souvent les dé-

nu (JALCIL INFlMTliSIMAI,. 599

monslrations longues et compliquées. La supi^tsition des iiiiinimcnt petits sert à abréger et h l'aeiliter ces démonstrations; mais ce n'est qu'après avoir prouvé en général que l'erreur qu'elle fait naître est toujours corrigée par la manière dont on manie le calcul qu'il est permis de regarder les infiniment petits comme des réalités, et de les employer comme tels dans la solution des Problèmes.

FORMILES

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